層狀聲子晶體橫波帶隙結構研究

唐啟祥，邱學云，胡家光

（文山學院 信息科學學院，文山 云南 663099）

層狀聲子晶體橫波帶隙結構研究

唐啟祥，邱學云，胡家光

（文山學院 信息科學學院，文山 云南 663099）

對彈性波通過鋼、環(huán)氧樹脂和鋁三組元構成的一維層狀聲子晶體的透射率進行了理論推導；以橫波的透射率分布圖表征聲子晶體的帶隙結構；以一定的中心頻率換算出來的每個組元的中心波長為相應組元的厚度單位，乘以相同的系數(shù)作為實際厚度。分別研究了厚度系數(shù)和原胞數(shù)對聲子晶體帶隙結構的影響。結果顯示，導帶和禁帶均勻分布，但寬度一般不等；導帶、禁帶的中心均隨厚度系數(shù)增大而向低頻段移動，同時，導帶和禁帶寬度也隨之減小；隨著原胞數(shù)的增加，導帶中心、禁帶中心及導帶寬度及禁帶寬度沒有發(fā)生變化。

聲子晶體；橫波；帶隙結構

1992年，M. M.Sigalas和E. N. Economou 首次從理論上證實了彈性波帶隙的存在[1]。1995年，M. S. Kushwaha等人在研究鎳/鋁二維固體周期復合介質時第一次明確提出了聲子晶體的概念[2]。通俗地說來，聲子晶體是由密度和彈性常數(shù)不同的兩種或兩種以上的彈性材料在空間周期性排列構成的人造帶隙材料。根據(jù)彈性材料在空間分布的不同，又可將聲子晶體分為一維、二維和三維聲子晶體[3]。作為結構簡單、容易推廣應用的是一維聲子晶體。對該類聲子晶體的研究已有不少的報道，但是這些研究是以彈性縱波作為入射波，研究聲子晶體的帶隙結構特征，并且以兩種彈性材料即2組元為原胞構成的結構材料為例進行研究的較多[4-8]。還有一部分文獻報道的是采用集中質量法對一維桿狀聲子晶體帶隙結構進行的研究[9-11]。本研究采用3種無限大平板彈性材料作為組元，構成一維3組元聲子晶體，以橫波為入射波，采用平面波法對聲子晶體的帶隙結構進行研究，尋找聲子晶體帶隙結構的特征和變化規(guī)律。

1 模型和理論

設三種不同密度和彈性常數(shù)的無限大平板材料組元A、B和C構成1個原胞“ABC”，多個原胞沿z軸方向依次排列，構成ABCABC…ABC形式的一維3組元聲子晶體結構，置于均勻彈性介質E中。讓平面彈性波自E垂直于材料A沿z軸方向傳播，如圖1所示。

圖1 一維3組元聲子晶體的結構模型

彈性縱波和橫波的彈性波，經多個界面反射和透射后，在某個原胞中的某介質組元i（i=A、B、C）中沿z軸正方向和負方向傳播的位移分別為。其中，kiL=ω/ciL和kiT=ω/ciT分別為縱波和橫波在介質組元i中的波矢，ciL和ciT分別為相應的波速，ω為圓頻率。用一個四維向量同時表示上述四個波的位移波矢為

當位移波矢Ui通過一個界面后變成新的位移波矢UJ，Ui與UJ之間的的轉換關系為：

式中Mij為從介質i到相鄰介質j（j為A、B或C）的轉移矩陣，根據(jù)胡克定律及彈性波的位移和應力在界面兩側的z分量和x分量的連續(xù)條件可得到

λi及μi為拉梅常數(shù)。將式中的i換成j即得Mj。

彈性波通過厚度為di的介質i，波矢的相位發(fā)生變化，相應的傳遞矩陣為

彈性波通過置于均勻彈性介質E中具有N個原胞的整個聲子晶體的傳遞矩陣為

W=MEAGAMABGBMBCGC(MCAGAMABGBMBCGC)N-1MCE。

由W的矩陣元求得縱波透射率TL和橫波的透射率TT分別為

2 實例計算

縱波在上述一維3組元聲子晶體中傳播形成的帶隙結構已在文獻[12]一文中作了詳細的研究和報道，這里僅對橫波在相同的聲子晶體中傳播形成的帶隙結構進行研究。設材料組元A為鋼，B為環(huán)氧樹脂，C為鋁，外界均勻介質E為有機玻璃。有關材料參數(shù)見表1。

