中美數(shù)學(xué)教學(xué)異與同（二）*
——國際數(shù)學(xué)教育專家吳仲和教授訪談錄

□ 陳 近 黃秀萍

中美數(shù)學(xué)教學(xué)異與同（二）*
——國際數(shù)學(xué)教育專家吳仲和教授訪談錄

□ 陳 近 黃秀萍

【專家簡介】吳仲和，數(shù)學(xué)教育博士，美國加州國立大學(xué)全職教授，美國加州州立大學(xué)兼職教授。主要研究領(lǐng)域包括:數(shù)學(xué)教育，中美教育比較，教育政策，教育評價等，曾參與多項美國國家科學(xué)基金會教育研究項目。曾任美國中小學(xué)科學(xué)與數(shù)學(xué)協(xié)會主任委員，美國中國學(xué)者協(xié)會主任委員、會長，教育學(xué)術(shù)刊物主編，加州中小學(xué)教材評審委員，以及英特爾國際科學(xué)與工程大獎賽（ISEF）評委。

【訪談地點】美國，加州長灘市

【訪談時間】2015年7月28日

關(guān)于中國數(shù)學(xué)教學(xué)

陳近（以下簡稱“陳”）：您認(rèn)為中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的特征是什么？如果用詞語來概括，您會用哪些詞語？

吳仲和（以下簡稱“吳”）：我首先想到的詞語是“訓(xùn)練”。在中國的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，基本技能的獲得要比基本知識的獲得多很多。我個人認(rèn)為知識和技能的區(qū)別在于：知識是通過訓(xùn)練也不一定能得到，但是技能是通過訓(xùn)練獲得的。更何況這里還存在一個商業(yè)術(shù)語“機(jī)會成本”，即花在“熟練上”的時間越多，實際上失去其他的機(jī)會越多，這個機(jī)會是有成本的，是要花代價的，比如創(chuàng)新思維。

陳：您認(rèn)為技能可以通過訓(xùn)練得到，而知識通過訓(xùn)練也不一定能得到。那么“知識”是如何獲得的呢？

吳：我認(rèn)為知識需要“懂得”，比如通過建模來獲得。中國在這方面應(yīng)該有待提高，我們好像把義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教育按照純數(shù)學(xué)的方式來處理，但是純數(shù)學(xué)的方式在知識體系上很難幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的模型。打個比方說，我們很多學(xué)生會做分?jǐn)?shù)題，而且很熟練，但是他們?nèi)狈Ψ謹(jǐn)?shù)的結(jié)構(gòu)模型。我曾經(jīng)問過中國五、六年級學(xué)生一個問題：除以一個數(shù)，為什么等于乘這個數(shù)的倒數(shù)？結(jié)果是這些學(xué)生都能順利計算分?jǐn)?shù)除法，但是不一定能夠回答為什么。類似的問題，像“負(fù)負(fù)得正”的現(xiàn)實生活的例子，我問過中國師范生，他們的回答也不盡如人意。這意味著學(xué)生沒有真正建立起“除以分?jǐn)?shù)等于乘以分?jǐn)?shù)倒數(shù)”和“負(fù)負(fù)得正”的結(jié)構(gòu)模型，雖然能解題，只是技能上的熟練而已。

陳：您覺得該特征是哪些因素導(dǎo)致的？

吳：我覺得是過分重視解題正確性和效率導(dǎo)致的。中國數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)結(jié)果大于過程，很多研究文章都提到“單位時間的解題數(shù)量和答對數(shù)量”。而美國數(shù)學(xué)教學(xué)更關(guān)注學(xué)生問題解決的過程和解題思想，關(guān)于解題效率的文獻(xiàn)很少。在美國教師看來，解題思想和閃光點在于解題過程，粗心大意等導(dǎo)致結(jié)果錯誤對于數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)來說并沒有那么重要。我和安淑華教授目前正在做MSAR（Model,Strategies for computation,Application,and Reasoning）的研究，也強(qiáng)調(diào)解題過程和思路多一些。

關(guān)于美國數(shù)學(xué)教學(xué)

陳：您認(rèn)為美國數(shù)學(xué)教學(xué)的特征是什么？如果用詞語來概括，您會用哪些詞語？

吳：第一個詞語是“相關(guān)性”。美國數(shù)學(xué)教育與學(xué)生實際生活密切相關(guān)，數(shù)學(xué)思維介于抽象思維和形象思維之間。考試時，美國教師不喜歡把數(shù)學(xué)題設(shè)計得太抽象，往往給學(xué)生一個現(xiàn)實生活中的故事，學(xué)生把這個故事讀懂之后，再去考慮數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)就在他們身邊，離他們并不遠(yuǎn)。“相關(guān)性“的概念等到我們成人后體會更深，試想一個與本身不相關(guān)的事情，您何必去管它，除非您被強(qiáng)迫去做，這其實是關(guān)于內(nèi)在動力的問題。

