一種基于分?jǐn)?shù)階變分的乘性噪聲圖像去噪模型

王田芳，李　浩，Asmat Ullah，周　弈

(1.河海大學(xué) 地球科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 210098；2.河海大學(xué) 力學(xué)與材料學(xué)院，江蘇 南京 210098)

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一種基于分?jǐn)?shù)階變分的乘性噪聲圖像去噪模型

王田芳1，李浩1，Asmat Ullah2，周弈1

(1.河海大學(xué) 地球科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京 210098；2.河海大學(xué) 力學(xué)與材料學(xué)院，江蘇 南京 210098)

摘要：經(jīng)典變分模型在去除乘性噪聲的同時(shí)會產(chǎn)生紋理細(xì)節(jié)信息丟失現(xiàn)象。為解決這一問題，將分?jǐn)?shù)階變分模型與經(jīng)典的TV模型相結(jié)合提出一種新的分?jǐn)?shù)階變分去噪模型，并利用梯度下降法求解該模型，數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明：該模型較經(jīng)典的去噪模型在去噪的同時(shí)可很好地保持圖像邊緣和紋理信息，同時(shí)對階梯效應(yīng)也有所抑制。

關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階變分；乘性噪聲；階梯效應(yīng)；邊緣保持；紋理細(xì)節(jié)

乘性噪聲存在于相干成像系統(tǒng)中(如合成孔徑雷達(dá)圖、CT圖像、PET圖像等)[1]。國內(nèi)外學(xué)者對乘性噪聲的去除做出大量的研究[4-7]，其中，基于偏微分方程的去噪思想，尤其是變分法由于有著嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論且仿真簡單，備受青睞[2-3]。隨后，更多的基于變分的乘性噪聲去除算法相繼而出[5-7]。這些變分模型對于圖像的邊緣保持都比較好。但整數(shù)階導(dǎo)數(shù)本身的特性使得其在去除噪聲的同時(shí)，會使得灰度變化不大的紋理細(xì)節(jié)信息丟失，且容易出現(xiàn)“階梯效應(yīng)”。蒲亦非等人研究表明分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)有利于刻畫紋理[8]。針對加性噪聲去噪，Bai 等人在 P-M 方程基礎(chǔ)上研究基于 Fourier 變換的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)去噪方法[9]。張軍等人利用分?jǐn)?shù)階多尺度變分偏微分模型對圖像去噪，并結(jié)合圖像區(qū)域和尺度實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)去噪[10]。黃果等人實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階積分的迭代去噪算法，該算法的去噪效果顯著，去噪后的圖像信噪比被提升很多[11]。

為了在去除乘性噪聲的同時(shí)更好地保持邊緣紋理特征細(xì)節(jié)信息，本文將分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與經(jīng)典乘性噪聲模型相結(jié)合，提出一種基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)去除乘性噪聲的模型。

1基于分?jǐn)?shù)階變分的去噪模型

2008年，Aubert 和 Aujol按照Gamma分布的假定并采用最大后驗(yàn)概率估計(jì)(Maximum A-posteriari Probability，MAP)的建模方法推導(dǎo)出一個(gè)非凸的乘性噪聲去除模型，即AA模型[3]。

(1)

式中：f為原始含噪圖像；u為待求的近似圖像；S(Ω):={u∈BV(Ω),U>0}，BV(Ω)為定義在區(qū)域Ω上的有界變差(Bounded Variation,BV)函數(shù)空間。該模型能量泛函的第一項(xiàng)為正則項(xiàng)，保證u具有一定的光滑性，它在極小化過程中可以起到抑制噪聲的作用，同時(shí)保證變分問題是良態(tài)的;第二項(xiàng)稱為數(shù)據(jù)項(xiàng)(保真項(xiàng))，保證u與初值f的偏差不會太大，主要起保持圖像邊緣特征和降低圖像失真度的作用；常數(shù)λ>0為上述兩項(xiàng)之間的平衡參數(shù)。AA模型導(dǎo)致求解二階偏微分方程，使得方程容易產(chǎn)生塊效應(yīng)，且不利于圖像紋理的保持。

分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義大致分為空域定義和頻域定義兩種，本文利用空域定義中的Grumwald-Letnikov定義(簡稱G-L[12])的v(v>0)階分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子v。則用此算子代替AA模型中的TV正則項(xiàng)可以得到下面的分?jǐn)?shù)階變分模型，本文中簡稱FV模型。

(2)

文獻(xiàn)[11-13]中，說明分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子在去除噪聲的同時(shí)，可以較好地保持紋理。但是，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階本身的特性使得對圖像邊緣保持不是特別好。為在去除噪聲同時(shí)更好地保持邊緣和紋理細(xì)節(jié)信息，把分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子和一階導(dǎo)數(shù)算子進(jìn)行結(jié)合得到一種新的分?jǐn)?shù)階變分模型。

(3)