表1 組元材料參數(shù)

選取中心頻率f0=1000 Hz，計算不同組元的中心波長λi0（i=A, B, C）；以各組元的波長為長度單位，乘以適當?shù)暮穸认禂?shù)x，設計各自的厚度di=xλi0（i=A、B、C）。首先取原胞數(shù)N=4，厚度系數(shù)x=0.2為例，通過MATLAB設計程序計算和模擬，得到在可聞聲范圍內用橫波的透射率表征的帶隙結構。結構顯示，導帶（黑色部分）和禁帶（白色部分）相間分布，所有導帶寬度相等，所有禁帶寬度相等，但二者的寬度不等，如圖2所示。

圖2 一維3組元聲子晶體的帶隙結構

下面分別改變聲子晶體各組元的厚度系數(shù)x和原胞數(shù)N計算帶隙結構變化的規(guī)律。

2.1 組元厚度系數(shù)對帶隙結構的影響

從圖2看出，在給定參數(shù)下，各個導帶和禁帶分別有各自相同的寬度，于是，只需對其中一個導帶和一個禁帶進行研究，即可得到所有導帶和禁帶的變化規(guī)律。

固定原胞數(shù)N=4，改變組元厚度系數(shù)x，分別考查第1導帶的頻率中心值f1D0和導帶寬度Δf1D、第1禁帶頻率中心值f1J0和禁帶寬度Δf1J的變化規(guī)律。

計算模擬后發(fā)現(xiàn)，第1導帶的頻率中心值f1D0和導帶寬度Δf1D、第1禁帶的頻率中心值f1J0和禁帶寬度Δf1J隨厚度系數(shù)x的增加而減小， 如圖3所示。

2.2 原胞數(shù)對帶隙結構的影響

固定組元厚度系數(shù)x=0.2，改變原胞數(shù)N，分別考查第1導帶的頻率中心值f1D0和導帶寬度Δf1D、第1禁帶頻率中心值f1J0和禁帶寬度Δf1J的變化規(guī)律。

計算模擬后發(fā)現(xiàn)，第1導帶的頻率中心值f1D0和導帶寬度Δf1D、第1禁帶的頻率中心值f1J0和禁帶寬度Δf1J均幾乎不隨原胞數(shù)N變化，如圖4所示。

圖3 帶隙結構隨厚度系數(shù)x的變化規(guī)律

圖4 帶隙結構隨厚度系數(shù)x的變化規(guī)律

3 理論分析

不同頻率的彈性波，無論是縱波還是橫波，通過聲子晶體在相鄰組元界面上來回反射疊加，當各組元的厚度剛好為波長的整數(shù)倍或分數(shù)倍時，由該組元引起的相位延遲將會是整數(shù)倍數(shù)或分數(shù)倍的π。根據(jù)Bragg散射機理，整數(shù)倍中偶數(shù)倍的被透射，奇數(shù)倍的被反射。選取一定的頻率（本研究中取1000Hz）為中心頻率，分別計算各組元的中心波長，并以一定的系數(shù)乘以各自的中心波長設計各自的厚度。當固定組元厚度而改變入射波的頻率后，總會出現(xiàn)某個頻段的彈性波滿足Bragg原理，以致出現(xiàn)聲子晶體的導帶和禁帶的現(xiàn)象。改變組元厚度系數(shù)，也即改變了組元厚度，產生的相位延遲不一樣，無論導帶還是禁帶的中心和寬度均要發(fā)生相應的變化，正如圖3所示結果。對于增加原胞數(shù)，物理作用的實質是增加了對入射波的反射和透射次數(shù)，結果使得導帶和禁帶的分界更加清晰，導帶內部的透射率線更加密集，正如圖2所示，導帶好像是連續(xù)分布似的，而不會改變導帶和禁帶中心位置及寬度，這也正是圖4所顯示的結果。

4 結束語

以無限大平板形狀的鋼、環(huán)氧樹脂和鋁為3個組元，構成一維層狀聲子晶體的一個原胞；以1000 Hz為中心頻率，計算3個組元的中心波長作為各組元厚度的單位，乘以厚度系數(shù)x后作為各組元的厚度；以橫波為入射波，分別改變厚度系數(shù)x及原胞數(shù)N，得到了該聲子晶體模型的橫波帶隙結構特征及相應的變化規(guī)律。