第二個詞語是“教學(xué)并進(jìn)”。美國教育注重學(xué)生的“學(xué)”，關(guān)注學(xué)生學(xué)了什么，認(rèn)為“教”是一種啟發(fā)。中國人覺得美國學(xué)生以玩為主，確實，美國中小學(xué)學(xué)生經(jīng)常在玩中學(xué)，但這恰恰反映了認(rèn)知科學(xué)和建構(gòu)科學(xué)的思想，即13歲前用形象思維建構(gòu)知識。美國教學(xué)評價也往往結(jié)合學(xué)生學(xué)的情況，尤其是大學(xué)的教學(xué)評價，不僅對教師的評價依據(jù)學(xué)生學(xué)的情況，而且在學(xué)生評價里也涉及“學(xué)到什么東西”“教師教得怎么樣”以及“教師的知識系統(tǒng)如何”等方面。美國數(shù)學(xué)教學(xué)對教與學(xué)的評價不僅僅看學(xué)生分?jǐn)?shù)的高低，還要看學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。對于后進(jìn)的學(xué)校，學(xué)生的成績評價采取“進(jìn)步指數(shù)”的方法，這樣似乎對教師更公平。

陳：您覺得這些特征是哪些因素導(dǎo)致的？（美國數(shù)學(xué)教學(xué)為什么會形成這樣的特征？）

吳：美國數(shù)學(xué)教育面臨一個很大的挑戰(zhàn)——學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不感興趣，其中原因之一是數(shù)學(xué)離學(xué)生的生活太遠(yuǎn)了。事實上，數(shù)學(xué)對許多專業(yè)來說，尤其是操作層面的專業(yè)，比如醫(yī)生、律師，相關(guān)性并不大。很多美國人覺得學(xué)數(shù)學(xué)不是每個人必須的。這種態(tài)度對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不利，這也造成美國學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動機(jī)普遍不強(qiáng)。所以，美國數(shù)學(xué)教師把很大一部分精力花在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和動機(jī)的激發(fā)上，他們的首要任務(wù)是讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)課堂活動。比如加州評定優(yōu)秀老師的第一個標(biāo)準(zhǔn)就是“是否讓學(xué)生對學(xué)習(xí)產(chǎn)生興奮從而參與到學(xué)習(xí)活動中”。

陳：優(yōu)秀教師的評選標(biāo)準(zhǔn)是教學(xué)的風(fēng)向標(biāo)，我們中國也會評選優(yōu)秀教師，您能否具體談?wù)劽绹鴥?yōu)秀教師如何評選？

吳：美國有教師年度獎，每個州也有教師年度獎，有點像國內(nèi)的先進(jìn)工作者，是一個州的教師模范。這個評選往往根據(jù)教師的人數(shù)按比例從學(xué)校、教育局、地區(qū)教育局層層篩選，然后選出州年度獎教師。比如加州每年評選5位年度獎教師，然后再推選其中1位去參加國家評比。

評選是公開、公正、透明的，學(xué)生家長一般不參與，但教師可以自薦，也可以推薦別人或由別人推薦。一旦參與評比，教師需要按要求申報材料。申報材料遞交后，由專家組進(jìn)行評定。能否選上都會有及時回復(fù)，同時會向教師說明落選原因。在州的層面，比如加州，每年會有8位候選人，從8位候選人中選5位年度獎教師。這8位也就是最后參加決賽的教師，將會耗費(fèi)專家非常多的精力。專家組需要到學(xué)校里去考察并觀摩候選教師的課，并邀請8位老師面試，最終從8位候選人中選出5位年度獎教師。評獎有很多標(biāo)準(zhǔn)，比如說“您如何使學(xué)生對學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣？您如何用多重教育法讓學(xué)生對學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣？您如何反思教學(xué)活動？”“您對教育學(xué)術(shù)活動是否積極參與，您對相關(guān)學(xué)術(shù)領(lǐng)域的前沿情況是否了解？”等等。其中很重要的一條就是“教師能否讓學(xué)生對學(xué)習(xí)興奮起來？”這個標(biāo)準(zhǔn)對于整個美國都是一樣的。因為美國的教育注重多元，教師面對的學(xué)生也是多元化的，所以每位候選教師都有自己的風(fēng)格來達(dá)到教育多元化的目的，比如有些教師通過藝術(shù)或故事，使學(xué)生興奮，參與到學(xué)習(xí)活動中。

