靜止軌道衛(wèi)星高精度懸停編隊最優(yōu)滑?？刂破髟O計*

孫炳磊，賀亮，韓飛，3，宋婷

(1.上海航天控制技術研究所，上海201109;2.上海市空間智能控制技術重點實驗室，上海201109; 3.哈爾濱工業(yè)大學，哈爾濱150006)

靜止軌道衛(wèi)星高精度懸停編隊最優(yōu)滑模控制器設計*

孫炳磊1，2，賀亮1，2，韓飛1，2，3，宋婷1，2

(1.上海航天控制技術研究所，上海201109;2.上海市空間智能控制技術重點實驗室，上海201109; 3.哈爾濱工業(yè)大學，哈爾濱150006)

針對靜止軌道上衛(wèi)星懸停編隊問題，考慮空間攝動力及測量誤差，建立衛(wèi)星編隊的相對運動模型.根據(jù)上述模型，取優(yōu)化指標函數(shù)，將跟蹤問題轉(zhuǎn)化為LQR問題，求得最優(yōu)控制解.綜合滑?？刂品椒?，提高最優(yōu)控制解的魯棒性，并用Lyapunov第二法證明最優(yōu)滑?？刂破鞯娜譂u近穩(wěn)定，進行仿真驗證.結(jié)果表明，所設計的最優(yōu)滑?？刂破鲗o止軌道衛(wèi)星編隊控制性能優(yōu)于LQR控制，在200 m的編隊距離，相對位置控制精度達到毫米量級.

懸停編隊;靜止軌道;LQR;最優(yōu)滑模

0 引言

隨著高精度對地觀測領域兼顧高時間分辨率和高空間分辨率的需求，發(fā)展靜止軌道高分光學觀測系統(tǒng)已經(jīng)獲得極大關注，尤其是新型薄膜衍射成像光學技術的發(fā)展提供了重要的實現(xiàn)途徑.美國MOIRE計劃即是在靜止軌道部署衍射成像空間望遠鏡，通過單星薄膜光學展開及支撐的方式實現(xiàn)“靜止軌道米級”分辨率，但由于支撐距離大，存在大型柔性體控制難題.在大型空間望遠鏡構建方面，ESA習慣利用精密編隊技術來實現(xiàn)，例如Proba-3計劃［1］，在大橢圓軌道遠地點通過雙星精密編隊，實現(xiàn)日冕觀測，其優(yōu)點在于可通過編隊尺度變化實現(xiàn)焦距可調(diào)，且可實現(xiàn)多目標觀測.綜合上述方法，在靜止軌道通過目標星(目鏡航天器)和追蹤星(物鏡航天器)精密編隊實現(xiàn)徑向懸停，從而滿足靜止軌道高分對地觀測.“懸停軌道”［2］是指在連續(xù)小推力的作用下，追蹤星相對于目標星在一段時間內(nèi)相對位置保持不變的軌道.由于編隊相對動力學的非線性和空間攝動存在的不確定性，要求控制算法具有一定的魯棒性.且航天器在軌受到的攝動力是連續(xù)的，因此高精度的懸停軌道，只能利用連續(xù)小推力來實現(xiàn)［3］.

國際上很多學者對最優(yōu)控制理論在編隊中的應用進行了研究.Vassar等［4］基于相對運動動力學模型設計LQ控制器.薛白等［5］采用LQR最優(yōu)控制方法設計航天器閉環(huán)懸?？刂坡?然而最優(yōu)控制要求精確的系統(tǒng)模型，其魯棒性不足.滑?？刂破鲗τ诜蔷€性系統(tǒng)具有較好的魯棒性.Yeh等［6］設計衛(wèi)星編隊的滑?？刂破?，同時優(yōu)化了阻尼率、帶寬和推力等參數(shù).Liu等［7］在干擾有界情況下，提出終端滑?？刂破鳎瑢崿F(xiàn)了剛體航天器編隊的相對運動控制.本文結(jié)合最優(yōu)控制理論的優(yōu)點以及滑?？刂频聂敯粜?，設計最優(yōu)滑?？刂破?

1 懸停編隊相對運動模型

建立衛(wèi)星編隊相對運動模型.假設目標星運行在靜止軌道，追蹤星以給定的軌跡跟蹤目標星.目標星和追蹤星都以質(zhì)點來考慮.

