基于最小二乘QR分解算法的接地網(wǎng)磁場重構(gòu)方法及應(yīng)用

楊　帆　代　鋒　姚德貴　寇曉適　董曼玲　何　為

(1.輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術(shù)國家重點實驗室(重慶大學)　重慶　400044

2.國網(wǎng)河南省電力公司電力科學研究院　鄭州　450052)

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基于最小二乘QR分解算法的接地網(wǎng)磁場重構(gòu)方法及應(yīng)用

楊帆1代鋒1姚德貴2寇曉適2董曼玲2何為1

(1.輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術(shù)國家重點實驗室(重慶大學)重慶400044

2.國網(wǎng)河南省電力公司電力科學研究院鄭州450052)

摘要現(xiàn)有研究中基于磁場法的接地網(wǎng)故障診斷需要測量大量的磁場數(shù)據(jù)，這增加了測量成本。由此提出了一種磁場重構(gòu)的方法，以減少測量工作量。首先對基于磁場重構(gòu)方法進行接地網(wǎng)故障診斷的原理進行了詳細分析，建立了磁場重構(gòu)方程組。由于建立的重構(gòu)方程組為病態(tài)方程組，因此，采用最小二乘QR(LSQR)分解算法進行求解，并與共軛梯度(CG)算法進行對比。然后通過仿真驗證了該方法的可行性，最后通過實驗驗證了方法的可靠性。仿真和試驗結(jié)果表明：通過較少的測量節(jié)點(至少等于接地網(wǎng)節(jié)點個數(shù))就可以重構(gòu)出接地網(wǎng)上方地表磁場，并且在數(shù)據(jù)含有一定測量誤差的情況下，基于LSQR的磁場重構(gòu)結(jié)果仍與實際磁場分布較好吻合，因此能夠通過重構(gòu)出的磁場進行接地網(wǎng)腐蝕斷裂等問題的診斷。

關(guān)鍵詞：故障診斷磁場法接地網(wǎng)磁場重構(gòu)最小二乘QR分解

Least Square QR Factorization Arithmetic Based Magnetic Field Reconstruction for Grounding Grid and Its Application

YangFan1DaiFeng1YaoDegui2KouXiaoshi2DongManling2HeWei1

(1.State Key Laboratory of Power Transmission Equipment & System Security and New Technology Chongqing UniversityChongqing400044China 2.State Grid Henan Electric Power Corporation Research InstituteZhengzhou450052China)

AbstractThe grounding grid fault diagnosis based on the magnetic field method needs a mass of data in the existing research，which results in the increase of the measuring cost.In this paper，a new method based on magnetic field reconstruction is proposed in order to reduce the workload of the measurement.Firstly，fault diagnosis principles of the grounding grid based on the magnetic field reconstruction method are analyzed in detail and equations of magnetic field reconstruction are established.Secondly，the least square orthogonal matrix and right triangular matrix factorization (LSQR) arithmetic is used to solve the ill-posed equations.The results are compared with those based on the conjugate gradient (CG) method.Then a simulation example is used to verify the feasibility of the method and an experimental example is used to verify the reliability of the method.The results show that the surface magnetic field above the grounding grid can be reconstructed by fewer measuring nodes，i.e.no less than the number of the grounding grid nodes，and the reconstruction results based on LSQR are in good agreement with actual magnetic field distribution even though the measuring data contain some measurement errors.Therefore，the results can be used for the diagnosis of corrosion，cracking，and other issues within the grounding grid.

Keywords：Fault diagnosis，magnetic field method，grounding grid，magnetic field reconstruction，least square orthogonal matrix and right triangular matrix factorization

0引言

變電站接地網(wǎng)是維護電力系統(tǒng)安全運行、保障工作人員和站內(nèi)接地電氣設(shè)備安全的重要保證，其接地性能一直受到生產(chǎn)運行部門的重視。接地網(wǎng)常年埋設(shè)于地下，由于焊接不規(guī)范、土壤腐蝕等原因，造成接地網(wǎng)導(dǎo)體和引線的腐蝕或斷裂，這將危及接地設(shè)備和工作人員安全[1-3]，因此，進行接地網(wǎng)腐蝕故障診斷具有重要的工程應(yīng)用價值。

目前接地網(wǎng)腐蝕診斷計算的主要方法有電網(wǎng)絡(luò)分析法和電磁場分析法。文獻[4]將整個接地網(wǎng)看作一個電阻網(wǎng)絡(luò)，利用接地網(wǎng)的可及節(jié)點通入直流電流，通過特勒根定理建立故障診斷方程，求解每條支路電阻的增量。文獻[5，6]基于電網(wǎng)絡(luò)理論和矩陣理論建立了靈敏度方程，然后利用優(yōu)化理論求解電阻增量。文獻[7]提出了基于網(wǎng)絡(luò)拓撲變換的接地網(wǎng)分層約簡方法，將接地網(wǎng)支路分為明晰和不確定兩類，明晰支路的電阻可以唯一確定，而不確定支路的電阻不能準確獲得。文獻[8]提出了一種改進的接地網(wǎng)故障診斷算法，通過改進測量方法獲得更多的獨立方程，并通過求解非線性的接地網(wǎng)增廣故障診斷方程，獲得最小二乘意義下的支路電阻增量。文獻[9]采用參數(shù)識別法將接地網(wǎng)等效為純電阻網(wǎng)絡(luò)，然后基于特勒根定理建立接地網(wǎng)故障診斷方程并求解。

