考慮防御系統(tǒng)延遲使其預(yù)測誤差最大的突防彈道設(shè)計

齊乃明 ，周 啟航,2，崔乃剛，董 程,3

（1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001；2. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076；3. 北京航天新風(fēng)機械設(shè)備有限責(zé)任公司，北京100854）

考慮防御系統(tǒng)延遲使其預(yù)測誤差最大的突防彈道設(shè)計

齊乃明1，周 啟航1,2，崔乃剛1，董 程1,3

（1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001；2. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076；3. 北京航天新風(fēng)機械設(shè)備有限責(zé)任公司，北京100854）

對中段多脈沖機動突防彈道的設(shè)計問題進行了研究。采用的原理與方法有別于成熟的航天器多脈沖變軌，而是基于路徑規(guī)劃的思想對彈道設(shè)計問題簡化?？紤]敵方防御系統(tǒng)延遲，改進多脈沖點火模型,并基于變射面的思想對關(guān)機點參數(shù)進行了設(shè)計及優(yōu)化。然后，從使敵方預(yù)測誤差最大的角度提出評價函數(shù)，并利用遺傳算法進行優(yōu)化。最后，給出了一種同時滿足導(dǎo)彈機動突防與打擊精度要求的多脈沖彈道設(shè)計方法。從模型的可行性，方法的有效性、靈活性、迭代效率及精度等方面進行了仿真驗證分析。在PC機仿真中，20 s內(nèi)就設(shè)計出一條保證打擊精度的中段突防彈道。結(jié)果表明，建立的模型是可行的，提出的突防彈道設(shè)計方法是快速有效的。

多脈沖；預(yù)測誤差；系統(tǒng)延遲；變射面；機動突防

導(dǎo)彈防御系統(tǒng)可在彈道導(dǎo)彈的中段對其進行多次攔截與毀傷評估[1]，所以大部分攔截策略都以中段攔截為研究對象。傳統(tǒng)彈道導(dǎo)彈打擊目標(biāo)時，關(guān)機后彈道固定，極易在中段被敵方防御系統(tǒng)探測與攔截。因此，中段突防對彈道導(dǎo)彈極為重要，直接決定導(dǎo)彈打擊任務(wù)的成敗[2]。中段機動突防可以有效提高導(dǎo)彈的突防能力，但是需要考慮打擊精度問題，限制了機動突防能力的充分利用。多脈沖機動可以快速有效地改變及修正彈道[3-4]，縮短敵方預(yù)警時間，增加敵方預(yù)測誤差，從而提高導(dǎo)彈的突防能力。在保證打擊精度的前提下，如何利用多脈沖機動使導(dǎo)彈的突防能力最大化成為了研究熱點。

文獻[5]提出了在彈道最高點利用單脈沖點火變軌的突防策略，但只考慮了單脈沖變軌的情況；文獻[6]基于hp-偽譜法的對大氣層內(nèi)的飛行器軌跡進行了設(shè)計與優(yōu)化，但沒考慮突防的問題；文獻[7-8]提出了利用多脈沖增加敵方探測系統(tǒng)預(yù)測誤差的突防策略，但脈沖機動后如何保障打擊精度則沒有考慮；文獻[9-10]提出了中段脈沖軸向機動變軌的突防策略，給出了詳細的彈道設(shè)計方法與仿真算例，但是文獻[9-10]中給出了的脈沖變軌方程組不封閉的，需要額外給出封閉條件，此外也沒有考慮最優(yōu)變軌點問題[12]。

為了克服上述多脈沖彈道設(shè)計方法的局限性，本文借鑒路徑規(guī)劃的思想，提出了一種新的多脈沖點火模型，將彈道設(shè)計問題轉(zhuǎn)變成變步長搜索的路徑規(guī)劃問題，提出了一種能保證提高導(dǎo)彈機動突防能力的彈道設(shè)計方法。通過數(shù)值仿真驗證了多脈沖點火模型可行性、彈道設(shè)計方法的有效性。

