關(guān)于預(yù)可解子范疇的同調(diào)維數(shù)

郭嬌霞,楊曉燕

(西北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,甘肅蘭州　730070)

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關(guān)于預(yù)可解子范疇的同調(diào)維數(shù)

郭嬌霞,楊曉燕

(西北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,甘肅蘭州730070)

摘要：引入了關(guān)于阿貝爾范疇中預(yù)可解子范疇的同調(diào)維數(shù),討論了這些同調(diào)維數(shù)的一些性質(zhì).并進一步給出了R模范疇中的X-Gorenstein投射維數(shù)和X-Gorenstein內(nèi)射維數(shù)的定義及運用.

關(guān)鍵詞：預(yù)可解子范疇;同調(diào)維數(shù);生成子

1　引言

在古典同調(diào)理論中,同調(diào)維數(shù)是重要且基礎(chǔ)的不變量,并且一些確定的模的子范疇都定義了相關(guān)的模的同調(diào)維數(shù).例如:模的平坦、內(nèi)射范疇都分別定義了相關(guān)的平坦、內(nèi)射維數(shù).當平坦模,內(nèi)射模推廣到Gorenstein平坦模和Gorenstein內(nèi)射模時,又有了對應(yīng)的Gorenstein同調(diào)維數(shù)理論[1-6].文獻[7]研究了同一范疇的不同子范疇所定義的同調(diào)維數(shù)之間的關(guān)系及一些性質(zhì).受到這些工作的啟發(fā),本文繼續(xù)研究了這些維數(shù)的一些性質(zhì).

第二部分,引入了阿貝爾范疇中的預(yù)可解子范疇的同調(diào)維數(shù),給出了這些同調(diào)維數(shù)的一些性質(zhì).第三部分,討論了R模范疇中的X-Gorenstein投射維數(shù)和X-Gorenstein內(nèi)射維數(shù).

本文中, A是一個阿貝爾范疇并且A的所有子范疇都是滿的加法子范疇.

下面首先回顧一些基本的定義.

定義1.1[7]設(shè)C為A的子范疇且n≥0.

(1)若存在A中的正合列

其中Ci∈C,則M叫作A的一個n-C-合沖, A叫作M的一個n-C-余合沖.

(2)對A∈A, A的C維數(shù)定義為:

記作C-dim A.若不存在整數(shù)n,則記C-dim A =∞.

定義1.2設(shè)C為A的子范疇.記

定義1.3[2]設(shè)E為A的子范疇. A中的一個序列S :···→S1→S2→S3→···叫作HomA(E,-)-正合的,如果對于任意的E∈E, HomA(E,S)是正合的. A中的滿同態(tài)f叫作E-真的,如果它是HomA(E,-)-正合的.

定義1.4[6]設(shè)C,T都為A的子范疇,且C?T .

(1) C叫作T的生成子,若對任意的T∈T ,存在正合列0→T′→C→T→0,其中C∈C; C叫作T的余生成子,若對任意的T∈T ,存在正合列0→T→C→T′→0,其中C∈C.

(2)設(shè)E為A的子范疇. C叫作T的一個E-真生成子,若對任意的T∈T ,存在一個HomA(E,-)-正合的正合列0→T′→C→T→0 ,使得C∈C, T′∈T .

定義1.5[9]設(shè)E和T為A的子范疇. T叫作A中的E-預(yù)可解子范疇,若滿足以下條件:

(1) T有一個E-真生成子.

(2) T關(guān)于E-真擴張封閉,也就是說,對任意的HomA(E,-)-正合的正合列

若A1,A3∈T ,則A2∈T .

A的一個E-預(yù)可解子范疇T叫作E-可解子范疇,若T滿足以下條件.

(3) T關(guān)于E-真滿同態(tài)的核封閉,即對任意的HomA(E,-)-正合的正合列

若A2,A3∈T ,則A1∈T .

對偶的,可定義C-余維數(shù), E-預(yù)余可解子范疇, E-余真余生成子.