加拿大學者Dawalibi F.P.首次提出利用地表磁場分布來對接地網(wǎng)進行故障檢測[10]。國內(nèi)也有學者開展了利用磁場進行接地網(wǎng)故障檢測的研究，并提出了計算接地網(wǎng)地表磁場的方法[11-13]。磁場法一般是通過向接地網(wǎng)注入一定大小的電流，然后測量接地網(wǎng)導(dǎo)體中電流在地表面激發(fā)的磁感應(yīng)強度，對于故障處，磁感應(yīng)強度有明顯陷落，能夠根據(jù)磁感應(yīng)強度的分布特征和規(guī)律確定接地網(wǎng)的結(jié)構(gòu)和網(wǎng)格導(dǎo)體的故障狀態(tài)[14-16]。

對于大型變電站，其接地網(wǎng)面積很大，地表磁場分布需要通過對整個接地網(wǎng)范圍內(nèi)的測量點進行測量得到，測量工作量大。為了減少測量工作量并能夠準確地得到整個接地網(wǎng)范圍內(nèi)的磁場分布情況，本文提出接地網(wǎng)磁場重構(gòu)方法，即首先測量變電站接地網(wǎng)上方空間部分測量點的磁感應(yīng)強度，建立接地網(wǎng)磁場逆問題，采用LSQR法對逆問題進行求解，并對接地網(wǎng)上方磁場進行重構(gòu)成像，最終實現(xiàn)接地網(wǎng)的支路腐蝕故障診斷。研究結(jié)果表明本文提出的LSQR可以有效解決接地網(wǎng)磁場逆問題的病態(tài)性，通過對磁場進行重構(gòu)可以減小測量工作量。

1接地網(wǎng)磁場重構(gòu)原理

現(xiàn)在一般的磁場法通過向接地網(wǎng)注入電流，測量地表磁場分布，需要比較多的測量點。于是本文提出了磁場重構(gòu)的方法對接地網(wǎng)故障進行診斷。具體原理為：選取部分接地網(wǎng)測量點，利用測量得到的地表磁場反演(求解)接地網(wǎng)支路電流，然后通過支路電流計算接地網(wǎng)上方地表的磁場分布，從而對接地網(wǎng)進行故障診斷，原理圖如圖1所示，接地網(wǎng)磁場測量示意圖如圖2所示。

圖1　磁場重構(gòu)原理圖Fig.1　The schematic diagram of magnetic field reconstruction

圖2　接地網(wǎng)磁場測量示意圖Fig.2　The schematic diagram of grounding grid magnetic field measurement

1.1接地網(wǎng)磁場逆問題的計算

根據(jù)畢奧-沙伐定理，地表磁感應(yīng)強度與支路電流滿足

MI=B

(1)

式中，I為支路電流矩陣，I∈Rn； B為地表點磁感應(yīng)強度矩陣，B∈Rm； M為與地表點位置有關(guān)的系數(shù)矩陣，M∈Rm×n，其元素可由下式計算。

(2)

式中，Mij表示第j個支路單位電流在第i個地表點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度；lj為第j條支路的長度；Ri為支路上的點到第i個地表點的距離。

因此，在測量接地網(wǎng)上方磁場大小的基礎(chǔ)上，通過式(1)即可求出接地網(wǎng)中的電流，此過程屬于磁場逆問題的計算。式(1)中，通過地表磁場求電流問題具有嚴重病態(tài)性，本文提出了LSQR算法，能夠準確求解病態(tài)問題。

1.2LSQR算法原理

磁場重構(gòu)問題會涉及到病態(tài)方程組的求解，在含有磁場測量誤差的情況下，一般用以求解線性最小二乘問題的共軛梯度法、正交化方法等對磁場的重構(gòu)結(jié)果與真實磁場分布差異較大[17-19]。這是由于方程中的系數(shù)矩陣條件數(shù)非常大，使得問題具有嚴重的病態(tài)性，較小的測量誤差會被放大，從而嚴重影響解的精度。LSQR算法廣泛應(yīng)用于病態(tài)問題的求解[20-23]，其計算速度快，數(shù)值穩(wěn)定性高，具有較強的抗測量誤差能力，適合于大型病態(tài)矩陣方程的求解。

當給定接地網(wǎng)的注入電流后，地表磁感應(yīng)強度可通過畢奧-沙伐定理由支路電流求出，且支路電流與地表磁場的關(guān)系可用線性方程組表示為矩陣方程形式，即式(1)。

