基于組合代理模型的車身多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化*

黃煥軍,張博文，吳光強,2,李 凡

(1.同濟大學(xué)汽車學(xué)院,上海 201804； 2.東京大學(xué)生產(chǎn)技術(shù)研究所,東京 153-8505)

2016173

基于組合代理模型的車身多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化*

黃煥軍1,張博文1，吳光強1,2,李 凡1

(1.同濟大學(xué)汽車學(xué)院,上海 201804； 2.東京大學(xué)生產(chǎn)技術(shù)研究所,東京 153-8505)

本文對比分析了4種單一代理模型和兩種組合代理模型的預(yù)測能力，并基于各代理模型進行正面碰撞安全性多目標優(yōu)化，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，組合代理模型不僅具有較好的預(yù)測精度和穩(wěn)健性，還能促進最優(yōu)解的搜索?；谏鲜龇治觯捎媒M合代理模型擬合正面碰撞、側(cè)面碰撞和白車身模態(tài)分析的各種響應(yīng)，建立針對安全性的車身結(jié)構(gòu)多學(xué)科優(yōu)化模型，并用協(xié)同優(yōu)化方法求解。結(jié)果表明：組合代理模型在多目標優(yōu)化中有利于得到更滿意的最優(yōu)解；基于組合代理模型的車身結(jié)構(gòu)多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化有效改善了汽車的碰撞安全性，并兼顧了輕量化和NVH性能。

車身；組合代理模型；碰撞安全性；多學(xué)科優(yōu)化；協(xié)同優(yōu)化

前言

伴隨著汽車的發(fā)展，道路交通事故日趨頻繁，碰撞安全作為汽車安全性的重要環(huán)節(jié)受到廣泛關(guān)注。而車身是碰撞中最主要的吸能元件，因此研究車身結(jié)構(gòu)具有重要的意義。汽車車身結(jié)構(gòu)是一個復(fù)雜的系統(tǒng)，除碰撞安全性外，還要滿足NVH性能、結(jié)構(gòu)強度、剛度和輕量化等要求，涉及多種學(xué)科。同時，各學(xué)科高度關(guān)聯(lián)、相互耦合[1]，使得傳統(tǒng)的串行設(shè)計方法很難得到全局最優(yōu)解[2]。采用多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化(multidisciplinary design optimization, MDO)理論可以綜合考慮多個學(xué)科對汽車整體性能的影響。近10年來MDO的應(yīng)用已不再局限于航空航天領(lǐng)域，許多學(xué)者開始進行MDO在汽車領(lǐng)域中應(yīng)用的研究[1-4]。

車身結(jié)構(gòu)優(yōu)化通常基于有限元方法，這需要耗費巨大的計算資源。解決上述問題的一個有效方法就是采用代理模型，最優(yōu)解很大程度上取決于代理模型的精度和特性[5]。目前，車身結(jié)構(gòu)MDO中使用的代理模型包括多項式響應(yīng)面[1](polynomial response surface, PRS)、徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[6](radial basis function, RBF)、克里金[7](Kriging, KRG)和支持向量回歸[8](support vector regression, SVR)模型等。針對不同的優(yōu)化問題，上述單一代理模型表現(xiàn)各異，采用組合代理模型[9-10]可綜合各個單一代理模型的優(yōu)勢，適應(yīng)不同類型的問題，但將組合代理模型用于車身結(jié)構(gòu)多學(xué)科優(yōu)化的研究很少。

本文中首先對比分析了組合代理模型與各單一代理模型的預(yù)測能力，以及在汽車正面100%剛性壁碰撞(簡稱“正面碰撞”)優(yōu)化中的應(yīng)用效果，驗證了組合代理模型的優(yōu)越性。然后，針對正面碰撞、側(cè)面碰撞和白車身模態(tài)子系統(tǒng)，采用協(xié)同優(yōu)化方法進行車身結(jié)構(gòu)碰撞安全性多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化。

1 代理模型的相關(guān)理論

1.1 多項式響應(yīng)面

多項式響應(yīng)面是一種數(shù)理統(tǒng)計技術(shù)，最常用的是二次多項式響應(yīng)面模型，其表達式為

(1)