文獻(xiàn)[3]中說明TV正則項(xiàng)在去噪同時(shí)很好的保持了圖像的邊緣，文獻(xiàn)[11]中給出分?jǐn)?shù)階積分的幅頻曲線，從中看出分?jǐn)?shù)階正則項(xiàng)去噪時(shí)可以保留圖像的紋理細(xì)節(jié)。由此，本文提出的模型將TV正則項(xiàng)和FV正則項(xiàng)結(jié)合，使得該模型不僅繼承現(xiàn)有的TV正則項(xiàng)在去噪的同時(shí)可以較好地保持邊緣的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)也繼承FV正則項(xiàng)在去噪的同時(shí)也可以較好地保持紋理細(xì)節(jié)的優(yōu)點(diǎn)。

2模型的數(shù)值解法

模型式(3)是一個(gè)泛函極值問題，求解該模型，利用變分法導(dǎo)出相應(yīng)的歐拉-拉格朗日(Euler-Lagrange,E-L)方程，利用梯度下降法得到演化方程，通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)得到模型結(jié)果。

該模型對應(yīng)的E-L方程為

(4)

引入一個(gè)時(shí)間變量t作為迭代因子，則變分問題式(4)對應(yīng)的梯度下降流方程為

(5)

求解擴(kuò)散方程式(5)，理想狀態(tài)下需要得到該偏微分方程的解析解，但實(shí)際應(yīng)用中，往往找不到解析解。所以，要通過數(shù)值分析來解該方程，常用的方法包括有限差分、有限元法、譜方法等。在圖像去噪中，有限差分比較常用，在此采用有限差分來進(jìn)行求解。

(6)

(7)

(8)

(9)

采用顯示差分，則式(5)可表達(dá)為

(10)

其中,TV(ui,jn)和Hv(ui,jn)分別為TV正則項(xiàng)和FV正則項(xiàng)第n次迭代后的離散格式，即

(11)

(12)

3實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本實(shí)驗(yàn)用256×256像素的Lena圖像、Barbara圖像和真實(shí)的SAR圖像(以Tianye、sar1圖像為列)進(jìn)行試驗(yàn)，所有程序都是在MATLAB R2014a 上編程實(shí)現(xiàn)。本文從主觀和客觀兩個(gè)方面對本模型和經(jīng)典的AA模型的去噪效果進(jìn)行比較分析。對于仿真實(shí)驗(yàn)，采用常用的峰值信噪比(PSNR)、信噪比(SNR)及圖像相似度(SSIM)客觀指標(biāo)進(jìn)行評價(jià)去噪效果。對于真實(shí)的SAR圖像，由于其干凈的圖像未知，因此不可采用以上指標(biāo)進(jìn)行評價(jià)，這里采用等效視數(shù)(ENL)和均值(MEAN)來比較去噪效果。本實(shí)驗(yàn)中，選取參數(shù)K=20，t=0.001，λ=0.05，v=1.2。

第一組實(shí)驗(yàn)，對Lena圖像加入不同強(qiáng)度的乘性噪聲，采用不同的迭代次數(shù)進(jìn)行試驗(yàn)后，得到采用AA模型、FV模型以及本模型對其進(jìn)行去噪的最佳效果，它們之間的對比結(jié)果如圖1所示。圖1(a)為原始的Lena圖像，圖1(b)和圖1(c)是分別加入標(biāo)準(zhǔn)差為σ2=0.02,0.04乘性噪聲圖像。圖1(d)～圖1(i)分別是FV模型、AA模型及本模型進(jìn)行去噪后的結(jié)果，從圖1中可以看出，本文提出的模型復(fù)原效果較好，它在去除噪聲的同時(shí)，很好地保持了圖像的邊緣紋理細(xì)節(jié)。

圖1　在不同強(qiáng)度噪聲Lena圖像去噪效果對比

為了定性的分析本文模型更有優(yōu)勢，再列出在不同噪聲強(qiáng)度下，各個(gè)模型去噪后評價(jià)指標(biāo)值及運(yùn)行時(shí)間和迭代次數(shù)，如表1及表2所示。

從表1中可以看出，本文模型在迭代25次的時(shí)候，就可以得到PSNR、SNR及SSIM的最大值，而AA模型和FV模型分別需要迭代50次和53次；本模型處理時(shí)間為8 s，其余兩個(gè)模型處理時(shí)間多于本模型；從PSNR、SNR及SSIM的值上面可以看出，本模型去噪后圖像的峰值信噪比、信噪比及相似度大，得到很好的去噪效果。

表1　Lena圖像去噪效果客觀指標(biāo)(0.02)

從表2中同樣可以看出，本模型中的客觀評價(jià)指標(biāo)都高于其他兩個(gè)模型，本模型的運(yùn)行效率也優(yōu)于其他兩個(gè)模型，收斂速度快。

表2　Lena圖像去噪效果客觀指標(biāo)(0.04)

第二組實(shí)驗(yàn)，為了進(jìn)一步說明本模型的效果，對紋理細(xì)節(jié)比較豐富的Barbara圖像添加σ2=0.02的強(qiáng)度噪聲，并采用上述3種模型進(jìn)行去噪，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2和表3所示。

圖2　Barbara圖像去噪效果對比

PSNRSNRSSIM運(yùn)行時(shí)間/s迭代次數(shù)加噪圖像23.578.460.999905——————FV模型29.0213.930.99996111.2743AA模型29.0013.910.99996112.1948本文模型29.0813.990.9999627.3822