1 彈道設(shè)計問題描述

目前，成熟的航天器多脈沖變軌原理和方法大部分是以衛(wèi)星或飛船為研究對象得到的，但是導(dǎo)彈脈沖變軌與衛(wèi)星脈沖變軌不能等同而論[9-10]。

1.1 問題分析

本文需要解決的問題是：給出快速精確且同時滿足導(dǎo)彈機動突防與打擊精度要求的多脈沖彈道設(shè)計方法。采用文獻[9-10]中的假設(shè)條件：

1）不考慮地球自轉(zhuǎn)、空氣阻力，視其為勻質(zhì)球體[8-11]；

2）敵方防御系統(tǒng)確定來襲導(dǎo)彈的彈道需要的最短時間為τ（一般4~6 min），稱之為防御系統(tǒng)延遲[8]；

3）假設(shè)每次脈沖點火后，有一“虛擬導(dǎo)彈”沿著點火前的彈道繼續(xù)飛行，其飛行彈道為“虛擬彈道”。

根據(jù)以上假設(shè)，從以下方面對彈道進行設(shè)計：

1）為了降低被敵方防御系統(tǒng)確定和攔截的概率，導(dǎo)彈在時間τ內(nèi)完成脈沖變軌，使敵方防御系統(tǒng)對彈道的預(yù)測誤差無法收斂，從而無法滿足攔截的條件。導(dǎo)彈發(fā)射前，初始關(guān)機點參數(shù)已基于“變射面思想”進行優(yōu)化。使導(dǎo)彈在初次關(guān)機時，其落地點為一個與真實目標(biāo)有較大差距的虛擬目標(biāo)，從而縮短敵方預(yù)警時間。

2）將由機動造成的敵方預(yù)測誤差Ri作為點火前后彈道差異的量化指標(biāo)。通過優(yōu)化使Ri最大，從而使彈道對敵方的迷惑及縮短其預(yù)警時間的效果達到最大。在脈沖變軌的同時完成彈道修正，使導(dǎo)彈逐步逼近直至最后擊中目標(biāo)[3-4]。

彈道設(shè)計的具體步驟如下：

1）根據(jù)真實的打擊目標(biāo)選取參考彈道，得到其關(guān)機點參數(shù)。依據(jù)點火次數(shù)n，將多脈沖彈道分解成n+1段子彈道，提取點火間隔、點火參數(shù)等優(yōu)化變量。

2）視點火點為搜索擴展的節(jié)點，每段子彈道的飛行距離為搜索步長。將多脈沖彈道設(shè)計問題轉(zhuǎn)化成變步長的路徑規(guī)劃問題。以Ri最大化為優(yōu)化目標(biāo)，采用智能算法對彈道進行優(yōu)化。

1.2 問題轉(zhuǎn)化

將脈沖點火點看成節(jié)點，以子彈道的射程角fi（對應(yīng)飛行時間ti）為搜索的步長。多脈沖彈道設(shè)計如圖1所示。

圖1 多脈沖彈道節(jié)點搜索示意圖Fig.1 Schematic for searching the multi-pulse ballistic node

圖1中i、1i+為點火點，Δv為脈沖增量，2θ、2φ為發(fā)動機噴管彈道面及垂直彈道面兩個方向上允許調(diào)節(jié)的最大角度。脈沖點火時，Δv被限制在一個由四棱錐和球面所包圍的區(qū)域內(nèi)。四棱錐在頂點的縱向張角等于2θ，在垂直于彈道平面的張角等于2φ，球面半徑等于 vΔ ，其中θ、φ、vΔ 由點火點脈沖增量決定。彈道設(shè)計時，將這個區(qū)域分成M個扇面，并將每個扇面分成N個扇區(qū)。在每個點火點選擇一個扇區(qū)，通過n次選擇得到一條彈道，最后形成彈道集合。在彈道設(shè)計中，只需要保證搜索步長ti小于敵方防御系統(tǒng)延遲τ就可以滿足導(dǎo)彈突防要求。采用上述方法將多脈沖彈道設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為路徑規(guī)劃問題，如圖2(c)所示。