1.2 徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種利用離散數(shù)據(jù)擬合多元函數(shù)的方法。它以徑向函數(shù)為基函數(shù)，通過線性疊加構(gòu)造而成，其基本形式為

(2)

式中：ri=‖x-xi‖為歐幾里德距離，即x與第i個樣本點xi在設(shè)計空間上的距離；λi為基函數(shù)的加權(quán)系數(shù)；n為基函數(shù)的個數(shù)；φ為基函數(shù)，常見類型包括高斯函數(shù)、多二次函數(shù)、逆多二次函數(shù)和薄板樣條函數(shù)等。

1.3 克里金

克里金是一種估計方差最小的無偏估計模型。它具有局部估計的特點，包含了回歸部分和非參數(shù)部分，具有如下形式：

(3)

式中：f(x)為x的已知函數(shù)，可以是常數(shù)、一次或二次多項式；Z(x)為均值為0、方差為σ2的隨機誤差。Z(x)的協(xié)方差為

(4)

式中：dk=|xik-xjk|為訓(xùn)練樣本點xi和xj第k個分量的距離；n為設(shè)計變量個數(shù)；Rk(dk)為相關(guān)函數(shù)，常用的有線性函數(shù)、三次函數(shù)、樣條函數(shù)、球函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)和高斯函數(shù)等。

1.4 支持向量回歸

支持向量回歸是一種基于支持向量機的響應(yīng)面模型，其一般表達式為

(5)

式中：αi和αi*為拉格朗日乘子；n為支持向量個數(shù)；b為常數(shù)項；K(xi,x)為核函數(shù)，常見的核函數(shù)有線性核函數(shù)、多項式核函數(shù)、高斯徑向基核函數(shù)和指數(shù)徑向基核函數(shù)等。

1.5 代理模型內(nèi)在參數(shù)設(shè)置

代理模型的內(nèi)在參數(shù)會對其預(yù)測精度產(chǎn)生影響，為消除此影響，各代理模型的內(nèi)在參數(shù)統(tǒng)一按表1進行選擇。

表1 代理模型的內(nèi)在參數(shù)

1.6 誤差分析指標

最常用的代理模型誤差分析指標是決定系數(shù)(coefficient of determination)R2，表達式為

(6)

2 組合代理模型

組合代理模型(ensembleofsurrogates)，又稱加權(quán)平均代理模型(weightedaveragesurrogates)，其一般形式為

(7)

2.1 權(quán)系數(shù)計算

為使組合代理模型有盡可能高的預(yù)測精度，需要確定各權(quán)系數(shù)。通常，精度高的代理模型選擇大的權(quán)系數(shù)，反之亦然?？紤]到實際復(fù)雜工程問題的計算時間成本，本文中基于廣義均方誤差(generalized mean square error, GMSE)開展權(quán)系數(shù)的研究，可避免使用額外的測試樣本。采用留一法(leave-one-out, LOO)得到的交叉驗證廣義均方誤差為

(8)

目前，基于GMSE的權(quán)系數(shù)計算方法有如下兩種。

(1)啟發(fā)式計算方法[9]

(9)

(2)GMSE最小化方法[10]

此方法將權(quán)系數(shù)的計算過程轉(zhuǎn)化為優(yōu)化過程，對應(yīng)的優(yōu)化問題可表述為

(10)

上述兩種方法得到的組合近似模型分別表示為EG和EA。

2.2 預(yù)測能力分析

為考慮不同的函數(shù)維數(shù)和響應(yīng)非線性程度，本文中選取4個典型測試函數(shù)來對比組合代理模型與單一代理模型的預(yù)測能力。測試函數(shù)特征和試驗設(shè)計(designofexperiment,DOE)設(shè)置如表2所示，訓(xùn)練樣本和測試樣本均采用拉丁超立方方法抽取。

表2 測試函數(shù)特征及試驗設(shè)計設(shè)置

(1) 測試函數(shù)1(Branin-Hoo)

-5≤x1≤10,0≤x2≤15

(11)

(2) 測試函數(shù)2(Hartman-3)

0≤xj≤1

(12)

(3) 測試函數(shù)3(ExtendedRosenbrock)

-5≤xi≤10

(13)

(4) 測試函數(shù)4(Hartman-6)

