初中數學易錯題的解析與思考

◎王義勇

初中數學易錯題的解析與思考

◎王義勇

在數學習題的解題過程中，因為題目本身或者其它客觀原因會干擾學生順利完成解題過程，使學生們的解題過程產生錯誤。分析研究這些錯誤的原因，能夠使解題錯誤發(fā)生的機率大大降低。本文就解題的錯誤原因展開分析與研究。

初中數學；易錯題；解析思路

一、概念模糊引起的易錯題

在初中數學學習中，許多學生存在著不能快速掌握學習方法等問題，而且教師對于講題過于重視，并未注重學生對概念的理解程度，這就會造成許多學生面對易錯題時理解不夠，且自身數學知識體系不完善與不扎實，從而對學生數學推理的可靠性與精準性造成不同程度的影響。比如，在對下面這道“因式分解”題的概念理解時，許多學生會常犯一下幾種錯誤：

（1）因式分解a2＋b2－2ab－1

容易錯解為：原式等于（a－b）2－1

分析錯誤原因：學生只是將原式中的部分數字進行化解是錯誤的根本原因，這造成學生對原整式化成積的忽略，這種題型，是初中數學中學生易做錯的題型之一。

（2）因式分解（x＋2）2－（2x＋1）2

容易錯解為：原式等于（x＋2－2x－1）（x＋2＋2x＋1）＝（x－2x＋1）（x＋2x＋3）

分析錯誤原因：學生在做題時并未徹底分解第一個因式（x－2x＋1），徹底分解之后應該為（x－1）的因式，學生在做這類型的數學題時，往往會忽略這一點，造成這種結果的原因與概念掌握不扎實有直接關系。

二、忽視隱含條件引起的易錯題

許多學生在解題時，只著眼于題設中已經給出的明顯條件，缺乏挖掘題目中所隱含條件的能力，特別對某些綜合性的數學問題，往往因考慮問題不嚴密，致使解答時出現了不完美，因而出錯。

例如：在解關于二次方程、二次函數的有關習題中，學生經常會忽略考慮二次項系數不為零、根的判別式△≥0、頂點位置等這些隱含條件，致使解題時出錯。

例1：已知方程有兩個不相等的實數根，求k的取值范圍。

錯解：因為原方程有兩個不相等的實數根，

所以△＞0，即＞0，解得k＞－3

分析：由于忽視隱含在題目中的條件，即，故出現錯解。

例2：已知二次函數y＝2x－4x＋1，求當0≤x≤5時，y的變化范圍．

錯解：當x＝0時，y＝2×0－4×0＋1；當x＝5時，y＝2×5－4×5＋1＝31．

所以當0≤x≤5時，1≤y≤31．

分析：錯解的原因是對二次函數的性質缺乏了實質性的理解，忽視了拋物線頂點的位置．事實上，在拋物線對稱軸的x＝1左側，y隨著x的增大而減小，于是當0≤x≤1時，y的范圍是：－1≤y≤1，而在拋物線對稱軸的x＝1右側，y隨著x的增大而增大，于是當1≤x≤5時，y的范圍是：－1≤y≤31，因此綜上可知：當0≤x≤5時，y的變化范圍是－1≤y≤31．

三、公式不熟悉引起的易錯題

公式是解數學題的基礎，要想學好數學，必須能夠掌握并靈活應用公式。有些學生學習公式時死記硬背，看似會用公式，實則對公式不熟悉，對公式的理解只限于表面。極容易因為新舊公式的前后干擾，造成所學知識混淆而產生錯誤。

例如：下列計算中正確的有（）：

①（a＋b）2＝a2＋b2；②（x－4）2＝x2－4x＋16；③（5a－1）（－5a－ 1）＝25a2－1；④（－a－b）2＝a2＋2ab＋b2

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

錯解：B或C或D

錯誤分析：本題主要考查了完全平方公式和平方差公式的靈活應用。

①（a＋b）2應等于a2＋2ab＋b2，而不是a2＋b2。中間一項是兩數乘積的2倍，不能漏掉。

②（x－4）2應等于x2－8x＋16，而不是x2－4x＋16。中間一項是兩數乘積的2倍，不能漏掉。

③（5a－1）（－5a－1）應等于1－25a2，而不是25a2－1。－1在兩括號中符號沒變，相當于公式中的第一個數，5a在兩括號中符號改變了，相當于公式中的第二個數。先改寫成（－1＋5a）（－1－5a），就不難做對了。

正解：A

糾正措施：在教學時，絕不能簡單的把公式拋給學生。應重視公式的形成過程，通過推導、數形結合等方式，應重視公式的形成過程，通過推導、數形結合等方式，引導學生體悟公式的本質特征，從而增強學生應用公式的能力。

四、重視默認條件引起的易錯題

很多學生在解題時，往往根據自身的解題經驗，會不知不覺地誤將一些自己默認的條件附加在已知題設上，或者是將一些根據特殊情況得出的結論作為解題的依據，甚至還有部分學生想當然，會自己制造出某些來路不明的條件附送在已知條件上，當這些條件輕易去用時，自然會出現某些不合理、不嚴密的結論，從而導致解題錯誤。

例如：在運用等腰三角形的“三線合一”這一性質解題時，學生容易忽略等腰三角形這個前提條件。

例4：已知，如圖3，在△ABC中，D為BC中點，AD平分∠BAC．

求證：AD⊥BC．

錯證：∵AD為BC邊上的中線，AD平分∠BAC（已知）

∴AD⊥BC（等腰三角形三線合一）

分析：因為學生在解題時，對等腰三角形的“三線合一”這一結論已經耳熟能詳，但忽略了“三線合一”運用的前提是此三角形必須為等腰三角形，因此在解題時往往會把等腰三角形這個條件附加在已知條件上，從而導致錯誤解．

此題的正確解法思路不唯一，但不能直接根據已知條件證明△ABD≌△ACD．

思路一：從“中點延長法”的思路去考慮，如圖4，根據證明△ABD≌△ECD（SAS）后再證明．

思路二：應用“中點延長法”，證明四邊形ABEC為菱形，根據菱形性質，從而得證．

思路三：可以作DE⊥AC于點E，DF⊥AB于點F如圖5，根據AD為中線得S＝S，又由角平分線的性質得DE＝DF，從而得證．

這種類似的錯誤主要是默認了已知三角形為等腰三角形，原因是學生思維有一定的障礙，他們在已知的圖形中沒有想到運用輔助線，找不到全等的條件，故會想當然地附加條件來證明全等。

五、結束語

解數學題一定要嚴謹、周密，既不能“丟解”，又不能“增解”，許多題目中，命題者經常會刻意設置陷阱，以考查學生數學思維的嚴密性。因此在平時的教學中，利用“易錯題”作為范例來幫助學生養(yǎng)成認真、全面地考慮問題的習慣，培養(yǎng)學生對習題縝密、周全的分析能力。

（作者單位：江西省德安縣第二中學 330400）