式中：σi為Δv在xoz面投影與x軸的夾角，γi為Δv與平面xoz的夾角，σi、γi表示第i次點火時選擇扇形區(qū)域的位置，M、N為正的偶數(shù)。

圖2 多脈沖彈道示意圖Fig.2 Schematic of multiple-pulse ballistic trajectory

2 動力學(xué)模型

2.1 基本定義

2.1.1 坐標(biāo)系定義

基本坐標(biāo)系定義（如圖2(a)所示）如下：

參考坐標(biāo)系(G(r) :o- xryrzr)：以地心為原點，地心與參考彈道的關(guān)機點的連線為yr軸，在參考彈道面內(nèi)過球心且垂直yr軸指向?qū)嶋H目標(biāo)點的直線為xr軸，按照右手定則確定zr軸；

子坐標(biāo)系(G(i):o- xiyizi)：以地心為坐標(biāo)原點，地心與點火點連線為 yi軸，在當(dāng)前彈道平面內(nèi)過地心并且垂直 yi軸指向當(dāng)前虛擬目標(biāo)的直線為 xi軸，按照右手定則確定 zi軸；o - x0y0z0的 y0軸為脈沖彈道的初始關(guān)機點與地心的連線。

2.1.2 彈道約定

本文選取由關(guān)機點到真實目標(biāo)點之間的能量最省彈道為參考彈道，如圖2(b)中虛線所示。其關(guān)機點的極半徑、速度、彈道傾角、方位角記為(rr,vr,θr,ηr)。

圖2(b)中實線部分為多脈沖彈道，1、2、…、n為脈沖點火點。令多脈沖彈道與參考彈道在關(guān)機點處二者的極半徑、速度等參數(shù)相同，彈道傾角與方位角等參數(shù)不同，即：

式中：Δ θ 、Δη 分別為多脈沖彈道與參考彈道在關(guān)機點處彈道傾角與方位角的差值。

虛擬目標(biāo)與真實目標(biāo)之間的差距由 Δθ 、Δ η 決定。基于變射面的思想對 Δθ 、Δη 進行優(yōu)化，使虛擬目標(biāo)與真實目標(biāo)差距最大，從而縮短敵方預(yù)警反應(yīng)時間，提高導(dǎo)彈的突防能力。

相鄰兩次點火點i、i +1之間的彈道為子彈道（如圖2(a)所示）。導(dǎo)彈在 i-1次點火后，以點火點A作為關(guān)機點，在 G (i -1)中按照開普勒軌道定律飛行。飛行到B點時，進行第i次點火，此時點火點極半徑為 ri，該段彈道的射程角為 fi，飛行時間為 ti，點火前后彈道面的夾角為 ηi。從 G (i)到 G (i -1)的轉(zhuǎn)換矩陣Li（fi,ηi）為：

同理， G (r)到 G (0)轉(zhuǎn)換矩陣為 L0（Δη）。

2.2 脈沖點火模型

以子彈道的飛行時間 ti為核心，建立模型。通過ti，將τ導(dǎo)入到所建立的模型中：

1）依據(jù)點火次數(shù)將彈道分解成 n+1段子彈道,將其分解到 n+1個共原點的子坐標(biāo)系中。在每個子坐標(biāo)系內(nèi)都將點火點視作子彈道的關(guān)機點，以點火后的彈道參數(shù)作為關(guān)機點參數(shù)來計算該段子彈道；

2）通過計算坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系得到點火前后彈道參數(shù)的關(guān)系。

圖2(d)表示導(dǎo)彈第i-1次點火后在 G(i-1)中的子彈道，[ri-1,vi-1,θi-1]表示關(guān)機點的極半徑、速度、彈道傾角。第i次點火前，v與yi-1的夾角為 ζi，彈道傾角為θi-。i-1次點火后導(dǎo)彈的參數(shù)：

導(dǎo)彈飛行 ti后，偏近點角為 E-1，極半徑、速度、彈道傾角分別為。第i次點火前，導(dǎo)彈的位置速度：

第i次點火時，脈沖增量為 Δvi，點火角度為σi,γi。點火后導(dǎo)彈在 G (i -1)中速度為：

點火前后彈道面的方位角差值為：

G (i)中的 yi軸為點火點與地心的連線，yi軸垂直當(dāng)?shù)厮矫?，?xi軸與當(dāng)?shù)厮矫嫫叫校渣c火后當(dāng)?shù)貜椀纼A角為：

