非標(biāo)準(zhǔn)模型中*-映射的內(nèi)部刻畫(huà)

馮晶晶，陳東立

(1.西安培華學(xué)院基礎(chǔ)部，陜西 西安 710125；

2.西安建筑科技大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710055)

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非標(biāo)準(zhǔn)模型中*-映射的內(nèi)部刻畫(huà)

馮晶晶1，陳東立2

(1.西安培華學(xué)院基礎(chǔ)部，陜西 西安 710125；

2.西安建筑科技大學(xué)理學(xué)院，陜西 西安 710055)

[摘要]介紹了超結(jié)構(gòu)的超冪模型及其有關(guān)結(jié)論，進(jìn)一步給出了M-映射和e-映射的定義及其性質(zhì)，得到了*-映射的內(nèi)部構(gòu)造以及*-映射的性質(zhì).最后用*-映射的內(nèi)部構(gòu)造證明了轉(zhuǎn)換原理.

[關(guān)鍵詞]超冪模型；M-映射；e-映射；*-映射；轉(zhuǎn)換原理

非標(biāo)準(zhǔn)分析是數(shù)學(xué)中利用現(xiàn)代數(shù)理邏輯，把通常的實(shí)數(shù)結(jié)構(gòu)擴(kuò)張為包括無(wú)窮小和無(wú)窮大的結(jié)構(gòu)后形成的一個(gè)分支，是使用非標(biāo)準(zhǔn)模型研究各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的新的數(shù)學(xué)理論.非標(biāo)準(zhǔn)分析已被廣泛應(yīng)用到巴拿赫空間、微分方程、概率論、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)理物理學(xué)等領(lǐng)域.[1-3]關(guān)于非標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題的研究大致分為兩個(gè)方面：一是對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)模型的研究；二是利用非標(biāo)準(zhǔn)方法解決標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.目前，絕大多數(shù)非標(biāo)準(zhǔn)分析方面的文獻(xiàn)均是討論用非標(biāo)準(zhǔn)的方法解決標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，提供了把有限數(shù)學(xué)中的結(jié)論和方法應(yīng)用到無(wú)限數(shù)學(xué)中的可能.[4-7]但已有文獻(xiàn)對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)模型的研究相對(duì)較少，隨著非標(biāo)準(zhǔn)分析的廣泛應(yīng)用，對(duì)非標(biāo)準(zhǔn)模型的深入研究顯得尤為迫切.

1預(yù)備知識(shí)

設(shè)S為個(gè)體集，令

V0(S)=S，

Vn(S)=Vn-1(S)∪P(Vn-1(S)).

令

V(S)I={f|fδ∈V(S) a.e.，δ∈I}，

即V(S)I為I到V(S)中的全體映射.記

則稱(chēng)Z中的元素為有界映射.定義等價(jià)關(guān)系f~Fg?{δ∈I|fδ=gδ}∈F，容易證明~F是V(S)I中的等價(jià)關(guān)系.

令

V(S)I/~F={[f]|f∈V(S)I}，

其中[f]={g∈V(S)I|g~Ff}，則稱(chēng)V(S)I/~F為V(S)的超冪，稱(chēng)Z/~F={[f]|f∈Z}為V(S)上的有界超冪.

命題1Z/~F?V(S)I/~F.

證明對(duì)任意的[f]∈Z/~F，f∈Z，存在某個(gè)n∈N使得f∈Zn，從而

fδ∈Vn(S) a.e..

又

Vn(S)?V(S)，

所以

fδ∈V(S) a.e.，f∈V(S)I，[f]∈V(S)I/~F.

故

Z/~F?V(S)I/~F.

證明

2主要結(jié)果

定義1對(duì)任意f∈V(S)，設(shè)〈f〉為常值映射(f)δ∈I所在的等價(jià)類(lèi).則稱(chēng)映射e:f→〈f〉為自然嵌入映射.

命題3自然嵌入映射e是V(S)到Z/~F內(nèi)的單射.

證明任意選取f，g∈V(S)，f≠g，假設(shè)e(f)=e(g).由于

e(f)=〈f〉，e(g)=〈g〉，

則fδ=gδ，從而f=g.這與f≠g矛盾，即e(f)≠e(g)，e是V(S)到Z/~F內(nèi)的單射.

定義2對(duì)任意的[f]，[g]∈V(S)I/~F，[f]∈F[g]是指fδ∈gδa.e..

