基于IFFT法的路面不平度時域模擬方法

摘 要： 路面不平度時域模擬方法存在模擬精度低下等問題。考慮到IFFT法能夠精確而又簡單地重構(gòu)道路的時域模型，是一種普適性的方法，其具有計算量小、計算簡單高效等的特點，可為后續(xù)車輛動力學(xué)仿真分析提供實時的時域模型?；贗FFT法（逆快速傅里葉變換法）進行路面不平度的時域模擬，總結(jié)了IFFT法時域模擬的五個步驟，并利用Matlab語言開發(fā)了基于該方法的時域模擬函數(shù)。通過與標準的功率譜密度曲線比較，其吻合程度高，表明該方法是正確可靠的，同時也說明了模擬參數(shù)選取的合理性。

關(guān)鍵詞： 路面不平度； IFFT； 時域模擬； Matlab； 功率譜密度

中圖分類號： TN911.71?34； U461.4 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2016）20?0008?04

Abstract： Currently， there are some problems in the time?domain simulation of road roughness， such as low simulation precision. Therefore， IFFT （inverse fast Fourier transform） is used to do time?domain simulation of road roughness because it can reconstruct time?domain model of road accurately and simply. It has the characteristics of small computational amount， simple calculation， etc. The time?domain simulation of road roughness was performed on the basis of IFFT method. Five steps of the time?domain simulation of IFFT method were summarized. The time?domain simulation function based on the method was developed with Matlab language. In comparison with the standard power spectral density curve， its match degree is high， which shows that the method is right and reliable， and also illustrates the rationality of the simulation parameter.

Keywords： road roughness； IFFT； time?domain simulation； Matlab； power spectral density

隨著人們對汽車平順性的要求不斷提高，研究人員逐漸認識到汽車振動系統(tǒng)非線性動力學(xué)分析的重要性，紛紛通過建立非線性動力學(xué)模型來提高平順性仿真的精度和優(yōu)化的質(zhì)量。然而，非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理，根據(jù)路面譜利用傳遞函數(shù)來計算平順性的評價指標的頻域分析方法已經(jīng)不再適用，這引起了時域仿真分析方法的研究熱潮，由此產(chǎn)生了多種時域模擬方法[1?3]。

路面不平度時域模擬的主要方法有：諧波疊加法、濾波白噪聲法、ARMA模型法、泊松（Poisson）法和IFFT法等。在文獻[4?6]中分別對這幾種方法的優(yōu)缺點進行了分析比較，并且指出IFFT法通過對功率譜密度進行離散采樣，能夠精確而又簡單地重構(gòu)道路的時域模型，可以用于模擬任意譜特征的隨機過程，是一種具有普適性的方法，它具有計算量小、計算簡單高效等特點，可以為后續(xù)車輛動力學(xué)仿真分析提供實時的時域模型[7]，然而，該方法建立路面不平度的時域模型實現(xiàn)起來較為復(fù)雜。盡管文獻[5?8]對IFFT方法進行了闡述，但對各個模擬參數(shù)并沒有進行具有確定。如何確定IFFT法的模擬參數(shù)，提高模擬的精度，成為了一大難題。對此，本文采用IFFT法來建立路面隨機激勵的時域模型，總結(jié)了基于IFFT的時域模擬方法的步驟，根據(jù)汽車行駛的速度等特點確定了時域模擬的參數(shù)，并利用Matlab語言開發(fā)了基于IFFT的時域模擬函數(shù)。

1 路面不平度的統(tǒng)計特性

1.1 路面不平度的功率譜密度

路面不平度對汽車產(chǎn)生的激勵具有一定的隨機性，主要是利用路面功率譜密度來描述其統(tǒng)計特性。路面不平度函數(shù)（也稱為路面縱斷面曲線），是指路面相對基準平面的高度q沿著走向長度I的變化函數(shù)q（I）。通過利用路面計或水準儀測量路面不平度的隨機數(shù)據(jù)，然后用概率統(tǒng)計的方法在計算機里進行處理，得到路面不平度的功率譜密度[Gq（n）]和方差[σ2q]。

式中：n為空間頻率，單位為m-1，是波長的倒數(shù)，表示每米長度包括幾個波長；n0為參考頻率，n0=0.1 m-1；[Gq（n0）]為參考頻率n0下的路面功率譜密度值，單位為m3，也稱為路面不平度系數(shù)；w為頻率指數(shù)，為雙對數(shù)坐標上斜線的斜率，它取決于路面功率譜密度的頻率結(jié)構(gòu)，一般情況下w=2。

國際標準化組織和我國國家標準還提出按路面功率譜密度把路面的不平度分為8級，如表1所示。

表1 路面不平度8級分類標準

1.2 時間頻率功率譜密度

從數(shù)學(xué)上來說，功率譜密度在頻率的正負軸均有定義。但在工程實際中，頻率為負值沒有意義，所以常根據(jù)功率譜密度函數(shù)為偶函數(shù)的性質(zhì)，把負頻率范圍的譜密度折算到正頻率范圍內(nèi)[6]。因此，式（4）其實是單邊功率譜密度。