（1）當厚度系數(shù)x=0.2，原胞數(shù)N=4時，帶隙結構呈現(xiàn)導帶和禁帶相間分布，所有導帶寬度相等，所有禁帶寬度相等，但二者的寬度不等的特征。

（2）固定原胞數(shù)N=4，以第1導帶和第1禁帶為例，導帶的頻率中心值和導帶寬度、禁帶的頻率中心值和禁帶寬度隨厚度系數(shù)x的增加而減小。

（3）固定厚度系數(shù)x=0.2，仍以第1導帶和第1禁帶為例，導帶的頻率中心值和導帶寬度、禁帶的頻率中心值和禁帶寬度均與原胞數(shù)N的改變無明顯的關系。

本研究中的變化參數(shù)僅有厚度系數(shù)和原胞數(shù)，有關其他參數(shù)變化對橫波帶隙結構的影響有待進一步研究。

[1] Sigalas M. M., Economou E. N.. Elastic and acoustic wave band structure[J]. Sound Vib., 1992 (2)：377-382.

[2] Kushwaha M. S. ,Halevi P. , Dobrzynski L. et al. Acoustic band structure of periodic elastic composites. Phys. Rev. Lett., 1993(13)：2022-2025.

[3] 溫熙森，溫激鴻，郁殿龍等.聲子晶體[M]. 北京：國防工業(yè)出版社，2009：3-5.

[4] 曹永軍，董純紅，周培勤. 一維準周期結構聲子晶體透射性質的研究[J]. 物理學報，2006（12）：6470-6475.

[5] 劉超. 一維聲子晶體桿狀結構縱向振動帶隙特性[J]. 激光雜志，2013（5）：47-48.

[6] 劉啟能. 一維聲子晶體中彈性波的全反射貫穿效應[J].振動與沖擊，2012（1）：173-176.

[7] 曹永軍，楊旭，姜自磊. 彈性波通過一維復合材料系統(tǒng)的透射性質[J]. 物理學報，2009（11）：7735 -7738.

[8] 唐啟祥，胡家光，邱學云. 一維層狀二組元聲子晶體的帶隙研究[J]. 安慶師范學院學報（自然科學版），2015（3）：57-59.

[9] 溫激鴻，王剛，劉耀宗，郁殿龍. 基于集中質量法的一維聲子晶體彈性波帶隙計算[J]. 物理學報，2004（10）：3384-3388.

[10]胡家光， 張晉， 張茜， 郭俊梅. 一維花崗巖/丁腈橡膠聲子晶體的帶隙及其應用[J]. 云南大學學報（自然科學版），2006（6）：504-508.

[11]邱學云，胡家光. 一維三組元桿狀結構聲子晶體帶隙研究[J]. 重慶師范大學學報（自然科學版），2013（2）：102-107.

Study on Shear Band Gap Structure of Layered Phononic Crystal

TANG Qixiang, QIU Xueyun, HU Jiaguang
(School of Information Science, Wenshan University, Wenshan Yunnan 663099, China)

The transmissivity of the elastic wave in one dimensional layered photonic crystal formed by three elements of steel, epoxy resin and aluminum is theoretically deduced; the band gap structure of the phononic crystal is characterized by the distribution of the shear wave transmissivity; the center wavelength of each component is de fi ned as the unit of thickness of the corresponding component, and multiplied by the same coef fi cient as the actual thickness. The effects of thickness coefficient and the number of cells on the band gap structure of the photonic crystal are studied respectively. With the increasing of the thickness coef fi cient, the conduction bands and band gaps are evenly distributed, but they are generally unequal in width; Their center positions move to the low frequency band; meanwhile, their widths decrease together. With the increasing of the number of cells, their centers and widths don't change.

phononic crystal; shear wave; band gap structure

O735

A

1674-9200（2016）06-0059-04

（責任編輯 劉常福）

2016-09-16

云南省教育廳科研基金項目“一維周期性彈性材料結構傳輸特性的研究”（2014Y474）。

唐啟祥，男，云南東川人，文山學院信息科學學院副教授，碩士，主要從事材料物理的研究；邱學云，男，云南宣威人，文山學院信息科學學院副教授，碩士，主要從事聲子晶體研究；胡家光，男，云南丘北人，文山學院信息科學學院副教授，博士，主要從事聲學研究。