引理1.6設(shè)C,T都為A的子范疇, C為T的生成子且C關(guān)于直和項封閉.則T∩⊥T?C.

2　相對于預(yù)可解子范疇的同調(diào)維數(shù)

在此部分中, E和T都為A的子范疇.

引理2.1設(shè)C為A的關(guān)于擴張封閉的子范疇.考慮A中的正合列

其中T1,T0∈T .

(1)若T為A的E-預(yù)余可解子范疇,且C為T的E-余真余生成子,則存在HomA(E,-)-正合的正合列

其中T∈T , C∈C.

(2)若T為A的E-預(yù)可解子范疇,且C為T的E-真生成子,則存在HomA(E,-)-正合的正合列

其中T∈T , C∈C.

證明(1)由條件存在正合列

其中T1,T0∈T .因為C為T的余真余生成子,所以存在一個HomA(-,E)-正合的正合列0→T1→C→T′1→0,其中C∈C, T′1∈T .則有以下推出圖,如圖1所示:

圖1　推出圖

考慮以下推出圖,如圖2所示:

圖2　推出圖

因為圖1中的第二列是HomA(E,-)-正合的,所以由文獻[7]中的引理2.4(1),可知圖1中的第三列(圖2中的第一列)及圖2的第二列也是HomA(E,-)-正合的.又因為T0,T′1∈T ,所以T∈T .連接兩圖的中間行即為所要的(2.2)式.

(2)對偶于以上證明當C為T的真生成子

引理2.2設(shè)n≥1.考慮A中的以下正合列

其中Ti∈T .

(1)若T為A的E-預(yù)余可解子范疇, C為T的E-余真余生成子,則存在正合列

及HomA(E,-)-正合的正合列0→M→N→T→0,其中Ci∈C,T∈T .

(2)若T為A的E-預(yù)可解子范疇, C為T的E-真生成子,則存在正合列

及HomA(E,-)-正合的正合列0→T→B→A→0,其中Ci∈C,T∈T .

證明(1)用數(shù)學歸納法.當n = 2時,由引理2.1已證.現(xiàn)假設(shè)n≥3.考慮正合列

其中Ti∈T .令K = Ker(Tn?3→Tn?4),則由引理2.1知存在正合列

其中Cn?1∈C, T′n?2∈T .令A(yù)′= Im(Cn?1→T′n?2),由歸納假設(shè)存在正合列

其中Ci∈C.因此得到正合列

其中Ci∈C.

(2)對偶于(1)可得證.

定理2.1設(shè)A∈A且n≥1, C為T的E-真生成子與E-余真余生成子.則下列條件等價:

(1) T -dimA≤n.

(2)存在一個正合列

其中Ci∈C,Kn∈T .

(3)對任意非負整數(shù)t存在一個正合列

使得Xt∈T ,且對i = 0,···,t?1,t + 1,···,n,Xi∈C.

證明(2)?(1),(3)?(1),(3)?(2)顯然. (1)?(2)由[9]中的引理3.6已證.

(1)?(3)用數(shù)學歸納法.當n = 1時存在正合列0→T1→T0→A→0,其中T1,T0∈T .則由引理2.1知,存在正合列0→C1→T′0→A→0及0→T′1→C0→A→0,其中現(xiàn)假設(shè)n≥2.則存在正合列

其中Ti∈T ,0≤i≤n.令Q = Ker(T1→T0).則有正合列

于是由引理2.1得正合列0→Q→T′1→C0→A→0.故有正合列

其中T′1∈T ,C0∈C.令N = Ker(C0→A),可知T -dimN≤n?1.則由歸納假設(shè),存在正合列

其中Xt∈T ,Xi∈C,C0∈C,i /= t.

3　 X-Gorenstein投射模和X-Gorenstein內(nèi)射模

在本節(jié)中, R是一個環(huán)并且R模范疇中的所有子范疇都是滿的加法子范疇.對于R模范疇中的模A,用pdRA,idRA,fdRA分別表示A的投射維數(shù),內(nèi)射維數(shù),平坦維數(shù). P,I分別表示由投射模和內(nèi)射模組成的范疇.

