基于羅德里格矩陣的空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

韓夢(mèng)澤，李克昭

(1.河南理工大學(xué) 測(cè)繪與國(guó)土信息工程學(xué)院，河南 焦作 454003；2.商丘工學(xué)院 土木工程學(xué)院，河南 商丘 476000)

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基于羅德里格矩陣的空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

韓夢(mèng)澤1,2，李克昭1

(1.河南理工大學(xué) 測(cè)繪與國(guó)土信息工程學(xué)院，河南 焦作 454003；2.商丘工學(xué)院 土木工程學(xué)院，河南 商丘 476000)

摘要：三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換一直是測(cè)量領(lǐng)域的一個(gè)重要內(nèi)容。針對(duì)現(xiàn)有算法普遍存在的不適用大旋角轉(zhuǎn)換、計(jì)算繁雜等缺點(diǎn)，從旋轉(zhuǎn)矩陣的表達(dá)方式入手，提出了一種基于羅德里格矩陣的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法。算例分析表明,文中方法無(wú)需線性化，計(jì)算簡(jiǎn)便，且能適用大旋角轉(zhuǎn)換。

關(guān)鍵詞：坐標(biāo)轉(zhuǎn)換；旋轉(zhuǎn)參數(shù)；羅德里格矩陣

不同空間直角坐標(biāo)系之間的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換一直是測(cè)繪領(lǐng)域的一個(gè)重要內(nèi)容，國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者在這方面做了大量研究[1-5]?？臻g坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的實(shí)質(zhì)是用公共點(diǎn)的2套坐標(biāo)和非公共點(diǎn)的1套坐標(biāo)推估非公共點(diǎn)的另1套坐標(biāo)。坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過(guò)程通常分2步，先由公共點(diǎn)坐標(biāo)解算轉(zhuǎn)換參數(shù)，再由轉(zhuǎn)換參數(shù)轉(zhuǎn)換非公共點(diǎn)。轉(zhuǎn)換參數(shù)通常分為旋轉(zhuǎn)、平移和尺度參數(shù)，其中旋轉(zhuǎn)參數(shù)的確定是坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的核心。傳統(tǒng)的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型是用3個(gè)旋轉(zhuǎn)角作為旋轉(zhuǎn)參數(shù)，建立的模型是非線性的，常需要用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法將模型線性化，計(jì)算比較繁雜[6-8]。在小角度旋轉(zhuǎn)情況下，可對(duì)旋轉(zhuǎn)矩陣作近似處理，得到線性模型，如常用的布爾莎模型[9]。針對(duì)大旋角的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問(wèn)題，陳義提出了一種用9個(gè)方向余弦參數(shù)作為旋轉(zhuǎn)參數(shù)的解算模型，雖然能適用大旋角轉(zhuǎn)換，但參數(shù)個(gè)數(shù)達(dá)到了13個(gè)[10]。游為直接從三維直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的非線性方程出發(fā)，根據(jù)最優(yōu)化問(wèn)題的極值條件，采用基于同倫連續(xù)思想的Li-Yorke算法求解7個(gè)轉(zhuǎn)換參數(shù)，雖然能適用大旋角轉(zhuǎn)換，但計(jì)算較復(fù)雜[11]。針對(duì)這些情況，本文提出了一種用羅德里格矩陣表示旋轉(zhuǎn)矩陣的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法，僅有3個(gè)旋轉(zhuǎn)參數(shù)，計(jì)算過(guò)程無(wú)需線性化，且能適用大旋角轉(zhuǎn)換。

1空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)模型

設(shè)A點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系o-uvw和o-xyz中的坐標(biāo)分別為(u,v,w)和(x,y,z);a1,a2,a3為軸u與軸x,y,z間夾角的余弦;b1,b2,b3為軸v與軸x,y,z間夾角的余弦;c1,c2,c3為軸w與軸x,y,z間夾角的余弦;λ為尺度參數(shù);(Δx,Δy,Δz)為平移參數(shù)，則有如下關(guān)系：

(1)

方向余弦矩陣通常由繞3個(gè)坐標(biāo)軸順次旋轉(zhuǎn)的歐拉角φ,ω,κ表示，這時(shí)需要求取的轉(zhuǎn)換參數(shù)為λ,φ,ω,κ,Δx,Δy,Δz。

2基于羅德里格矩陣的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型

2.1羅德里格矩陣

羅德里格矩陣可由反對(duì)稱矩陣構(gòu)建，引入一個(gè)具有3個(gè)獨(dú)立元素的反對(duì)稱矩陣

則R=(I+S)(I-S)-1是個(gè)正交矩陣，其中I是3階單位陣。

將R展開(kāi)為

(3)

這個(gè)正交矩陣就是羅德里格矩陣。

2.2轉(zhuǎn)換參數(shù)的求解

用羅德里格矩陣表示方向余弦矩陣時(shí)，需要求取的轉(zhuǎn)換參數(shù)為λ,a,b,c,Δx,Δy,Δz。參數(shù)解算過(guò)程可分3步，先求尺度參數(shù)，再求旋轉(zhuǎn)參數(shù)，最后求平移參數(shù)。尺度參數(shù)可由2個(gè)公共點(diǎn)在不同坐標(biāo)系下的距離之比算出，其表達(dá)式為

(4)

公共點(diǎn)較多時(shí)，可求出各點(diǎn)間多個(gè)距離比，再取平均值。

在解算旋轉(zhuǎn)參數(shù)a,b,c時(shí)，可以先消去平移參數(shù)，將2個(gè)公共點(diǎn)的坐標(biāo)代入式(1)，求差得

