典型汽車碰撞模型病態(tài)問題的成因分析與處理*

張 健,張 鑫,梁 超,李 江

(1.北華大學(xué)汽車與建筑工程學(xué)院,吉林 132013； 2.人民交通出版社股份有限公司,北京 100011；3.吉林大學(xué)交通學(xué)院,長春 130022)

2016204

典型汽車碰撞模型病態(tài)問題的成因分析與處理*

張 健1,張 鑫2,梁 超1,李 江3

(1.北華大學(xué)汽車與建筑工程學(xué)院,吉林 132013； 2.人民交通出版社股份有限公司,北京 100011；3.吉林大學(xué)交通學(xué)院,長春 130022)

為解決典型汽車碰撞模型病態(tài)問題，根據(jù)其幾何特征，應(yīng)用線性空間與內(nèi)積空間理論計(jì)算了模型中任意兩個(gè)方程之間的夾角。結(jié)果表明，病態(tài)問題的成因在于模型中某些方程之間存在很強(qiáng)的線性相關(guān)性。通過對(duì)這些方程進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，在病態(tài)范圍內(nèi)建立了改進(jìn)模型。應(yīng)用攝動(dòng)理論，提出了對(duì)改進(jìn)模型可靠性的檢驗(yàn)方法。實(shí)例檢驗(yàn)結(jié)果表明，在病態(tài)范圍內(nèi)當(dāng)模型系數(shù)存在1%誤差時(shí)改進(jìn)模型能將碰撞前車速誤差控制在合理的范圍內(nèi)，說明在病態(tài)范圍內(nèi)建立改進(jìn)模型能解決模型病態(tài)問題。

汽車碰撞模型；病態(tài)問題；誤差；攝動(dòng)理論

前言

以動(dòng)量守恒定律和彈性變形為力學(xué)基礎(chǔ)建立的典型汽車碰撞模型(以下簡稱模型)廣泛用于計(jì)算碰撞前車速和事故原因分析[1-3]。模型為A0v0=Av形式，其中：A0和A為碰撞前和碰撞后車速向量系數(shù)矩陣；v0和v為碰撞前和碰撞后車速向量。A0和A中的系數(shù)包括：相互碰撞的兩車質(zhì)量(m1，m2)和繞車輛質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(以下簡稱轉(zhuǎn)動(dòng)慣量)、車身碰撞中心坐標(biāo)和彈性恢復(fù)系數(shù)[4]。通過求解v0=inv(A0)·Av，能夠快速計(jì)算碰撞前車速。但是，應(yīng)用中發(fā)現(xiàn)當(dāng)兩車的質(zhì)量比m2/m1處在m2/m1≈1,m2/m1>>1和m2/m1<<1范圍時(shí)，如果A0中的系數(shù)存在微小的誤差將導(dǎo)致模型計(jì)算的碰撞前車速產(chǎn)生較大的誤差，模型出現(xiàn)病態(tài)問題。目前，國內(nèi)主要通過現(xiàn)場勘查、事故車損壞狀況評(píng)估和應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)公式估算A0中的系數(shù)。由于主客觀因素的影響，所確定的系數(shù)難免存在誤差[5-6]。國外主要應(yīng)用基于車對(duì)車碰撞試驗(yàn)開發(fā)的事故分析軟件和數(shù)據(jù)庫，采用正向模擬的方法計(jì)算碰撞前車速[7-8]，對(duì)此類問題涉及甚少。為了準(zhǔn)確分析汽車碰撞事故的原因，擴(kuò)展模型的應(yīng)用范圍，對(duì)于難以解決的模型病態(tài)問題，建立一種有效的處理方法尤為必要。為此，應(yīng)用線性空間與內(nèi)積空間理論分析了模型病態(tài)問題的形成原因；應(yīng)用數(shù)學(xué)變換在病態(tài)范圍內(nèi)建立了改進(jìn)模型，實(shí)現(xiàn)了對(duì)模型病態(tài)問題的有效處理。