設(shè)X是一個包含投射模的模類, A為一個R-模. A叫作X-Gorenstein投射的,若存在一個HomR(-,X)-正合的正合列

其中每個層次都為投射的,使得A～= Im(P0→P0).記X-GP為R-模的由X-Gorenstein投射模組成的子范疇. A的X-Gorenstein投射維數(shù)定義為:

若不存在整數(shù)n,則記X-GpdRA =∞.

命題3.1設(shè)A為一個R-模.

(1)若A∈(X-GP)⊥,則pdRA = X-GpdRA.

(2)若pdRA＜∞,則pdRA = X-GpdRA = (⊥P)-dimA.

(3)若X-GpdRA＜∞,則X-GpdRA = (⊥P)-dimA.

(4)若fdRA＜∞,則pdRA = X-GpdRA.

證明(1)顯然P是X-GP的P-真生成子與P-余真余生成子.由文獻[7]中的引理3.1知X-GP關(guān)于擴張封閉.再由文獻[9]中的引理3.10(3),令

則對A∈(X-GP)⊥,有pdRA = X-GpdRA.

(2)由文獻[9]中的命題5.3(1),有pdRA = (⊥P)-dimA,若pdRA＜∞.

(3)已知X-GP關(guān)于擴張封閉.設(shè)X-GpdRA = n＜∞.則由定理2.1存在一個正合列

其中Pi∈投射模, Gi∈X-GP.對于任意的1≤i≤n?1,令Ki= Im(Pi→Pi?1).假設(shè)

顯然m≥n.事實上若m＜n,則由文獻[9]中的定理3.8(1)知Km∈⊥P,Kn?1∈⊥P.因為存在一個HomR(-,X)-正合的正合列0→Gn→P→G→0,其中P∈投射模, G∈X-GP,

有以下推出圖,如圖3所示:

圖3　推出圖

因為圖3中的中間行和中間列都是可裂的,所以G′～= Pn?1⊕G∈X-GP,且Kn?1同構(gòu)于G′的直和項,這表明Kn?1∈X-GP,且X-GpdRA≤n?1.矛盾.

(4)由X-Gorenstein投射模的定義,很容易看到A∈(X-GP)⊥.類似于(1)的證明即可.

設(shè)X是一個包含內(nèi)射模的模類, A為一個R-模. A叫作X-Gorenstein內(nèi)射的,若存在一個HomR(X,-)-正合的正合列···→I1→I0→I0→I1→···其中每個層次都為內(nèi)射的,使得A～= Im(I0→I0).記X-GI為R-模的由X-Gorenstein內(nèi)射模組成的子范疇. A的X-Gorenstein內(nèi)射維數(shù)定義為:

若不存在整數(shù)n,則記X-GidRA =∞.

對偶于命題3.1,有以下結(jié)論.

命題3.2設(shè)A為一個R-模.

(1)若A∈⊥(X-GI),則idRA = X-GidRA.

(2)若idRA＜∞,則idRA = X-GidRA = (I⊥)-codimA.

(3)若X-GidRA＜∞,則X-GidRA = (I⊥)-codimA.

參考文獻

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2010 MSC: 16D40

Homological dimensions with respect to preresolving subcategories

Guo Jiaoxia , Yang Xiaoyan
(Department of Mathematics , Northwest Normal University, Lanzhou 730070, China)

Abstract:This paper introduce the homological dimensions with respect to preresolving subcategories of an abelian category, discuss some properties about the homological dimensions. Next give the difinition and ues about the X-Gorenstein projective dimension and X-Gorenstein injective dimension of R-modules.

Key words:preresolving subcategories, homological dimension, generator, elementary method, conjecture

作者簡介：郭嬌霞(1988-),碩士生,研究方向：同調(diào)理論.

基金項目：國家自然科學基金(11361051).

收稿日期：2015-11-12.

DOI：10.3969/j.issn.1008-5513.2016.01.010

中圖分類號：O178

文獻標識碼：A

文章編號：1008-5513(2016)01-0067-08