注[f]≠{[g]|[g]∈F[f]}，其中“∈F”與“∈”不同.

設(shè)S是個(gè)體集，令*S=SI/~F={[f]|fδ∈S}，則*S也是個(gè)體集.?[f]∈*S，存在δ∈I，fδ∈S.由于S為個(gè)體集，則fδ≠?，且對(duì)任意的r∈S，r?fδa.e.，從而[f]≠?，且對(duì)任意的[g]∈*S，[g]?[f].

類(lèi)似V(S)的構(gòu)造，我們構(gòu)造*S上的超結(jié)構(gòu)V(*S)如下：

V0(*S)=*S，

Vk+1(*S)=Vk(*S)∪P(Vk(*S))，

定理1存在Z/~F到V(*S)內(nèi)的單射M，使得:

(1) M在*S上是恒等映射；

(2) 對(duì)任意的[f]∈Z/~F*S，M([f])={M([g])|[g]∈F[f]}.

證明(1) 定義M為：若[f]=V0(*S)=*S，則

M([f])=[f]∈V0(*S)=*S；

若[f]∈Vn(S)I/~F*S，且已定義了M([f])，則當(dāng)[f]∈Vn+1(S)I/~F*S時(shí)，

M([f])={M([g])|[g]∈F[f]}.

對(duì)任意的[f]，[f′]∈Z/~F，且[f]=[f′]，有

M([f])={M([g])|[g]∈F[f]}，

M([f′])={M([g])|[g]∈F[f′]}.

又[f]=[f′]，從而

M([f])={M([g])|[g]∈F[f]}={M([g])|[g]∈F[f′]}=M([f′]).

故M是Z/~F到V(*S)內(nèi)的映射.特別地，由M的定義知M在*S上是恒等映射.

(2) 對(duì)任意的[f]，[g]∈Z/~F，且[f]≠[g]，有

M([f])={M([t])|[t]∈F[f]}，

M([g])={M([t])|[t]∈F[g]}.

若M([f])=M([g])，即

{M([t])|[t]∈F[f]}={M([t])|[t]∈F[g]}，

則

{M([t])|tδ=fδa.e.}={M([t])|tδ=gδa.e.}.

故fδ=gδa.e.，從而f~Fg，[f]=[g].這與[f]≠[g]矛盾，所以

M([f])≠M(fèi)([g])，

即M是Z/~F到V(*S)內(nèi)的單射.

定義3令M°e:V(S)→V(*S).則對(duì)任意的a∈V(S)，稱(chēng)*a=M(e(a))為a的非標(biāo)準(zhǔn)擴(kuò)張.

注對(duì)任意的f∈Z，M([f])與*f是不同的.

定理2*-映射是V(S)到V(*S)內(nèi)的單射.

證明?x，y∈V(S)，若*x=*y，則M(e(x))=M(e(y)).由于M，e均為單射，所以x=y，即*-映射是V(S)到V(*S)內(nèi)的單射.

文獻(xiàn)[8]指出:一個(gè)給定的全域U的形式語(yǔ)言LV(S)由詞匯集和公式集兩部分組成，如果公式中的變量都不是自由出現(xiàn)的，則稱(chēng)公式為句子.在下面的證明過(guò)程中，將有關(guān)*-映射分解為M-映射和e-映射的合成.

定理3[9](轉(zhuǎn)換原理)若α為形式語(yǔ)言LV(S)(其中S為非空個(gè)體集)中的有界句子，則V(S)|=α，當(dāng)且僅當(dāng)V(*S)|=*α.這里的*α是將α中的每個(gè)常量u替換為*u而得到的形式語(yǔ)言LV(S)中的句子.

證明對(duì)括號(hào)的個(gè)數(shù)m進(jìn)行歸納證明.

當(dāng)m=0時(shí)， α形如u=v，u∈v，其中u，v是V(*S)中的元.

若u=v，則

*u=M(e(u))=M(〈u〉)=M(〈v〉)=M(e(v))=*v；

反之，若*u=*v，即

M(e(u))=M(e(v)).

由于M，e均是單射，所以u(píng)=v.因此u=v，當(dāng)且僅當(dāng)*u=*v.

若u∈v，由于

同理可得

M(e(u))∈M(e(v))，

即

*u∈*v；

反之，若*u∈*v，即

M(e(u))∈M(e(v))，

從而

M-1(M(e(u)))∈M-1(M(e(v))).