(5)

上式兩端同時(shí)左乘(I-S)得

(6)

由R=(I+S)(I-S)-1知(I-S)R=(I+S)，將其代入式(6)得

(7)

將I和S代入，整理得

(8)

式中:u21=u2-u1，v21=v2-v1，w21=w2-w1，x21=x2-x1，y21=y2-y1，z21=z2-z1。

這個(gè)方程組左邊的系數(shù)矩陣為奇異陣，3個(gè)方程里僅有2個(gè)獨(dú)立，需要至少2個(gè)這樣的方程組才能解算出a,b,c，也就是至少需要3個(gè)公共點(diǎn)。當(dāng)有n個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，可列出(n-1)個(gè)形如上式的方程組，共有3(n-1)個(gè)方程，其總誤差方程為

式中:

按最小二乘法間接平差原理求解未知數(shù)

(10)

計(jì)算出a,b,c后，即可求出旋轉(zhuǎn)矩陣，然后按下式求解平移參數(shù)：

(11)

3算例分析

為驗(yàn)證上文算法的適用性，現(xiàn)用一組模擬數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算分析?？臻g坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的核心是確定旋轉(zhuǎn)參數(shù)，尺度參數(shù)和平移參數(shù)的求取是很簡(jiǎn)單的，為了更簡(jiǎn)明的驗(yàn)證本文的算法，這里將尺度參數(shù)設(shè)為1，將3個(gè)平移參數(shù)都設(shè)為0。目標(biāo)坐標(biāo)系與原坐標(biāo)系間坐標(biāo)軸按Y軸、X軸、Z軸的順序旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度依次為2°、4°和6°，則旋轉(zhuǎn)矩陣為

設(shè)3個(gè)點(diǎn)在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為(5,8,15)、(10,10,10)、(20,30,40)，則由旋轉(zhuǎn)矩陣可計(jì)算出其在目標(biāo)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(3.591 0,7.411 8,15.689 8)、(8.519 6,10.266 2,11.046 4)、(15.274 1,29.058 2,42.688 7)。由這3個(gè)點(diǎn)的2套坐標(biāo)，用上文的算法計(jì)算出的羅德里格參數(shù)a,b,c分別為0.034 0、0.019 3、0.053 0，羅德里格矩陣為

可見(jiàn)，R2與R1相差極小，僅有3個(gè)方向余弦值不同，且都是相差0.000 1。需要指出的是，用MATLAB計(jì)算數(shù)值，默認(rèn)的顯示精度是到小數(shù)點(diǎn)后4位，當(dāng)顯示精度設(shè)置為更高時(shí)，R2與R1的差值會(huì)更小。

上面的算例是小角度旋轉(zhuǎn)的情況，為了更好地驗(yàn)證本文算法的適用性，現(xiàn)再模擬一組大角度旋轉(zhuǎn)下的數(shù)據(jù)。坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)順序不變，旋轉(zhuǎn)角度依次為20°、40°和60°，則旋轉(zhuǎn)矩陣為

設(shè)3個(gè)點(diǎn)在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為(5,8,15)、(10,10,10)、(20,30,40)，則由旋轉(zhuǎn)矩陣計(jì)算出的其在目標(biāo)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(-9.922 5,-3.260 6,14.314 7)、(-9.062 7,4.036 5,14.197 7)、(-32.602 7,-0.952 6,42.850 4)。由這3個(gè)點(diǎn)的2套坐標(biāo)，用上文的算法計(jì)算出的羅德里格參數(shù)a,b,c分別為0.272 3、0.401 3、0.666 2，旋轉(zhuǎn)矩陣為

可見(jiàn)，R4與R3相差極小，僅有2個(gè)方向余弦值不同，且都是相差0.000 1。由以上算例分析可知，本文的模型是正確的，可用于小角度和大角度旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，且轉(zhuǎn)換精度很高。

4結(jié)束語(yǔ)

本文從旋轉(zhuǎn)矩陣的表達(dá)方式入手，用羅德里格矩陣表示方向余弦矩陣，推導(dǎo)了基于羅德里格矩陣的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型。與常規(guī)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型相比，該模型用代數(shù)運(yùn)算替代了三角運(yùn)算，無(wú)需對(duì)旋轉(zhuǎn)參數(shù)線性化，模型簡(jiǎn)單，計(jì)算簡(jiǎn)便，可用于大旋角的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，且具有很高的轉(zhuǎn)換精度。

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[責(zé)任編輯：劉文霞]

Spatial coordinate transformation based on Rodrigues matrix

HAN Mengze1,2,LI Kezhao1

(1.School of Surveying and Land Information Engineering,Henan Polytechnic University,Jiaozuo 454003,China；2.College of Civil Engineering,Shangqiu Institute of Technology,Shangqiu 476000,China)

Abstract：The three-dimensional coordinate transformation has always been an important content in the field of surveying and mapping.The existing algorithms are usually difficult to calculate or can’t adapt to big angle rotation transformation.The transformation model based on Lodrigues matrix was deducted.Numerical examples show that the method is feasible and simple,which needn’t linearization and can adapt to big angle rotation transformation.

Key words：coordinate transformation；rotation parameters；Rodrigues matrix

中圖分類號(hào)：P226+.3

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1006-7949(2016)04-0025-03

作者簡(jiǎn)介：韓夢(mèng)澤(1988-)，男，碩士.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(41272373，41202245)

收稿日期：2015-01-03