0≤xj≤1

(14)

針對誤差分析指標R2，對500次DOE對應(yīng)的代理模型預(yù)測精度進行分析。R2的箱線圖如圖1所示，圖中矩形盒越短，表明預(yù)測精度對試驗設(shè)計的依賴性越小，中位線高度可以大致反映平均預(yù)測精度；R2的均值和標準差如表3所示。

圖1 各代理模型R2的箱線圖

函數(shù)編號PRSRBFKRGSVREGEA1均值0.630.440.780.750.800.75標準差0.230.880.230.130.130.182均值-0.050.510.770.450.720.73標準差0.650.590.120.220.120.143均值0.890.470.630.730.870.89標準差0.060.350.150.040.040.054均值0.150.310.560.100.550.56標準差0.180.880.080.260.060.07

由圖1可見：PRS在非線性較弱的函數(shù)中具有較好的預(yù)測能力，在測試函數(shù)3中最好，箱線圖中表現(xiàn)為矩形盒長度較短且中位線較高，但是非線性程度強時，其預(yù)測能力明顯下降；RBF對函數(shù)非線性的依賴程度要低于PRS，但是其異常值尾線長度最長，穩(wěn)健性差；KRG的預(yù)測精度在大多情況下都優(yōu)于其他單一代理模型，特別在兩個非線性較強的函數(shù)中，其中位線最高，矩形盒最短；SVR在測試函數(shù)1中預(yù)測精度和穩(wěn)健性最好，在測試函數(shù)2中最差。

總體而言，單一代理模型對不同測試函數(shù)的預(yù)測精度有較大差異，并且依賴于試驗設(shè)計，表3的數(shù)據(jù)進一步證實了上述結(jié)論。組合代理模型很好地避免了上述兩個缺點，EG和EA對各函數(shù)都有最好或接近最好的預(yù)測精度，且數(shù)據(jù)分布密集，異常值尾線短，穩(wěn)健性好。結(jié)合表3可知，與EG相比，EA的R2均值大，標準差也大，表明其平均預(yù)測精度較高，而穩(wěn)健性略差一些。

3 汽車正面碰撞多目標優(yōu)化

3.1 整車正面碰撞仿真分析

按照US-NCAP法規(guī)的要求，使汽車以56km/h的速度撞擊剛性墻，仿真模型如圖2所示，該模型已經(jīng)由試驗驗證[11]。利用LS-DYNA進行碰撞仿真，仿真時間為100ms。

圖2 整車正面碰撞有限元模型

B柱加速度峰值aB和踏板位置前圍板最大侵入量(簡稱“前圍板最大侵入量”)In可認為是正面碰撞的主要性能指標，其大小直接影響碰撞中乘員的安全。該車的B柱加速度峰值aB=37.7g，前圍板最大侵入量In=205.1mm。

3.2 確定優(yōu)化問題

圖3 設(shè)計變量示意圖

本文中依據(jù)正面碰撞過程中變形與吸能最大的原則，結(jié)合各個部件的質(zhì)量，最終選取車身前部的12個部件的8組板料厚度作為設(shè)計變量[12]，如圖3所示。各設(shè)計變量的初始值和上下限值如表4所示。選取部件總質(zhì)量m，B柱加速度峰值aB和前圍板最大侵入量In作為響應(yīng)量。為提高正面碰撞性能并兼顧輕量化，以aB和In最小化為優(yōu)化目標，以零件質(zhì)量m不超過56kg為約束，確定正面碰撞多目標優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型為

(15)

3.3 優(yōu)化問題求解

本文中選用運算速度快、收斂性好的非劣排序遺傳算法(NSGA-II)來求解正面碰撞多目標優(yōu)化問題。優(yōu)化流程為：采用最優(yōu)拉丁超立方試驗設(shè)計方法產(chǎn)生80個訓(xùn)練樣本，通過仿真得到對應(yīng)的響應(yīng)值；依次構(gòu)建各種單一和組合代理模型來擬合aB和In，運用1階多項式準確擬合m；基于代理模型進行優(yōu)化，得到Pareto前沿。