1 模型

基于動(dòng)量守恒定律和彈性變形條件，文獻(xiàn)[4]中建立了由6個(gè)方程組成的模型，表示為

A01v01=A1v1

(1)

式中：A01和A1為碰撞前和碰撞后車速向量的系數(shù)矩陣；v01和v1為碰撞前和碰撞后車速向量。

v01=(v10n,v10τ,v20n,v20τ,ω10,ω20)T

v1=(v1n,v1τ,v2n,v2τ,ω1,ω2)T

式中：vi0n和vi0τ為碰撞前車速的法向和切向分量；i=1,2,本文中表示車輛1和車輛2；ωi0為碰撞前車輛繞其質(zhì)心的橫擺角速度(以下簡稱角速度)；vin和viτ為碰撞后車速的法向和切向分量；ωi為碰撞后車輛角速度。

(2)

式中:mi為車輛質(zhì)量；xiτ和xin為車身碰撞中心的切向和法向坐標(biāo)(簡稱切向和法向坐標(biāo))；Ji為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；μ和k為車身碰撞中心的切向碰撞沖量與法向碰撞沖量之比和彈性恢復(fù)系數(shù)；將A01中第6行元素依次用1，0，-1，0，-x1τ和x2τ替代后得到A1。模型的病態(tài)范圍為m2/m1≈1,m2/m1>>1和m2/m1<<1。

2 病態(tài)問題的成因

根據(jù)線性空間與內(nèi)積空間理論[9]，通過計(jì)算模型中兩個(gè)方程之間的夾角來判斷它們之間是否存在線性相關(guān)性。

θξη=arccos[|(Eξ,Eη)|/(‖Eξ‖·‖Eη‖)]

(3)

式中：θξη為兩個(gè)方程之間的夾角；下標(biāo)ξ和η代表方程ξ和方程η；|(Eξ,Eη)|為方程ξ和方程η的內(nèi)積絕對(duì)值；‖Eξ‖和‖Eη‖為方程ξ和方程η的范數(shù)。θξη只取決于A0中的系數(shù)。

為研究模型病態(tài)問題的形成原因，選擇質(zhì)量比與病態(tài)范圍相對(duì)應(yīng)的4種代表車輛來模擬車輛碰撞。假設(shè)車輛1為被撞車輛，4種碰撞形式見表1。

表1 車輛主要參數(shù)

代表車輛的Ji按文獻(xiàn)[10]計(jì)算，取k=0.3，μ采用預(yù)估方法取值(見文獻(xiàn)[11])。將4種碰撞形式的系數(shù)代入式(2)中，應(yīng)用式(3)計(jì)算模型中兩個(gè)方程之間的夾角(表2)。

由表2可知：(1)在4種碰撞形式中，θ15和θ25均小于50°，因此，模型中第1個(gè)方程與第5個(gè)方程和第2個(gè)方程與第5個(gè)方程之間存在非常嚴(yán)重的線性相關(guān)性，這是模型病態(tài)問題形成的主要原因；(2)在2種碰撞形式中，θ36和θ46均小于50°，因此，模型中第3個(gè)方程與第6個(gè)方程和第4個(gè)方程與第6個(gè)方程之間存在嚴(yán)重的線性相關(guān)性，這是模型病態(tài)問題形成的次要原因；(3)在1種碰撞形式中，θ13,θ23,θ14和θ24均小于50°，因此，模型中第1個(gè)方程與第3個(gè)方程之間，第2個(gè)方程與第3個(gè)方程之間，第1個(gè)方程與第4個(gè)方程之間和第2個(gè)方程與第4個(gè)方程之間存在線性相關(guān)性，這是模型病態(tài)問題形成的一般原因。

3 模型的重建

根據(jù)模型病態(tài)問題的成因，在病態(tài)范圍內(nèi)對(duì)存在線性相關(guān)性的方程進(jìn)行重建，建立改進(jìn)模型。

表2 4種碰撞形式的θξη (°)

注：*表示兩方程之間存在線性相關(guān)性。

對(duì)文獻(xiàn)[4]中μ的定義式進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，重建式(4)；應(yīng)用動(dòng)量定理，得到式(5)和式(6)。