中美數(shù)學(xué)教學(xué)的比較

陳：您覺得中美數(shù)學(xué)教學(xué)最大的區(qū)別是什么？

吳：中美數(shù)學(xué)教學(xué)最大的區(qū)別，我個人認(rèn)為是在評價體系上。中國的數(shù)學(xué)考試往往是選拔性考試，經(jīng)?？紝W(xué)生不知道的內(nèi)容，題目過難、過偏，比如說“高考”，這樣便于篩選；而美國的數(shù)學(xué)考試往往是水平性考試，基本上考學(xué)生知道的內(nèi)容，大綱規(guī)定什么就考什么，比如“SAT”，這就是所謂的“合格公民教育”。

陳：是的，中國和美國大學(xué)入學(xué)考試確實區(qū)別很大。您能否具體談?wù)劽绹髮W(xué)的入學(xué)考試？

吳：SAT有“美國高考”之稱，其實它只是一個學(xué)習(xí)能力（Aptitude）考試，即每個學(xué)校對于學(xué)生學(xué)習(xí)能力有不同要求，學(xué)生達(dá)到這個要求，只能說明該生在這個學(xué)校可能不會在學(xué)習(xí)上跟不上。因此，SAT有區(qū)域的劃定，比如，一個學(xué)校的SAT錄取區(qū)域是2250～2400分（注：總分是2400），學(xué)生考2250分與2400分對這個學(xué)校的錄取沒有太大的區(qū)別。它不像中國高考“一分定終身”；此外，SAT只是一個方面，美國大學(xué)入學(xué)還有其他參考因素。大體上是，學(xué)生通過提交材料申請美國大學(xué)，大學(xué)招生辦會審核學(xué)生的材料，推斷該學(xué)生學(xué)術(shù)層面的潛質(zhì)。如果學(xué)生SAT成績低于該校的下限，學(xué)?？赡軙岩稍撋膶W(xué)術(shù)能力。比如，斯坦福大學(xué)要求學(xué)生SAT成績2300分以上，但并不意味著學(xué)生2300分以上就能上斯坦福大學(xué)，那只是一個方面。大學(xué)不會把SAT成績放在最重要的位子，SAT只是能力測試，而不是選拔考試。所以說SAT達(dá)標(biāo)分?jǐn)?shù)線只能說明學(xué)生達(dá)到該校的基本條件，但不是充分條件。美國的優(yōu)秀學(xué)生其實很辛苦，除了SAT成績，還要準(zhǔn)備AP課程（Advanced Placement，高中里學(xué)習(xí)大學(xué)的課程）。每年有關(guān)大學(xué)錄取的新聞，都會看到優(yōu)秀學(xué)生的很多成就，比如SAT成績很高，上了很多門AP課程，熱衷于社區(qū)服務(wù)，做義工幫助弱勢群體，有幾個發(fā)明小創(chuàng)造，甚至有某項專利，是某個社團(tuán)的領(lǐng)袖，等等。這些人才可能成為將來社會的精英。

陳：與中國的“高考”相比，美國大學(xué)入學(xué)審核確實挺復(fù)雜的，為什么需要如此多的參考因素呢？

吳：美國的教育有三個原則：1.認(rèn)識和尊重教育的多元化，即尊重他人；2.社會公正，即知道好和壞；3.教育公平，即教育向弱勢群體傾斜。這為教育培養(yǎng)什么樣的人打下基礎(chǔ)。高校在招生時，除了看學(xué)生的學(xué)術(shù)水平，更重要的是做人的基本素質(zhì)。其實，高考錄取是一個有趣的過程：將一個沒有見過面的學(xué)生畫像，畫得越準(zhǔn)確，就越公平。而要畫得準(zhǔn)確，就需要各種素材。比如，單純看考試成績，善于考試的人就占先機(jī)，加之考慮平時的成績，對那些平時不努力，考試時加班加點的人，就是一個挑戰(zhàn)。即便學(xué)生成績突出，但學(xué)生對他人漠不關(guān)心，也不見得就能成為棟梁之材。這只是一個例子。總之多重評價方法應(yīng)該是利大于弊。更何況美國的高校招生時還有多元因素的考量，即學(xué)術(shù)只是學(xué)校的一部分，還有體育、藝術(shù)、各種學(xué)生團(tuán)體等構(gòu)成一幅教育的搖籃圖，這個搖籃應(yīng)該是所有學(xué)生學(xué)習(xí)和享受人生的地方。此外，多元智能理論在美國普遍被教育者和公眾接受和認(rèn)可，即人與人不一樣。單純用一種方法評價人的成就容易埋沒人才。事實上，美國的歷史上有數(shù)不勝數(shù)的各領(lǐng)域的優(yōu)秀人才，他們未必是考試的佼佼者，但他們是歷史和時代的推動者。