2 基于IFFT法的時域模擬方法

基于IFFT法時域模擬方法的基本思想是：首先，對隨機激勵的功率譜密度進行離散采樣，根據(jù)功率譜密度的定義反求幅值譜；然后，生成隨機相位；最后，利用逆快速傅里葉變換重構(gòu)該隨機信號的時域模型。該方法具體的實現(xiàn)過程主要有以下5個步驟。

2.1 采樣時間T的確定和采樣頻率Fs的估計

總采樣時間取的越大，樣本容量越大，越能反映真實的情況。綜合考慮，取采樣時間T=120 s。根據(jù)采樣定理，采樣頻率Fs必須大于被分析信號成分中最高頻率的兩倍以上，離散信號才能在一定程度上代表原信號。汽車行駛的速度為u，考慮到汽車的最高行駛速度umax一般不超過66.67 m/s（240 km/h），由表1知，0.011 m-1

2.2 采樣點數(shù)N、采樣頻率Fs和采樣時間間隔Δt的確定

傅里葉變換的采樣點數(shù)N=2m（m為正整數(shù)）。本文將時域上的采樣點數(shù)與傅里葉變換的點數(shù)取為相等，這樣既可以簡化程序的設(shè)計又能提高模擬的精度。估計值Fs=400 Hz，求得采樣點數(shù)N=TFs=48 000，故此時傅里葉變換的采樣點和時域上的采樣點數(shù)取N=216=65 536，即實際的采樣頻率Fs=[NT]=546.13 Hz，此時頻率的分辨率Δf=[1T]=0.008 3 Hz?？梢则炞C：頻率的分辨率小于汽車在路面正常行駛時最小速度的最低頻率，這樣可以保證傅里葉變換過程中將原信號最小頻率成分分辨出來。根據(jù)采樣時間和采樣點數(shù)，求得采樣時間間隔Δt=[TN=1Fs]。

2.3 根據(jù)功率譜密度函數(shù)利用離散傅里葉變換得到幅值譜

2.5 根據(jù)IFFT變換將隨機路面激勵的頻譜轉(zhuǎn)化為時域信號

求得隨機路面頻譜后，在Matlab中利用逆快速傅里葉變換命令，即可得到隨機路面的時域信號。

在已知輸入信號的功率譜密度函數(shù)后，根據(jù)以上的5個步驟利用Matlab語言編制相應(yīng)的程序，即可建立基于IFFT法路面隨機輸入的時域模型。

3 基于IFFT法時域模擬方法的驗證

輸入汽車的相關(guān)參數(shù)，選擇仿真路面不平度的等級，根據(jù)已知的功率譜密度函數(shù)，利用第2節(jié)的方法，建立基于IFFT法的時域模型。為了驗證該方法進行時域模擬的正確性，下面列出三組基于IFFT法進行時域模擬的實例，通過與標準的功率譜密度曲線進行分析比較：

（1） 以A級路面為例，路面不平度系數(shù)[Gq（n0）=16×10-6 m3]，車速u=30 m/s（108 km/h）?；贗FFT方法來建立路面隨機輸入的時域信號，如圖1所示。利用Matlab函數(shù)periodogram，即利用周期圖法來計算該路面隨機輸入信號的功率譜密度[11?12]。為了便于分析比較，將A級路面標準的功率譜密度隨頻率的變化曲線與模擬曲線繪于同一圖中，如圖2所示。

（2） 以B級路面為例，路面不平度系數(shù)[Gq（n0）=64×10-6 m3]，車速u=20 m/s（72 km/h） 。同樣的，基于IFFT方法來建立路面隨機輸入的時域信號，如圖3所示。B級路面功率譜密度對比，如圖4所示。

（3） 以C級路面為例，路面不平度系數(shù)[Gq（n0）=][256×10-6 m3]，車速u=10 m/s（36 km/h）。同樣，基于IFFT方法來建立路面隨機輸入的時域信號，如圖5所示。C級路面功率譜密度對比，如圖6所示。

從圖2，圖4和圖6可以看出，模擬的功率譜密度曲線和標準的功率譜密度曲線具有很高的吻合度，說明了基于IFFT法進行時域模擬的正確性。與文獻[2，4，8，13?14]對比可知，本文時域模擬結(jié)果更好，說明了本文基于IFFT法時域模擬參數(shù)取得合理。表2為不同工況下模擬均方根值與標準幾何平均值對比。

從表2中可以看出：模擬均方根值與標準幾何平均值十分吻合，并且路面隨機輸入高程位移的標準差與汽車行駛的速度沒有關(guān)系。

4 結(jié) 論

本文基于IFFT法建立了路面隨機輸入的時域模型，對該方法模擬參數(shù)進行了確定，并利用Matlab語言開發(fā)了基于IFFT的時域模擬函數(shù)。通過兩方面的對比，即模擬的功率譜密度與我國標準路面譜對比和模擬的均方根值與標準的平均值對比，吻合程度很高，由此說明了該方法是正確可靠的，同時也說明了本文所取模擬參數(shù)的合理性。該方法可以為非線性車輛系統(tǒng)提供路面不平隨機激勵信號，為汽車的減振及優(yōu)化奠定了基礎(chǔ)。

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