μv10n-v10τ-μv20n+v20τ=μv1n-v1τ-μv2n+v2τ

(4)

ω10=ω1+(x1τ-μx1n)[m1(v1n-v10n)-

m2(v2n-v20n)]/(2J1)

(5)

ω20=ω2-(x2τ-μx2n)[m1(v1n-v10n)-

m2(v2n-v20n)]/(2J2)

(6)

用式(5)和式(6)替代模型中第6個(gè)方程中的ω10和ω20，重建式(7)。

b61v10n+b63v20n=c61v1n+c63v2n+c65ω1+c66ω2

(7)

其中：

b61=-k{1+0.5m1[(x1nτ/J1)+(x2nτ/J2)]}

b63=k{1+0.5m2[(x1nτ/J1)+(x2nτ/J2)]}

c61=1-0.5km1[(x1nτ/J1)+(x2nτ/J2)]

c63=-1+0.5km2[(x1nτ/J1)+(x2nτ/J2)]

c65=-(1+k)x1τ；c66=(1+k)x2τ

x1nτ=x1τ2-μx1τx1n；x2nτ=x2τ2-μx2τx2n

用式(4)和式(7)替代模型中第5個(gè)方程和第6個(gè)方程，得到第一改進(jìn)模型為

A02v02=A2v2

(8)

式中：A02和A2為碰撞前和碰撞后車速向量的系數(shù)矩陣；v02和v2為碰撞前和碰撞后車速向量。

其中：

v02=(v10n,v10τ,v20n,v20τ,ω10,ω20)T

v2=(v1n,v1τ,v2n,v2τ,ω1,ω2)T

(9)

將A02中第6行元素依次用式(7)中c61，0，c63，0，c65和c66替代后得到A2。

第一改進(jìn)模型的適用范圍為m2/m1≈1。

應(yīng)用動(dòng)量定理，重建式(10)和式(11)。

m1(x1τv10n-x1nv10τ)+J1ω10=m1(x1τv1n-x1nv1τ)+J1ω1

(10)

m2(x2τv20n-x2nv20τ)+J2ω20=m2(x2τv2n-x2nv2τ)+J2ω2

(11)

對(duì)文獻(xiàn)[4]中μ的定義式進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，重建式(12)；將模型中第3個(gè)方程和第4個(gè)方程相加，得到式(13)；對(duì)模型中第1個(gè)方程進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，得到式(14)。

μv10n-v10τ=μv1n-v1τ

(12)

ω20=ω2+[J1(ω1-ω10)/J2]-m2(v2n-v20n)·

[(x1τ-x2τ)-μ(x1n-x2n)]/J2

(13)

v20n=[m1(v1n-v10n)/m2]+v2n

(14)

用式(13)和式(14)替代模型中第6個(gè)方程中的ω20和v20n，重建式(15)。

b61v10n+b65ω10=c61v1n+c63v2n+c65ω1+c66ω2

(15)

其中：

b61=-k[1+(m1/m2)-(m1xnτ/J2)]

b65=k[x1τ+x2τ(J1/J2)]

c61=1-k[(m1/m2)-(m1xnτ/J2)]

c63=-(1+k)；c65=-x1τ+kx2τ(J1/J2)

c66=(1+k)x2τ；xnτ=x2τ[(x1τ-x2τ)-μ(x1n-x2n)]

用式(10)～式(12)和式(15)替代模型中第3個(gè)方程～第5個(gè)方程和第6個(gè)方程，得到第二改進(jìn)模型，表示為

A03v03=A3v3

(16)

式中：A03和A3為碰撞前和碰撞后車速向量的系數(shù)矩陣；v03和v3為碰撞前和碰撞后車速向量。

其中：

v03=(v10n,v10τ,v20n,v20τ,ω10,ω20)T

v3=(v1n,v1τ,v2n,v2τ,ω1,ω2)T

(17)