坐標系的定義如下:

(1)地心慣性坐標系O-XYZ:原點位于地心O，X軸在赤道面內(nèi)從地心指向春分點，Z軸垂直于赤道面指向北極，Y軸與X和Z軸構成右手坐標系.

圖1 坐標系示意圖Fig.1Reference frame

(2)運動軌道坐標系o-xyz:原點位于目標星質(zhì)心o，x軸沿半徑向外，y軸與x軸相垂直且指向目標星當?shù)氐仄椒较?，z軸與x和y軸構成右手坐標系.

假設目標星不受主動控制力作用，僅受地球引力及空間攝動影響.追蹤衛(wèi)星受主動控制控制力作用，相對于目標星的相對軌道動力學模型為

其中，rt為目標星絕對位置矢量，rc為追蹤星絕對位置矢量，相對位置矢量ρ=rc－rt，rt和rc分別為地心到目標衛(wèi)星和追蹤衛(wèi)星的距離，mt和mc分別是目標衛(wèi)星和追蹤衛(wèi)星的質(zhì)量，dt和dc分別是目標衛(wèi)星和追蹤衛(wèi)星受到的外部攝動力，u為施加在追蹤衛(wèi)星上的主動控制力，μ為地球引力常數(shù).

將式(1)投影到o-xyz系下，得

將軌道坐標系各分量形式代入式(2)中可得

2 最優(yōu)滑?？刂破髟O計

C-W方程的狀態(tài)空間形式如下:

在靜止軌道上，主要的空間攝動有非球形攝動、日月引力和太陽光壓.這些擾動項可認為是有界的［8］，即

其中fi=2×10－4m/s2.

設期望狀態(tài)變量為Xd，則

定義跟蹤的誤差為e=y－yd.

取優(yōu)化指標函數(shù):

其中，Q∈R6×6是一個半正定矩陣，R∈R3×3是一個正定矩陣.

為將最優(yōu)跟蹤問題轉(zhuǎn)換成LQR問題，將系統(tǒng)(5)和(8)組合成增廣系統(tǒng)，狀態(tài)空間表達式如下:

則式(9)轉(zhuǎn)換成:

最優(yōu)跟蹤問題轉(zhuǎn)化為LQR問題［9］，求解式(11)的極小值即可得到最優(yōu)控制律

忽略擾動項，增廣系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式如下:

式中，P是Riccati方程的解，即

如果系統(tǒng)不存在擾動，傳統(tǒng)的最優(yōu)控制律就能使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定并達到理想的跟蹤性能.但由于存在外部擾動，系統(tǒng)狀態(tài)軌跡將偏離最優(yōu)軌跡，甚至發(fā)散.本文將結(jié)合積分滑?？刂疲?0］，提高最優(yōu)控制結(jié)果的魯棒性.

根據(jù)增廣系統(tǒng)和控制律，設計滑模面表達式［9］:

其中，W∈R3×12，要滿足是非奇異的是初始狀態(tài)變量.

對式(15)求導得

為滿足系統(tǒng)的魯棒性，將控制律改成:

其中，K=diag{k1，k2，k3}是不確定性和外部擾動的增益矩陣，

利用Lyapunov第二法證明系統(tǒng)穩(wěn)定性.Lyapunov方程如下:

求導得

為了消除抖振，采用飽和函數(shù)來代替符號函數(shù).控制器如下:

其中，

飽和函數(shù)sat(si，ε)如下:

其中ε是消抖界寬.

3 仿真算例

在仿真驗證中，本文選取靜止軌道衛(wèi)星編隊.在靜止軌道上空間攝動力主要有地球非球形攝動、日月引力攝動和太陽光壓等.

靜止軌道上地球非球形攝動主要考慮J2帶諧項攝動以及J22田諧項攝動［11］，主要的攝動力量級如表1所示［3］.

表1 GEO主要攝動量級Tab.1Magnitude of the main perturbations in GEO

由表1看出，J2項攝動、日月引力攝動量級相對較大.J22項主要影響軌道的切向運動，對靜止軌道衛(wèi)星的位置保持影響較大.針對空間望遠鏡的大面積衍射(或干涉)鏡片，太陽光壓產(chǎn)生的攝動力較常規(guī)衛(wèi)星更大.因此，在靜止軌道主要考慮J2項、J22項、日月引力和太陽光壓攝動.

目標星的參考軌道:a=42 164.5 km，e=1×10－5，i=ω=Ω=f=0 rad.