在 G (i)中將 Si、θi作為關(guān)機點參數(shù)計算第 i+1次點火前的子彈道。

G (r)到 G (i)的轉(zhuǎn)換矩陣 Ci為：

經(jīng)過n次點火，導(dǎo)彈在G(r)中的落地點坐標(biāo)為(xtf,ytf,ztf)。

3 多脈沖彈道優(yōu)化

3.1 優(yōu)化變量

選取多脈沖彈道與參考彈道在關(guān)機點處彈道傾角差值Δθ、方位角差值Δη、子彈道的飛行時間 ti、脈沖作用方向 γi、σi作為優(yōu)化變量。假設(shè)一共點火n次，則變量個數(shù)為3n+2，即：

3.2 優(yōu)化約束

3.2.1 優(yōu)化變量約束條件

根據(jù)前面分析，導(dǎo)彈要突防成功必須保證每段子彈道的飛行時間小于敵方防御系統(tǒng)的延遲時間，即：

多脈沖彈道與參考彈道在關(guān)機點的彈道傾角差值及方位角差值的取值范圍為：

3.2.2 邊界約束條件

彈道設(shè)計中的邊界約束為初始及終端約束。初始約束為參考彈道關(guān)機點參數(shù)(rr,vr,θr,ηr)，終端約束為目標(biāo)坐標(biāo)（xt,yt,zt）。

非線性約束轉(zhuǎn)化為等式約束 Ei及不等式約束C：

式中，R為地球半徑。

3.3 優(yōu)化指標(biāo)

在多脈沖變軌問題中，通常以時間和燃料作為優(yōu)化指標(biāo)。本文除了考慮飛行時間最優(yōu)以外，還考慮脈沖彈道對敵方探測系統(tǒng)造成的預(yù)測誤差 Ri。通過 Ri對彈道的突防能力進行量化的評價，尋找使其突防能力最大的最優(yōu)變軌點。

3.3.1 “虛擬彈道法”

“虛擬彈道”表示敵方防御系統(tǒng)依據(jù)導(dǎo)彈點火前的彈道數(shù)據(jù)對點火后導(dǎo)彈位置的預(yù)測。在下次點火或落地時，導(dǎo)彈與“虛擬導(dǎo)彈”的距離為 Ri(預(yù)測誤差)。如圖3中所示，1,2,…,i,…n代表脈沖點火點， n+1代表最終落地點，2’,...,i’,n’代表點火后τ時刻“虛擬導(dǎo)彈”所處位置，R1,R2,...,Ri,...Rn表示兩者之間的距離。

圖3 虛擬彈道示意圖Fig.3 Schematic of virtual ballistic trajectory

3.3.2 性能指標(biāo)函數(shù)選取

防御系統(tǒng)對導(dǎo)彈的彈道預(yù)測都是基于前面彈道觀測的結(jié)果，其對τ時刻后導(dǎo)彈位置的預(yù)測值在導(dǎo)彈變軌前的橢圓彈道上。如果每次點火時導(dǎo)彈的實際位置與“虛擬導(dǎo)彈”的位置距離Ri越大，說明點火前后彈道之間的差別越大，那么敵方探測系統(tǒng)丟失目標(biāo)概率及攔截器沒有足夠的機動能力進行攔截的可能性就越大。因此，本文將每一段彈道的Ri作為優(yōu)化指標(biāo)，相應(yīng)的指標(biāo)函數(shù)如下：

式中： Tt為總飛行時間； wi為權(quán)值，且都大于零；U為懲罰系數(shù)。

4 仿真驗證與結(jié)果分析

4.1 仿真參數(shù)

本文選取文獻[10]中多脈沖彈道設(shè)計的例子進行仿真，并以此作為對比。導(dǎo)彈關(guān)機點參數(shù)為：rr=6491 km，vr=5.137 km/s， Tt(r)=1407 s， θr=45.51°。打擊距其關(guān)機點4666 km的目標(biāo)。采用遺傳工具箱進行優(yōu)化，仿真參數(shù)見表1。