3.4 優(yōu)化結(jié)果對比分析

為評價各代理模型在正面碰撞多目標優(yōu)化中的效果好壞，選取Pareto前沿中幾個最優(yōu)解為代表進行對比。顯然，選取不同最優(yōu)解進行對比可能會得到不同的結(jié)果。為避免上述情況，對于各代理模型得到的Pareto前沿，本文中均按照權(quán)重和妥協(xié)方法[13]挑選代表性最優(yōu)解，分別記作最優(yōu)解1和最優(yōu)解2。目標aB和In的加權(quán)系數(shù)分別取6和1。

最優(yōu)解1和最優(yōu)解2處的各代理模型預(yù)測值和實際仿真值如表5所示。

表5 代理模型效果對比

由表可見：RBF和KRG在最優(yōu)解處精度較高；PRS對In的預(yù)測精度非常低，相對誤差達到50%以上，這是因為In的非線性程度很高；SVR在最優(yōu)解1和2處的誤差相差較大；基于組合代理模型得到的最優(yōu)解處誤差比較小，尤其是EA，對aB和In都能很準確地預(yù)測，平均誤差分別為-2.52%和1.55%，且在兩個最優(yōu)點處的表現(xiàn)比較接近，綜合性能最好。對比2.2節(jié)的結(jié)論表明，基于代理模型得到的Pareto前沿和實際點的誤差，與代理模型本身的精度有一定的相關(guān)性。

從優(yōu)化效果角度分析，各最優(yōu)解2對應(yīng)的妥協(xié)方法評價指標(距離d)如表6所示。如果以此作為評價標準，則基于EA得到的最優(yōu)解2是最滿意的，其對應(yīng)的距離d小于其他方法，基于EG，KRG和RBF的優(yōu)化效果略差一些。該最滿意解對應(yīng)的B柱加速度峰值為35.32g，前圍板最大侵入量為183.5mm，比初始值分別減小了6.31%和10.53%。

表6 妥協(xié)方法評價指標

因此，EA不僅具有較好的預(yù)測精度和穩(wěn)健性，而且基于EA進行多目標優(yōu)化能得到更滿意的最優(yōu)解。

4 車身結(jié)構(gòu)多學(xué)科優(yōu)化

4.1 多學(xué)科優(yōu)化模型

根據(jù)多學(xué)科設(shè)計優(yōu)化要求，為尋找車身的整體最優(yōu)性能，需要對影響車身性能的多個子系統(tǒng)進行研究。安全性方面，除正面碰撞外，側(cè)面碰撞也是交通事故的常見形式，且容易造成死亡和重傷。隨著人們生活水平的提高，汽車乘坐舒適性亦日漸重要。白車身模態(tài)分析作為整車NVH分析中非常重要的一部分，可以反映車身結(jié)構(gòu)的固有頻率及振型，以便盡早改進結(jié)構(gòu)，避免共振。因此，本文中建立一個針對安全性的，包含正面碰撞、側(cè)面碰撞和白車身模態(tài)等3個子系統(tǒng)的車身結(jié)構(gòu)多學(xué)科優(yōu)化模型。模型框架、各學(xué)科設(shè)計變量個數(shù)及學(xué)科間變量耦合關(guān)系如圖4所示。側(cè)面碰撞子系統(tǒng)選擇部件總質(zhì)量m′和B柱最大侵入量In′作為響應(yīng)量；白車身模態(tài)子系統(tǒng)則選擇部件總質(zhì)量m″和1階模態(tài)頻率f為響應(yīng)量。

圖4 設(shè)計變量個數(shù)及其耦合關(guān)系

4.2 近似模型

側(cè)面碰撞和白車身模態(tài)子系統(tǒng)采用最優(yōu)拉丁超立方方法分別產(chǎn)生50和30個樣本點，質(zhì)量響應(yīng)均用1階多項式擬合，其余響應(yīng)量用EA擬合，表達式為

(16)

4.3 協(xié)同優(yōu)化方法

協(xié)同優(yōu)化是一種兩級優(yōu)化算法，將原有的設(shè)計優(yōu)化問題分為一個系統(tǒng)級優(yōu)化和多個學(xué)科級優(yōu)化，從而實現(xiàn)學(xué)科間的并行計算，可有效解決大規(guī)模復(fù)雜工程多學(xué)科優(yōu)化問題。