陳：中美都在互相學(xué)習(xí)，您覺得中國數(shù)學(xué)教學(xué)有哪些好的傳統(tǒng)值得美國學(xué)習(xí)？

吳：第一，中國學(xué)生數(shù)學(xué)基本技能掌握很好，這點值得美國學(xué)習(xí)。我經(jīng)常和美國學(xué)生開玩笑，建議他們踢足球前先把乘法口訣背一下，不是難背，是美國學(xué)生根本沒想要背。

第二，中國小學(xué)教師數(shù)學(xué)知識扎實，這點也值得美國學(xué)習(xí)。美國小學(xué)教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中常常會發(fā)生一種狀況，就是教師自己對知識沒有透徹了解，一知半解，所以在教學(xué)過程中就常常出錯。這雖然與美國教師證書的培訓(xùn)方法有關(guān)，但應(yīng)該是一個待解決的問題。

陳：您覺得美國有哪些好的做法值得中國學(xué)習(xí)？

吳：我覺得美國做得比較好的首先是數(shù)學(xué)聯(lián)系實際。美國學(xué)生能夠看到的數(shù)學(xué)不是抽象的數(shù)學(xué)，它比較具體化，尤其是在小學(xué)和初中階段，數(shù)學(xué)與學(xué)生的生活實際密切聯(lián)系。根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展階段理論，學(xué)生在13歲前可以或可能沒有抽象思維能力。

其次是小組合作學(xué)習(xí)。小組合作學(xué)習(xí)最主要的不是看學(xué)生做對幾道題，而是培養(yǎng)一種與人溝通的技能。它要達(dá)到三個目的：第一，學(xué)會尊重別人，無論你是否喜歡，讓別人把話說完；第二，學(xué)會交流技巧，無論學(xué)生是否愿意，按照規(guī)則學(xué)生必須與人交流；第三，培養(yǎng)領(lǐng)導(dǎo)力，通過職位輪流，可以鍛煉學(xué)生的領(lǐng)導(dǎo)力。在小組合作中，學(xué)生學(xué)會了尊重別人，學(xué)會了與人交流，有機(jī)會展現(xiàn)領(lǐng)導(dǎo)才能，試想這種教育對學(xué)生的一生，乃至整個社會是何等的重要！

陳：中美互相學(xué)習(xí)的過程中，應(yīng)該注意些什么？

吳：我覺得應(yīng)該注意的就是：中美數(shù)學(xué)教育研究者們要清楚中國和美國有著不同的文化和歷史背景，互相之間不要盲目學(xué)習(xí)。比如，中國教育研究往往從好的學(xué)校開始，繼而向差一點的學(xué)校推廣好的經(jīng)驗，發(fā)揮榜樣的作用。而美國的教育研究則不然，其重點往往在于差的學(xué)校，研究文章大多關(guān)于“Title One School”，什么是Title One School？就是比較貧窮的，比較具有“挑戰(zhàn)性”的學(xué)校。這其中的原因是什么？因為美國教育研究的最大功效在于能夠復(fù)制。好的學(xué)校做得再好，到差的學(xué)校也很難復(fù)制；而差的學(xué)校的成功經(jīng)驗往往在好的學(xué)校也能復(fù)制。這兩種研究理念有著本質(zhì)的區(qū)別。又如，由于教育技術(shù)的發(fā)展，美國研究者提出了“翻轉(zhuǎn)課堂”。翻轉(zhuǎn)課堂的操作有著復(fù)雜的因素，比如，大綱和教材配合，教師的培訓(xùn)等，這也是美國翻轉(zhuǎn)課堂貫徹漸進(jìn)的原因。我看過國內(nèi)來美展示的翻轉(zhuǎn)課堂應(yīng)用介紹，一個4000多名學(xué)生的學(xué)校有效率達(dá)85%以上，缺乏貫徹中的具體挑戰(zhàn)。大部分美國人看了，表面上都做贊嘆態(tài)，但實際上他們是存有疑慮的。他們更想看到的是在貫徹中的挑戰(zhàn)是什么？老師和學(xué)生是如何應(yīng)對的？這樣他們能學(xué)到東西？他們不可能從單純的百分比中學(xué)到東西。美國的翻轉(zhuǎn)課堂的應(yīng)用還不是很成熟，它有很多法律層面和理論層面的問題，比如學(xué)時的分配、教材、資源等，雖然技術(shù)不存在大問題，但貫徹的條件有待完善。所以中美在相互學(xué)習(xí)的時候，要注意各自的文化背景、歷史淵源。

（浙江外國語學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院 310012）

*本文系2014年度教育部人文社科青年基金項目“中國數(shù)學(xué)雙基教學(xué)的形成和發(fā)展研究”（課題批準(zhǔn)號：14YJC880004）的階段性成果之一。