將A03中第6行元素依次用式(15)中c61，0，c63，0，c65和c66替代后得到A3。

第二改進(jìn)模型的適用范圍為m2/m1>>1。

對(duì)文獻(xiàn)[4]中μ的定義式進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，重建式(18)；應(yīng)用動(dòng)量定理，得到式(19)；對(duì)模型中第1個(gè)方程數(shù)學(xué)變換，得到式(20)。

μv20n-v20τ=μv2n-v2τ

(18)

ω10=ω1+m1(x1τ-μx1n)(v1n-v10n)/J1

(19)

v10n=v1n+[m2(v2n-v20n)/m1]

(20)

用式(19)和式(20)替代模型中第6個(gè)方程中的ω10和v10n，重建式(21)。

b63v20n+b66ω20=c61v1n+c63v2n+c65ω1+c66ω2

(21)

其中：

b63=k[1+(m2/m1)+(m2x1nτ/J1)]；b66=-kx2τ

c61=1+k；c63=-1+k[(m2/m1)+(m2x1nτ/J1)]

c65=-(1+k)x1τ；c66=x2τ；x1nτ=x1τ2-μx1τx1n

用式(18)和式(21)替代第二個(gè)改進(jìn)模型中第5個(gè)方程和第6個(gè)方程，得到第三改進(jìn)模型，表示為

A04v04=A4v4

(22)

式中：A04和A4為碰撞前和碰撞后車速向量的系數(shù)矩陣；v04和v4為碰撞前和碰撞后車速向量。

其中：

v04=(v10n,v10τ,v20n,v20τ,ω10,ω20)T

v4=(v1n,v1τ,v2n,v2τ,ω1,ω2)T

(23)

將A04中第6行元素依次用式(21)中c61，0，c63，0，c65和c66替代后得到A4。

第三改進(jìn)模型的適用范圍為m2/m1<<1。

4 改進(jìn)模型的可靠性

根據(jù)攝動(dòng)理論[9]，建立此類模型A0jv0j=Ajvj的可靠性算式，表示為

‖δv0j‖/‖v0j‖≤Cond(0j)[(‖δ0j‖/‖0j‖)+

(‖δjvj‖/‖jvj‖)]/(1-‖0j-1‖·‖δ0j‖)

(24)

式中：j=1,2,3,4代表4個(gè)模型；v0j為碰撞前車速向量，‖δv0j‖/‖v0j‖為碰撞前車速誤差；0j=D0jA0j，A0j為碰撞前車速向量的系數(shù)矩陣；j=D0jAj，Aj為碰撞后車速向量的系數(shù)矩陣；D0j=diag(1/d1,1/d2,…,1/d6)為平衡矩陣，d1～d6為A0j中每行元素絕對(duì)值的最大值；Cond(0j)為D0jA0j條件數(shù)；符號(hào)‖‖表示范數(shù)；δ0j=D0jδA0j，δA0j為A0j的擾動(dòng)矩陣；δj=D0jδAj；δAj為Aj的擾動(dòng)矩陣；‖δ0j‖/‖0j‖和‖δjvj‖/‖jvj‖為A0j和Ajvj的誤差；vj為碰撞后車速向量。

根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，計(jì)算碰撞后車速為

vin=(2gsifi)1/2cosθi

(25)

viτ=(2gsifi)1/2sinθi

(26)

ωi=π(αi-αi0)(2gfi/si)1/2/180

(27)

式中：g為重力加速度；si為車輛滑行距離；fi為路面摩擦因數(shù)；θi為車輛滑行方位角；αi為停車方位角；αi0為碰撞前車速方位角。

案例介紹[12]：某城市道路交叉口處，由西向東行駛的面包車(車輛1)右側(cè)面受到左轉(zhuǎn)的轎車(車輛2)右前部的猛烈撞擊，兩車嚴(yán)重?fù)p壞?，F(xiàn)場勘查數(shù)據(jù)見表3。

表3 現(xiàn)場勘查數(shù)據(jù)