本文中采取協(xié)同優(yōu)化方法求解多學(xué)科優(yōu)化模型，框架如圖5所示。

圖5 協(xié)同優(yōu)化方法框架

以碰撞安全性的指標aB，In和In′為系統(tǒng)級目標，各設(shè)計響應(yīng)量范圍通過學(xué)科級約束進行限制。

4.4 優(yōu)化結(jié)果分析

三目標MDO問題的Pareto前沿如圖6所示。

圖6 三目標Pareto前沿

由圖可見，3個目標互相沖突，不可能同時達到最優(yōu)，且各個最優(yōu)解之間無法比較。因此，本文中根據(jù)設(shè)計需要，從Pareto前沿中選擇Q點為最滿意的最優(yōu)解。將其對應(yīng)的設(shè)計變量代入各子系統(tǒng)仿真模型，得到各響應(yīng)量的仿真值。圖7和圖8分別為優(yōu)化前后的B柱加速度和侵入量曲線的對比圖。

圖7 優(yōu)化前后B柱加速度曲線對比

圖8 優(yōu)化前后侵入量曲線對比

由圖7可見：優(yōu)化后的B柱加速度峰值為34.03g，比初始設(shè)計的37.7g降低了9.73%；并且在碰撞40～80ms階段，優(yōu)化后的B柱加速度均小于優(yōu)化前，加速度積分值從1.241g變?yōu)?.152g，減小了7.17%。由圖8可見，經(jīng)過多學(xué)科優(yōu)化，前圍板和B柱最大侵入量分別減小了3.55%和8.01%。

優(yōu)化方案使碰撞安全性的3項指標均有不同程度的改善，減小了巨大沖擊力和車內(nèi)生存空間壓縮對乘客造成的傷害，對提高乘員的安全性具有重要意義。另外，NVH和輕量化性能也通過約束設(shè)置得到了保證，多學(xué)科優(yōu)化方案提高了汽車的綜合性能。

5 結(jié)論

(1) 通過對比各種代理模型在測試函數(shù)和正面碰撞優(yōu)化中的應(yīng)用，發(fā)現(xiàn)組合代理模型的預(yù)測能力通常高于單一代理模型，且在多目標優(yōu)化中有助于得到更滿意的最優(yōu)解。

(2) 將組合代理模型與協(xié)同優(yōu)化方法相結(jié)合，求解車身多學(xué)科優(yōu)化問題，得到Pareto前沿，可縮短新產(chǎn)品的開發(fā)周期，對車輛的研發(fā)有較好的指導(dǎo)作用。

(3) 本文中的多學(xué)科優(yōu)化方案減小了B柱加速度峰值和前圍板與B柱的最大侵入量等安全性指 標，提高了碰撞安全性，同時兼顧了NVH和輕量化性能。

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Multidisciplinary Design Optimization of Vehicle Body Based on Ensemble Surrogates

Huang Huanjun1, Zhang Bowen1, Wu Guangqiang1,2& Li Fan1

1.SchoolofAutomotiveStudies,TongjiUniversity,Shanghai201804; 2.InstituteofIndustrialScience,UniversityofTokyo,Tokyo153-8505

The prediction abilities of four individual surrogates and two ensembles of surrogates are comparatively analyzed, and multi-objective optimizations on the safety of vehicle frontal crash are conducted based on different surrogate models with a result revealing that ensemble of surrogates not only have better prediction accuracy and robustness, but also can promote the search of optimal solutions. On the basis of above analyses, ensembles of surrogates are adopted to fit various responses to frontal crash, side impact and body-in-white modal analyses, and a model for multidisciplinary design optimization (MDO) of vehicle body structure safety is established and solved by collaborative optimization method. The results show that ensemble surrogates are conducive to getting more satisfactory optimal solutions in multi-objective optimizations and the ensemble surrogates-based MDO for vehicle-body structure effectively improves the crash safety of vehicles with good lightweight and NVH performances.

vehicle body; ensemble of surrogates; crash safety; multidisciplinary design optimization; collaborative optimization

*國家863計劃項目(2012AA111802)資助。

原稿收到日期為2014年6月20日，修改稿收到日期為2015年12月23日。