在反例中進(jìn)步
——談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中反例的應(yīng)用

江蘇省江陰市璜土中學(xué) 沈君鋒

在反例中進(jìn)步
——談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中反例的應(yīng)用

江蘇省江陰市璜土中學(xué) 沈君鋒

學(xué)習(xí)的過程中，反思必不可少，反思是學(xué)生對自身思維進(jìn)行重新認(rèn)識和檢驗(yàn)的過程，是學(xué)生學(xué)習(xí)進(jìn)步的一大體現(xiàn)。通過反思，學(xué)生的錯(cuò)誤得到糾正，那么他們的學(xué)習(xí)能力便會(huì)有很大的提升，從而他們可以發(fā)現(xiàn)題目的規(guī)律與方法，不斷提升數(shù)學(xué)解題的能力，加深對知識的認(rèn)識程度，提高思維的變通性，提升做題的效率。所以教師在平時(shí)的教學(xué)過程中，應(yīng)該多多注重學(xué)生反思能力的培養(yǎng)，無論是錯(cuò)題反思，還是課后反思。反例可以提升學(xué)生的反思能力，所以教師在教學(xué)過程中應(yīng)該多采用反例。

一、反例在不同數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的應(yīng)用

在教學(xué)概念中的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中舉出反例可以使學(xué)生對概念的理解更加清晰、具體，通過反例可以將重要的知識點(diǎn)反復(fù)強(qiáng)調(diào)，從而讓學(xué)生在以后的做題中減少錯(cuò)誤。例如數(shù)軸的概念為；規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸，而不是所有帶刻度的直線都能稱為數(shù)軸，數(shù)軸的要素有很多，教師可以通過反例讓學(xué)生對數(shù)軸幾大要素進(jìn)行掌握，從而能夠準(zhǔn)確地使用數(shù)軸解題。

在做平面幾何證明題中，有很多經(jīng)典的錯(cuò)誤幾乎是每一位學(xué)生都必須犯的，而此類錯(cuò)誤也正是教師教學(xué)的好例子，教師在平時(shí)的教學(xué)過程中應(yīng)該注意總結(jié)。例如，在進(jìn)行平面幾何的講解過程中，長方形的定義是：四個(gè)角都是直角的平行四邊形，而正方形的定義是∶有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形，對于判斷：正方形不是長方形，學(xué)生開始可能無法找出這句話錯(cuò)誤的原因，但是教師作為反例將其列舉出來，并讓學(xué)生對定義進(jìn)行分析，那么學(xué)生便可以很輕易地找出這道題錯(cuò)誤的原因，從而掌握圖形的定義，學(xué)習(xí)知識。因此教師在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中要重視反例教學(xué)，充分發(fā)揮其作用，使學(xué)生掌握這種方法加深對知識的理解，從而解題思路更加清晰。

二、反例在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的應(yīng)用方法

反例在概念問題方面的應(yīng)用，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生在尋找錯(cuò)誤成因中反思，學(xué)生在反思的過程可以收獲很多，幫助學(xué)生從基本概念、基礎(chǔ)知識的角度來分析錯(cuò)誤原因。數(shù)學(xué)中錯(cuò)題很常見，但是就會(huì)有些學(xué)生由于自尊心強(qiáng)而將自己的錯(cuò)題藏起來，不進(jìn)行錯(cuò)題的反思，那么他們也不會(huì)進(jìn)步。這種情況出現(xiàn)的重要原因之一是學(xué)生沒有真正體會(huì)反思的重要性，教師沒有盡到應(yīng)該盡的義務(wù)。為了讓學(xué)生重新掌握其未掌握的知識，教師在教學(xué)的過程中就需要結(jié)合學(xué)生作業(yè)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，將這些錯(cuò)誤進(jìn)行總結(jié)，并將其作為課堂反例的教學(xué)模板，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行錯(cuò)題反思。給學(xué)生提供一個(gè)對基礎(chǔ)知識、基本概念重新理解的機(jī)會(huì)，使學(xué)生重新掌握或者鞏固基礎(chǔ)知識和基本概念，并指導(dǎo)學(xué)生自主地檢驗(yàn)作業(yè)結(jié)果，提升他們的數(shù)學(xué)綜合能力。