由式(2)、式(9)、式(17)和式(23)計(jì)算4個(gè)模型的A0j和Aj；根據(jù)表3，由式(25)～式(27)計(jì)算碰撞后車速向量，v1=v2=v3=v4=(-3.709,10.1904,-2.6709,-6.0,0.7882,0.8591)T；由式(1)、式(8)、式(16)和式(22)計(jì)算碰撞前車速向量，v01=v02=v03=v04=(-0.23,11.58,-8.58,-8.36,-0.02,0.21)T。兩車碰撞前車速v10=3.6×[(v10n)2+(v10τ)2]1/2=41.70km/h，v20=3.6×[(v20n)2+(v20τ)2]1/2=43.13km/h；兩車碰撞前車速方位角為α10=arctan(v10n/v10τ)=-1.14°，α20=arctan(v20n/v20τ)=45.74°。結(jié)果表明，當(dāng)A0j中系數(shù)沒有誤差時(shí)4個(gè)模型的計(jì)算結(jié)果相同。假定μ和k為易產(chǎn)生誤差的模型系數(shù)，且μ=0.4和k=0.3為準(zhǔn)確值，檢驗(yàn)當(dāng)μ和k存在1%誤差時(shí)[2]，改進(jìn)模型控制碰撞前車速誤差的可靠性。Δμ和Δk表示μ和k的誤差，可能的誤差形式如下：①Δμ=0.004,Δk=0.003；②Δμ=-0.004,Δk=0.003；

③Δμ=0.004,Δk=-0.003；④Δμ=0.004,Δk=0；

⑤Δμ=-0.004,Δk=0；⑥Δμ=-0.004,Δk=-0.003；

⑦Δμ=0,Δk=0.003；⑧Δμ=0,Δk=-0.003。

以誤差形式①為例，4個(gè)模型碰撞前車速誤差的計(jì)算過程如下。

由式(2)，計(jì)算A01和A1；v1=(-3.709,10.1904,-2.6709,-6.0,0.7882,0.8591)T；

(28)

將δA01中第6行元素依次用0,0,0,0,0,0替代后得到δA1。

由式(24)，‖δv01‖/‖v01‖=0.2736。

由式(9)，計(jì)算A02和A2；v2=(-3.709,10.1904,-2.6709,-6.0,0.7882,0.8591)T；

(29)

其中：

Δb61= -Δk-0.5km1[(Δx1nτ/J1)+(Δx2nτ/J2)]-

0.5Δkm1{[(x1nτ+Δx1nτ)/J1]+[(x2nτ+Δx2nτ)/J2]}

Δb63= Δk+0.5km2[(Δx1nτ/J1)+(Δx2nτ/J2)]+

0.5Δkm2{[(x1nτ+Δx1nτ)/J1]+[(x2nτ+Δx2nτ)/J2]}

Δx1nτ=-Δμx1τx1n；Δx2nτ=-Δμx2τx2n

將δA02中第6行元素依次用Δc61,0,Δc63,0,Δc65,Δc66替代后得到δA2。

Δc61= -0.5km1[(Δx1nτ/J1)+(Δx2nτ/J2)]-

0.5Δkm1{[(x1nτ+Δx1nτ)/J1]+[(x2nτ+Δx2nτ)/J2]}

Δc63= 0.5km2[(Δx1nτ/J1)+(Δx2nτ/J2)]+

0.5Δkm2{[(x1nτ+Δx1nτ)/J1]+[(x2nτ+Δx2nτ)/J2]}

Δc65=-Δkx1τ；Δc66=Δkx2τ

由式(24)，‖δv02‖/‖v02‖=0.0226。

由式(17)，計(jì)算A03和A3；v3=(-3.709,10.1904,-2.6709,-6.0,0.7882,0.8591)T；

(30)

其中：

Δb61= (k+Δk)(m1Δxnτ/J2)-Δk[1+(m1/m2)-

(m1xnτ/J2)]

Δb65=Δk[x1τ+x2τ(J1/J2)]

Δxnτ=-Δμx2τ(x1n-x2n)

將δA03中第6行元素依次用Δc61,0,Δc63,0,Δc65,Δc66替代后得到δA3。

Δc61= (k+Δk)(m1Δxnτ/J2)-Δk[(m1/m2)-

(m1xnτ/J2)]，Δc63=-Δk，Δc65=Δkx2τ(J1/J2)

