類比思維在高中數(shù)學教學和解題中的實踐探微

江蘇省靖江市斜橋中學(214500)

盧 煉●

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類比思維在高中數(shù)學教學和解題中的實踐探微

江蘇省靖江市斜橋中學(214500)

盧 煉●

類比思維就是一種解決數(shù)學問題的有效思維方式，類比思維是眾多思維中的一種，能夠挖掘事物間的內在聯(lián)系，找到事物間存在的相同點，由此進行對比，如此便可提高學生的解題能力.

類比思維；高中數(shù)學；解題

類比思維強調了對兩種或者兩種以上的事物進行對比，分析兩者的相似之處.類比思維的關鍵就是聯(lián)想與對比，聯(lián)想即使用新的信息找出相應舊知識間的聯(lián)系，類比就是在兩者間尋找共同點.在高中數(shù)學教材中，包含了大量抽象的知識，學生在學習過程中往往覺得困難.針對此種情況假如能夠將類比思維應用其中，就能夠取得良好的效果.

一、通過類比思維加強新舊知識的對比

在高中數(shù)學教學與解題中，借助類比思維，就能夠促使學生將新舊知識結合起來，不斷豐富教學內容，充分激發(fā)學生的想象力與創(chuàng)造力.不僅能夠幫助學生鞏固數(shù)學知識，還能夠使學生在學習過程中構建新的知識結構.此外，教師在課堂上還可通過新舊知識的類比，引導學生加深對數(shù)學知識的理解，開拓學生的思維.例如在探究數(shù)列時，因為等差數(shù)列與等比數(shù)列在定義以及通項公式等方面的知識具有一定的相似性，因此教師可借助類比的方法，通過等差數(shù)列的形式來學習等比數(shù)列的性質.

案例 假設 {an} 和 {bn} 都屬于無窮數(shù)列.

(1)假如 {an} 和 {bn} 都是等比數(shù)列，那么 {an+bn}與{anbn}是否屬于等比數(shù)列？假如是，請列出前n項和公式.

(2)類比(1)，針對等差數(shù)列提出相關的真命題，同時寫出等差數(shù)列前n項和公式.

①分析兩數(shù)列的公比，按照等比數(shù)列的性質來判定{an+bn}與{anbn}是否屬于等比數(shù)列？隨后使用等比數(shù)列的求和公式來解答.

②借助等比中乘類比到等差中和，分析公差是不是為0，由此求出相應的等差數(shù)列前n項和公式.

解 (1)①假設cn=an+bn，則cn2-cn+1cn-1=(a1q1n-1+b1q2n-1)2-(a1q1n+b1q2n)(a1q1n-2+b1q2n-2).當q1=q2時，對任意的n∈N，n≥2，cn2=cn+1cn-1恒成立，因此{an+bn}是等比數(shù)列.

∴Sn=n(a1+b1).

Sn=(a1+b1)(1-q1n)/(1-q1),q1=q2≠1當q1≠q2時，對任意的n∈N，n≥2，cn2≠cn+1cn-1，{an+bn}不是等比數(shù)列.

②假設dn=anbn，對于任意n∈N*，dn+1/dn=an+1bn+1/anbn=q1q2，{anbn}是等比數(shù)列.Sn=n(a1b1)(q1q2=1)，Sn=a1b1(1-q1nq2n)/(1-q1q2)(q1q2≠1).

(2)假如 {an} 和 {bn} 都是等差數(shù)列，公差為d1，d2，則

①{an+bn}是等差數(shù)列；Sn=(a1+b1)n+n(n-1)/2(d1+d2).

②當d1與d2至少有一個是0，那么{anbn}是等差數(shù)列，假如d1=0，Sn=a1b1n+n(n-1)/2a1d2；假如d2=0，Sn=a1b1n+n(n-1)/2b1d2.

③當d1與d2都不等于0，那么{anbn}一定不是等差數(shù)列.

此類題目屬于基礎題，主要考查了學生的類比推理能力，以及對于等比數(shù)列與等差數(shù)列的判斷，同時還考查了學生的計算能力與解析的能力.通過此種教學與解題形式，就能夠增強概念與事物的分類分析，有效消除學生對新知識產生的恐懼感，培養(yǎng)學生舉一反三的能力.

二、通過類比思維，構建知識網(wǎng)絡

隨著高中數(shù)學教學的不斷深入，學生掌握的數(shù)學知識已經(jīng)逐漸形成了網(wǎng)絡，創(chuàng)造性思維也得到了有效的發(fā)展.在此過程中，教師就需要通過類比法來揭示數(shù)學知識間的內在聯(lián)系，幫助學生調整知識結構.

案例：兩個角的和與差正弦公式sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ，sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ，兩個角的和與差的余弦公式為cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ，cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ.

兩者具有相似的形式與運算規(guī)律.通過類比，學生就能夠深刻的記憶公式以及使用條件，在運算的過程中也會更加熟練.通過類比，學生能夠清楚地認識到數(shù)學知識的使用條件與變化規(guī)律，在運用的過程中也會出現(xiàn)錯誤.在教學中，引導學生類比概念與性質，也就能夠明確數(shù)學知識間的區(qū)別，由此便可建立起橫向或者縱向聯(lián)系，由此構建知識網(wǎng)絡，同時還可發(fā)現(xiàn)很多新的問題.

綜上所述，在高中數(shù)學教學中，教師應當按照學生的思維特點以及數(shù)學課程的內容，借助類比思維來提高教學效果.類比思維在數(shù)學課堂上與解題中的運用，恰好能夠滿足新課標對于高中數(shù)學的要求，同時也是高中數(shù)學創(chuàng)新的表現(xiàn)，會對學生數(shù)學思維的形成與知識結構的合理構建產生積極的影響，應當?shù)玫浇處煹闹匾?

[1] 劉余猛,張華娟. 數(shù)學解題中“簡化方法”的應用——培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的重要途徑之一[J]. 無錫南洋職業(yè)技術學院論叢，2012(Z1)

[2] 張才祖. 探究類比思維在高中數(shù)學教學和解題中的運用[J]. 語數(shù)外學習(數(shù)學教育)， 2013(10)

[3] 倪興龍. 類比思維在高中數(shù)學教學和解題中的運用考述[J]. 語數(shù)外學習(數(shù)學教育)，2013(02)

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