圖2中可以看出，本文提出的分?jǐn)?shù)階去噪模型

主觀視覺上對圖像質(zhì)量有所改進(jìn)，從表3中的客觀指標(biāo)來看，本文模型得到的信噪比、峰值信噪比也是最大的。由Barbara局部放大圖(見圖3)可以看出：FV模型對紋理細(xì)節(jié)信息較好地保持了下來，但圖像邊緣保持不是特別好；AA模型可以較好地保持邊緣，但紋理信息保持不好且有較明顯的“階梯效應(yīng)”；而本文的模型不僅在邊緣和紋理保持方面都取得較好的效果，同時(shí)有效抑制“階梯效應(yīng)”。

圖3　Barbara圖像局部放大去噪效果對比

第三組實(shí)驗(yàn)，對真實(shí)的SAR圖像，即被相干斑噪聲污染的Tianye圖像、sar1圖像為例進(jìn)行去噪實(shí)驗(yàn)?？紤]到篇幅的問題，在此只列sar1去噪后的客觀指標(biāo)和Tianye圖像去噪后對比圖及客觀指標(biāo)對比表。圖4(a)、圖4(b)分別為Tianye原始圖像、sar1原始圖像。圖4(c)～圖4(e)分別為Tianye去噪效果對比圖。表4 、表5分別列出Ttianye圖像、sar1圖像去噪后的A,B,C 3個(gè)平坦區(qū)域的等效視數(shù)及整幅圖像的均值。

圖4　原始圖像及各個(gè)模型去噪效果對比圖

區(qū)域AENL區(qū)域BENL區(qū)域CENLMEAN運(yùn)行時(shí)間/s迭代次數(shù)噪聲圖像10.0611.118.490.41933——————AA模型168.98259.67128.790.4195168.59500FV模型130.99199.26106.560.4194968.45500本文模型252.33445.52323.410.4198268.53500

表5　sar1圖像去噪效果客觀指標(biāo)

表4中可以看出。在達(dá)到最佳效果的情況下，本文方法迭代次數(shù)少于其他模型的次數(shù)，所耗時(shí)間也低于其他模型，各個(gè)區(qū)域的等效視數(shù)、均值也高于其他模型。通過圖4和表5中的比較結(jié)果可以看出，AA模型在迭代500次時(shí)，可以得到較好的去噪效果，且較好地保持邊緣，但在平坦地區(qū)出現(xiàn)過渡光滑的階梯效應(yīng)。FV模型在迭代500次時(shí)，在去噪的同時(shí)對階梯效應(yīng)有一定的抑制，但是邊緣保持不是特別好。本文方法在迭代500次時(shí)，區(qū)域B的等效視數(shù)最高，區(qū)域A和區(qū)域C略低，去噪后圖像的均值與原始圖像的均值之差略大于其他模型，但是去噪和邊緣細(xì)節(jié)保持都有較好的效果，對階梯效應(yīng)也有所抑制。

4結(jié)束語

本文針對經(jīng)典整數(shù)階變分模型AA模型在去噪時(shí)較容易丟失紋理信息問題，把能較好地保持圖像紋理細(xì)節(jié)信息的分?jǐn)?shù)階變分模型引入其中，得到一種去除乘性噪聲的新的分?jǐn)?shù)階變分模型。通過仿

真實(shí)驗(yàn)和真實(shí)SAR圖像去噪實(shí)驗(yàn)，得到該模型在去噪的同時(shí)，可以較好地保持邊緣和紋理信息，對階梯效應(yīng)也有所抑制。本文模型中分?jǐn)?shù)階的次數(shù)是人工進(jìn)行選擇，如何根據(jù)圖像的特征信息使得階次自適應(yīng)選擇以便得到更好的去噪效果是進(jìn)一步要研究的內(nèi)容。

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[責(zé)任編輯：張德福]

A multiplicative fractional-order variation based on noise removal modelWANG Tianfang1,LI Hao1,ASMAT ULLAH2，ZHOU Yi1

(1.College of Earth Science and Engineering,Hohai University,Nanjing 210098,China;2.College of Mechanics and Materials,Hohai University,Nanjing 210098,China)

Abstract：A new fraction-order variational model combined with TV model is proposed to solve the problem that the staircase effect and lossing texture details based on the classical variational models for multiplicative noise removal.By using the gradient descent method to solve it,the numerical experimental results show that the proposed model can not only remove noise effectively but also preserve edges,keep the texture and other details as well.At the same time,the staircase effect can be suppressed and the signal-to-noise ratio of the image can be improved.

Key words：fraction-order variation;multiplicative noise;staircase effect;edge preserving;texture information

中圖分類號：TP 391

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1006-7949(2016)05-0020-05

作者簡介：王田芳(1989-)，女，碩士研究生.

基金項(xiàng)目：國土資源部地質(zhì)信息技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開放課題(20141526);江蘇省高校優(yōu)勢學(xué)科建設(shè)工程資助項(xiàng)目(PAPD)

收稿日期：2015-05-03