Δc66=Δkx2τ

由式(24)，‖δv03‖/‖v03‖=0.0777。

由式(23)，計(jì)算A04和A4；v4=(-3.709,10.1904,-2.6709,-6.0,0.7882,0.8591)T；

(31)

其中：

Δb63= (k+Δk)(m2Δx1nτ/J1)+Δk[1+(m2/m1)+

(m2x1nτ/J1)]

Δb66=-Δkx2τ；Δx1nτ=-Δμx1τx1n

將δA04中第6行元素依次用Δc61,0,Δc63,0,Δc65,Δc66替代后得到δA4。

Δc61=Δk

Δc63= (k+Δk)(m2Δx1nτ/J1)+Δk[(m2/m1)+

(m2x1nτ/J1)]

Δc65=-Δkx1τ；Δc66=0

由式(24)，‖δv04‖/‖v04‖=0.0495。

同理，可以得到誤差形式②～誤差形式⑧的碰撞前車速誤差(表4)。

表4 碰撞前車速誤差

由表4可知，應(yīng)用4個(gè)模型計(jì)算了8種系數(shù)誤差形式所對(duì)應(yīng)的碰撞前車速誤差。應(yīng)用模型計(jì)算的碰撞前車速誤差和范圍最大，為9.09%～27.36%；應(yīng)用第一改進(jìn)模型計(jì)算的碰撞前車速誤差和范圍最小，為1.61%～3.86%。由于兩車質(zhì)量比m2/m1=0.59，最接近第一改進(jìn)模型的適用范圍，因此，用第一改進(jìn)模型能夠有效控制碰撞前車速誤差。

5 結(jié)論

針對(duì)模型病態(tài)問題的幾何特征，應(yīng)用線性空間與內(nèi)積空間理論能夠準(zhǔn)確鎖定模型中存在線性相關(guān)性的方程；通過對(duì)這些方程進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，在模型病態(tài)范圍m2/m1≈1，m2/m1>>1和m2/m1<<1內(nèi)建立對(duì)應(yīng)的改進(jìn)模型。實(shí)例檢驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)m2/m1=0.59，且μ和k存在1%誤差時(shí)應(yīng)用改進(jìn)模型能夠?qū)⑴鲎睬败囁僬`差控制在合理的范圍內(nèi)。因此，在病態(tài)范圍內(nèi)應(yīng)用改進(jìn)模型能夠解決模型病態(tài)問題。所建立的模型病態(tài)問題處理方法為解決此類矩陣模型病態(tài)問題提供了值得借鑒的經(jīng)驗(yàn)。

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Cause Analysis and Solution of Ill-posed Problemsin Typical Vehicle Collision Model

Zhang Jian1, Zhang Xin2, Liang Chao1& Li Jiang3

1.CollegeofAutomobileandCivilEngineering,BeihuaUniversity,Jilin132013; 2.ChinaCommunicationsPressCo.,Ltd.,Beijing100011;3.CollegeofTransportation,JilinUniversity,Changchun130022

For solving the ill-posed problems in typical vehicle collision model, the theories of linear space and inner product space is applied to calculate the angle between any two equations in the model according to the geometric feature of the problems. The results show that ill-posed problems are caused by the strong linear correlation among some equations in the model. Improved models can be developed in ill-posed ranges by mathematical transform on equations with strong linear correlation. The perturbation theory is also applied to establish a method for examining the reliability of improved model. The results of an example examination show that when the errors of model parameters are within 1% in ill-posed ranges, the error of pre-impact speed in the improved models can be controlled within a reasonable range, demonstrating that ill-posed problems can be solved by creating improved models in ill-posed ranges.

vehicle collision model；ill-posed problem；error；perturbation theory

*國家自然科學(xué)基金(51178001,31570556)和吉林市科技發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(20090404)資助。

原稿收到日期為2015年6月11日，修改稿收到日期為2015年11月19日。