表1 仿真參數(shù)Tab.1 Parameters of simulation

4.2 仿真結(jié)果及設(shè)計方法有效性分析

基于上述參數(shù)設(shè)計多脈沖彈道并進行優(yōu)化。取脈沖增量300 m/s、500 m/s例子進行分析，其優(yōu)化結(jié)果如表2所示。對每一個速度增量，取優(yōu)化成功30次中指標(biāo)函數(shù)最小的那一組作為最優(yōu)值輸出。

表2 優(yōu)化結(jié)果Tab.2 Optimization results

導(dǎo)彈飛行軌跡如圖4所示，從圖中可以看出，由于脈沖的作用，彈道由5段異面彈道組成，點火前后彈道有很大差別。

圖4 多脈沖彈道軌跡圖Fig.4 Multi-pulse ballistic trajectory

根據(jù)上面仿真結(jié)果，有如下結(jié)論：

1）敵方導(dǎo)彈防御系統(tǒng)根據(jù)點火前的彈道數(shù)據(jù)確定的落地點與點火后的落地點有很大區(qū)別。敵方防御系統(tǒng)必須重新采集導(dǎo)彈點火后的數(shù)據(jù)并確定其新的彈道。直到導(dǎo)彈最后一次點火結(jié)束，敵方才能確定其真實落點即敵方預(yù)警時間被大大縮短。

2）每段子彈道的飛行時間都小于τ，敵方無法完全確定導(dǎo)彈的彈道，導(dǎo)彈能夠成功突防。導(dǎo)彈在脈沖點火變軌的同時也完成了彈道修正，使其逐步逼近直至最后擊中目標(biāo)。

綜上所述，本文提出的彈道設(shè)計方法是有效的，且能同時滿足導(dǎo)彈突防與打擊精度的要求。

表3中例1為采用本文提出的設(shè)計方法得到的彈道。例2為采用文獻[9]中的彈道設(shè)計方法得到的彈道。

表3 對比結(jié)果Tab.3 Optimization results

例1中的彈道點火前后的平均距離為328 km。根據(jù)本文對 Ri的定義，Ri為真實導(dǎo)彈與“虛擬導(dǎo)彈”落地前的距離，所以點火前后彈道的落地點的平均距離要遠大于328 km。例2中點火前后的彈道的落地點距離為298 km，小于例1中的彈道。在初始關(guān)機點，例1中Δη、Δθ比例2中大，說明例1的彈道對敵方更具有迷惑性，突防能力更強。這說明本文新提出的設(shè)計方法及評價函數(shù)是正確有效的。

文獻[9]提出的設(shè)計方法需要通過指定中間彈道的落地點對求解方程組進行封閉，該值在可行解范圍內(nèi)隨機選取，沒有考慮變軌最優(yōu)的問題。而本文提出的設(shè)計方法不僅不需要預(yù)先給定中間彈道的落地點，還從使敵方預(yù)測誤差最大的角度對彈道進行了優(yōu)化。因此，綜合以上原因，本文建立的模型及提出的設(shè)計方法是有效的，且更加簡潔方便，得到彈道的突防效果更好。

4.3 可行性、迭代效率及精度的分析

發(fā)動機比沖 ve=2500~3000 m/s，導(dǎo)彈的速度增量范圍為100~500 m/s，根據(jù)齊奧爾科夫斯基火箭方程：

式中： m0為每次點火前導(dǎo)彈的質(zhì)量， Δm 為每次點火消耗的質(zhì)量。當(dāng) ve= 3000m/s 時，每次脈沖消耗燃料占點火前的彈頭總質(zhì)量的3.28%~15.35%，四次點火消耗燃料質(zhì)量約占初始彈頭總質(zhì)量的12.80%~55.01%，五次點火為15.975%~68.31%。