例如，設(shè)k∈R時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程7x2-（k+13）x+k2-k-2=0有兩個(gè)實(shí)根x1，x2，且0＜x1＜1＜x2＜2，求k的取值范圍。如果這道題采用單純計(jì)算的方法，會(huì)發(fā)現(xiàn)根本無從下手，而如果利用圖形解決，將方程的解看成與數(shù)軸的交點(diǎn)，那么利用圖形就很容易將這道題解出了。但并不是所有的學(xué)生都能想到這種方法，所以此時(shí)教師在解答這道題時(shí)，可以將單純計(jì)算的方法做題當(dāng)成反例，讓學(xué)生自己體會(huì)一下用錯(cuò)誤方法計(jì)算帶來的繁瑣，從而讓學(xué)生能夠真正從內(nèi)心接受新的有效的方法，這樣教師的目的也就達(dá)到了。

三、反例教學(xué)過程中應(yīng)該注意的問題

教師在教學(xué)過程中應(yīng)該正確使用反例，讓學(xué)生在做題過程中真正提升思考能力，提升數(shù)學(xué)方面的綜合能力。初中生還不夠成熟，所以若想他們能夠一次性準(zhǔn)確全面地處理問題比較難，那么此時(shí)保證他們處理問題的準(zhǔn)確性就需要深刻思考了，學(xué)生通過教師反例的思考加深對知識的理解，從而更加熟練地解題。學(xué)生在思考反例的過程中，心中所想的也不再是題目本身，而是與題目有關(guān)的解題方法和解題思維，學(xué)生看問題的角度提升了一個(gè)層次，從單純地解題到更加深層次地思考，學(xué)生的總體思考能力得到了提升，從而學(xué)生答題的正確率也開始提升，學(xué)生便在答題正確率提升的同時(shí)提升自信，從而建立起對數(shù)學(xué)學(xué)科的熱愛。

總之，反例可以教給學(xué)生新的解題思路。而數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，它要求學(xué)生具有發(fā)散性思維，能夠舉一反三。但是，初中學(xué)生才開始接受復(fù)雜的邏輯學(xué)習(xí)，難免會(huì)有學(xué)習(xí)不到位的地方，這就需要教師能夠利用反例，將數(shù)學(xué)知識更加細(xì)節(jié)的呈現(xiàn)在學(xué)生面前，學(xué)生也會(huì)因此提升自己在數(shù)學(xué)方面的綜合能力。例如，學(xué)生往往混淆sin，cos，tan 的一些常見度數(shù)值，導(dǎo)致在函數(shù)計(jì)算過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤，針對這種現(xiàn)象，教師就要將其錯(cuò)誤當(dāng)成反例，在課堂上反復(fù)強(qiáng)調(diào)，從而讓學(xué)生真正掌握其內(nèi)容。

學(xué)生在反例中可以找出自己犯錯(cuò)誤的影子，從而可以促進(jìn)學(xué)生本身的反思。反思作為人的一種能力，在教學(xué)中越來越被人們重視。新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力提出了新的要求，而數(shù)學(xué)能力的提升需要學(xué)生能夠在平時(shí)多多進(jìn)行學(xué)習(xí)和解決數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)是需要學(xué)生能夠自主思考的，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，錯(cuò)題在所難免，此時(shí)，就需要學(xué)生進(jìn)行反思了，這些題目用到的知識點(diǎn)是哪些，使用的方法又是哪幾個(gè)，只有學(xué)生能真正地思考反思，才能掌握數(shù)學(xué)的思維模式，提升在數(shù)學(xué)方面的綜合能力。