追蹤星在目標星軌道系下的期望位置為Xd=［200m，初始的相對位置為

假設追蹤星質(zhì)量500 kg，追蹤星僅使用電推進器進行軌道控制，產(chǎn)生的最大推力為20 mN.

假設大面積鏡片為圓形，面積為A=10 m2.

則控制參選取如下:

取相對位置的量測噪聲為10－4以下的高斯白噪聲，仿真結(jié)果如圖2～4所示.

圖2 最優(yōu)滑?？刂坪蚅QR控制的相對位置控制曲線Fig.2Relative positions under optimal SMC and LQR

由圖2可得，最優(yōu)滑模控制在1 600 s左右達到三軸穩(wěn)定，且x軸沒有超調(diào)，LQR控制x軸在2 000 s左右達到穩(wěn)定，而y軸在3 300 s左右才達到穩(wěn)定，且超調(diào)量較大.

由圖3得，最優(yōu)滑?？刂破鞯玫絰軸和y軸控制精度達5×10－4m，z軸控制精度在3×10－4m，而LQR控制除了z軸控制精度略高于最優(yōu)滑?？刂埔酝猓瑇軸和y軸均比最優(yōu)滑?？刂撇?

由圖4可得，由于x軸和y軸的相對運動存在耦合，x軸的相對位置調(diào)整時，y軸的相對位置跟隨產(chǎn)生一定的變化.在存在模型及測量不確定性的情況下，由于最優(yōu)滑?？刂茖τ诓淮_定性不敏感，所以燃耗比LQR控制更低.

圖3 穩(wěn)定時最優(yōu)滑?？刂坪蚅QR控制相對位置曲線Fig.3Relative positions under optimal SMC＆LQR in stable phase

圖4 最優(yōu)滑?？刂坪蚅QR控制的控制加速度Fig.4Accelerations under optimal SMC and LQR

4 結(jié)論

本文針對對地觀測衛(wèi)星懸停編隊，設計了一種最優(yōu)滑?？刂破?該控制器基于C-W方程進行設計，同時考慮空間的非線性擾動項.針對靜止軌道衛(wèi)星，空間攝動項包含地球非球形攝動(J2、J22)、日月引力攝動和太陽光壓等.首先，將最優(yōu)跟蹤問題轉(zhuǎn)化為LQR問題，求解得最優(yōu)控制解，然后綜合積分滑?？刂品椒▉硖岣咦顑?yōu)控制解的魯棒性.接著，用Lyapunov第二法證明系統(tǒng)的全局穩(wěn)定.最后，通過仿真驗證，最優(yōu)滑模控制器的三軸穩(wěn)態(tài)控制精度達5×10－4m，控制精度、收斂時間和燃料消耗均優(yōu)于LQR控制.

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Optimal Sliding Mode Control for Geostationary Satellite High-Precision Hovering Formation Flying

SUN Binglei1，2，HE Liang1，2，HAN Fei1，2，3，SONG Ting1，2
(1.Shanghai Institute of Spaceflight Control Technology，Shanghai 201109，China; 2.Shanghai Key Laboratory of Aerospace Intelligent Control Technology，Shanghai 201109，China; 3.Harbin Institute of Technology，Harbin 150006，China)

For the geostationary orbit hovering formation problem，a relative motion model of satellite formation is established with the spatial perturbation and measurement error.According to the model，a tracking problem is transformed into LQR problem based on the optimal function.An optimal control solution is obtained by solving the LQR problem.Then a sliding mode control(SMC)is used to make the optimal control result more robust.The stability of the close－loop system is guaranteed by Lyapunov’s Direct Method.Finally，the performance of optimal SMC is compared with LQR controller and the former is proved to be better.It achieves a millimeter precision for the formation at 200m.

hovering formation;geostationary orbit;LQR; optimal SMC

V412.4

1674-1579(2016)06-0009-05

10.3969/j.issn.1674-1579.2016.06.002

孫炳磊(1992—)，男，研究生，研究方向為導航、制導與控制;賀亮(1978—)，男，研究員，研究方向為導航、制導與控制;韓飛(1985—)，男，高工，研究方向為空間操控技術;宋婷(1984—)，女，高工，研究方向為衛(wèi)星姿態(tài)控制技術.

*國家自然科學青年基金資助項目(11302127).

2016-07-26