于是e(u)∈e(v)，同理可得u∈v.所以u(píng)∈v當(dāng)且僅當(dāng)*u∈*v.由此證得當(dāng)m=0時(shí)定理成立.

假設(shè)括號(hào)的個(gè)數(shù)小于m時(shí)定理結(jié)論成立，則當(dāng)括號(hào)數(shù)為m時(shí)，α有三種情況：

(ⅱ) α=[β]∨[γ]；

(ⅲ) α=?xi[δ].

其中β，γ是句子，而δ或是句子或是僅以xi為自由變量的公式.顯然β，γ，δ的括號(hào)數(shù)小于m.下面分情況進(jìn)行討論.

(ⅰ) V(*S)|=*α，當(dāng)且僅當(dāng)V(*S)|=*β不成立.由歸納假設(shè)，V(*S)|=*β不成立，當(dāng)且僅當(dāng)V(S)|=β不成立，當(dāng)且僅當(dāng)V(S)|=β，即V(S)|=α.所以V(*S)|=*α，當(dāng)且僅當(dāng)V(S)|=α.

(ⅱ) V(*S)|=*α，當(dāng)且僅當(dāng)V(*S)|=*β，且V(*S)|=*γ.由歸納假設(shè)，V(*S)|=*β且V(*S)|=*γ，當(dāng)且僅當(dāng)V(S)|=β且V(S)|=γ，當(dāng)且僅當(dāng)V(S)|=α.所以V(*S)|=*α，當(dāng)且僅當(dāng)V(S)|=α.

(ⅲ) 對(duì)V(S)中的任意元素u，用δ(u)表示把在δ中自由出現(xiàn)的xi換成u后得到的公式.若xi在δ中的出現(xiàn)都不是自由的，則δ(u)即是δ.由于xi是δ中可能出現(xiàn)的僅有變量，所以δ(u)中不再有自由變量，故是句子.因δ(u)的括號(hào)數(shù)小于m，由歸納假設(shè)V(S)|=δ(u)，當(dāng)且僅當(dāng)V(*S)|=*δ(*u).

若V(*S)|=*α，故存在V(*S)中的元*u，V(*S)|=*δ(*u).由歸納假設(shè)V(*S)|=*δ(*u)，當(dāng)且僅當(dāng)V(S)|=δ(u)，從而V(S)|=?xi[δ]，即V(S)|=α.

若V(S)|=α，于是A∈F，當(dāng)i∈A時(shí)，有V(S)中的元素f(i)，使V(S)|=δ[f(i)].設(shè)v是V(S)中任一元素，對(duì)i∈Ac，令f(i)=v.于是由選擇公理，存在f:I→V(S)，使

V(S)|=δ[f(i)].

從而由歸納假設(shè)，V(*S)|=*δ[*f(i)]，即存在V(*S)中的元素*f(i)，使得

V(*S)|=*δ[*f(i)]，

即V(*S)|=*α.

綜上所述，V(S)|=α，當(dāng)且僅當(dāng)V(*S)|=*α.

[參考文獻(xiàn)]

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[9]DAVIS M.Applied nonstandard analysis[M].New York：Wiley，1977:17-28.

(責(zé)任編輯：李亞軍)

*-Mapping of the nonstandard model

FENG Jing-jing1， CHEN Dong-li2

(1.Department of Basic Courses，Xi’an Peihua University，Xi’an 710125，China；2.School of Science，Xi’an University of Architecture and Technology，Xi’an 710055，China)

Abstract:Firstly，the ultrapowers of the superstructure and some related conclusions are introduced. Then the definitions and properties of the M-mapping and e-mapping are presented. Moreover，the natural construction of *-mapping is given and a property of *-mapping is proved. Finally，the transfer principle is proved by the natural construction of *-mapping.

Keywords:ultrapowers model；M-mapping；e-mapping；*-mapping；transfer principle

[中圖分類(lèi)號(hào)]O 141.41[學(xué)科代碼]110·37

[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

[作者簡(jiǎn)介]馮晶晶(1984—)，女，碩士，講師，主要從事應(yīng)用非標(biāo)準(zhǔn)分析研究；陳東立(1963—)，男，碩士，教授，主要從事應(yīng)用非標(biāo)準(zhǔn)分析研究.

[基金項(xiàng)目]陜西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2007A12)；陜西省教育廳專(zhuān)項(xiàng)科學(xué)研究項(xiàng)目(11JK0507).

[收稿日期]2014-08-29

[文章編號(hào)]1000-1832(2016)01-0001-04

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.01.001