以上分析說明本文采用四次脈沖點火的突防方法在工程上是可行的。

為了驗證模型可行性及彈道設(shè)計方法的效率與迭代精度，將本文采用的方法（下文稱為case1）與笛卡爾坐標(biāo)下的數(shù)值積分方法[6]（下文稱為case2）作對比。表4為計算結(jié)果的統(tǒng)計情況。

圖5表示兩者之間的迭代效率曲線，縱坐標(biāo)表示非線性約束，橫坐標(biāo)表示迭代時間?？梢钥闯觯琧ase1迭代效率遠遠高于case2。根據(jù)圖6可以看出，case2的全局最優(yōu)解大于case1的全局最優(yōu)解。但是在將兩者迭代100次后，選取優(yōu)化指標(biāo)最小的一組，兩者大小接近。

表4 優(yōu)化結(jié)果對比Tab.4 Planning contrast to the situation

圖5 迭代效率Fig.5 Iterative design process efficiency

圖6 預(yù)測誤差隨迭代變化情況Fig.6 Prediction error with iterative changes

通過上述對比與分析，說明本文建立的多脈沖點火模型是可行的，提出的彈道設(shè)計方法是有效的，且在工程上都是能實現(xiàn)的。此外，設(shè)計優(yōu)化時間不到20 s，說明設(shè)計優(yōu)化一條彈道耗時短。該方法可以根據(jù)瞬息變化的戰(zhàn)場情況，做出有針對性的快速反應(yīng)。

5 結(jié) 論

本文研究了彈道導(dǎo)彈中段多脈沖突防彈道的設(shè)計問題，建立了新的脈沖點火模型，提出了新的設(shè)計方法與評價函數(shù)。結(jié)論如下：

1）將彈道設(shè)計問題轉(zhuǎn)化成路徑規(guī)劃問題的方法是可行的。以此為基礎(chǔ)建立的多脈沖點火模型、提出的彈道設(shè)計方法及評價體系是簡單有效的。設(shè)計出的彈道可以有效地迷惑敵方防御系統(tǒng)，縮短其預(yù)警時間。其采用逐步逼近法，在機動變軌同時完成彈道修正，保證了導(dǎo)彈的打擊精度。

2）該設(shè)計方法在 20 s內(nèi)設(shè)計出一條中段突防彈道?？梢愿鶕?jù)最新的情報信息迅速做出反應(yīng)，規(guī)劃一條突防概率最大的彈道。設(shè)計方法具有很高的靈活性，很難被敵方反制。

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Penetration trajectory design based on defense system delay and maximum prediction errors in ballistic midcourse

QI Nai-ming1, ZHOU Qi-hang1,2, CUI Nai-gang1, DONG Cheng1,3
(1. School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China; 2. Beijing Institute of Astronautical Systems Engineering, Beijing 100076, China; 3. Beijing Aerospace Xin Feng Machinery Equipment Limited Liability Company, Beijing 100854, China)

This paper investigates the midcourse maneuver penetration trajectory design of ballistic missile, which is converted into path planning for simplification, and whose principle and method are different from the widely used ones. Considering the delay of the enemy’s defense system, a multi-pulse ignition model is developed, and the parameters of the burnout are designed and optimized based on the idea of the changeable launching plane. Then a developed evaluation function is adopted to maximize the prediction error of the enemy. The trajectories are further optimized by using the genetic algorithm. Meanwhile, a method of multi-pulse trajectory design is given, which satisfy the penetration and accuracy. The model, design and evaluation methods are verified through simulation from the aspects of feasibility, validity, flexibility, efficiency and precision. The PC simulation shows that an effective trajectory can be designed within 20 s, and this method is effective and efficient.

multi-pulse; prediction errors; system delay; changeable launching plane; maneuvering penetration

V412.1

：A

2016-01-25；

：2016-04-22

上海航天科技創(chuàng)新基金（SAST201312）

齊乃明（1962—），男，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究航天器飛行動力學(xué)控制與仿真、地面半實物仿真技術(shù)研究、月球車系統(tǒng)設(shè)計與自主制導(dǎo)導(dǎo)航控制技術(shù)等三個領(lǐng)域。E-mail: zhou0204022@126.com

1005-6734(2016)03-0409-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2016.03.024