LSQR算法是基于Lanczos方法的一種求解下式最小二乘問題的方法。

1.2.1Lanczos方法

所謂Lanczos方法[24]是指將對稱矩陣三對角化的一種簡單方法。若將Lanczos方法應(yīng)用于一類特殊的矩陣，則可將這類特殊的矩陣化為雙對角陣，這種雙對角化的思想應(yīng)用于線性方程組和最小二乘問題就形成了LSQR方法。在求解線性方程組問題中，將系數(shù)矩陣雙對角化后，就變得較容易求解。

令M∈Rm×n, B∈Rm， 標準列正交矩陣Uk=[u1,u2,…,uk](ui∈Rm)和Vk=[v1,v2,…,vk](vi∈Rn)， 雙對角矩陣為

(α1,α2, …,αk∈R；β2,β3,…,βk+1∈R)

Lanczos雙對角化過程即為如下計算過程。

因此，第k步迭代有

(3)

式中，ek+1=[0,0,…0,1]k+1。

1.2.2LSQR方法

對于式(1)的最小二乘形式為

min‖MI-B‖2

(4)

假設(shè)已經(jīng)進行了k步雙對角化過程，得到m×(k+1)維正交矩陣Uk+1=[u1,u2,…,uk+1]，n×k維正交矩陣Vk=[v1,v2,…,vk]和(k+1)×k維下雙對角陣Wk。

rk=MIk-B=MVkyk-Uk+1(β1e1)

=Uk+1Wkyk-Uk+1(β1e1)

=Uk+1(Wkyk-β1e1)=Uk+1tk+1

其中

tk+1=Wkyk-β1e1

(5)

由于正交變換的范數(shù)不變性[17]，式(4)變?yōu)?/p>

min‖rk‖2=min‖Uk+1tk+1‖2=min‖tk+1‖2

(6)

這樣就把一個復(fù)雜的最小二乘問題式(4)轉(zhuǎn)換為一個簡單的最小二乘問題式(6)。

對于式(5)，用線性代數(shù)知識可知，可以找到一個正交變換矩陣Qk+1∈R(k+1)×(k+1)， 使

其中， Rk∈Rk×k， fk∈Rk,φk+1∈R。 于是

即對Wk進行了QR分解，因此，以上方法被稱為最小二乘QR分解方法。

對式(5)進行正交變換(QR分解)得

于是式(6)等效為

(7)

由于φk+1是在正交變換時自然形成的，隨著迭代的進行，它會逐漸趨于零，LSQR方法實際上是用迭代方法讓Rkyk逐步趨近于fk， 再通過Ik=Vkyk實現(xiàn)最小二乘求解的目標。

1.3接地網(wǎng)地表磁場計算

在通過測量的地表磁場數(shù)據(jù)反演(求解)出接地網(wǎng)支路電流的基礎(chǔ)上，利用式(1)可求出接地網(wǎng)上方的磁場，然后把各支路電流產(chǎn)生的磁場進行矢量疊加即可以得出最終的接地網(wǎng)上方磁場分布，通過磁場分布圖即可進行接地網(wǎng)腐蝕故障診斷。

2仿真分析

為了驗證所提方法的可行性，本文通過仿真進行了驗證。仿真的接地網(wǎng)結(jié)構(gòu)如圖3所示，同時建立以③節(jié)點為原點的空間直角坐標系xyz，z軸垂直于xoy平面向上，①、②節(jié)點分別為流入和流出節(jié)點，電流大小為1 A。磁場計算高度為0.3 m，即等效為接地網(wǎng)埋設(shè)深度為0.3 m，土壤相對磁導(dǎo)率μ=1的情況。導(dǎo)體截面積4 cm×5 mm，其他尺寸數(shù)據(jù)如圖3所示。

圖3　接地網(wǎng)仿真模型Fig.3　The simulation model of grounding grid

為了進行磁場重構(gòu)，在圖3所示的接地網(wǎng)中，分別在y=0.9 m、1.9 m、2.1 m、3.1 m處以x=0.3 m為起點，沿x方向每隔1 m選取一個計算點直到x=7.3 m，計算y方向的磁感應(yīng)強度，以此作為磁場重構(gòu)的原始數(shù)據(jù)。

對于式(1)所示的接地網(wǎng)磁場重構(gòu)方程，計算得到方程的條件數(shù)為2.61×105，由此可知方程(1)為一嚴重病態(tài)的線性方程組。

利用LSQR算法求解病態(tài)方程(1)，得出支路電流I， 然后可計算出整個接地網(wǎng)上方的磁場分布。即僅以部分點作為原始數(shù)據(jù)最終得出整個接地網(wǎng)上方的磁場，這大大減少了實驗時的工作量。

圖3中，加粗的導(dǎo)體電阻增大為正常下的4倍時，將重構(gòu)的磁場與計算磁場進行對比，表1為x=2.5 m線上的磁場比較結(jié)果，圖4為重構(gòu)磁場與計算磁場的比較。計算磁場是基于注入接地網(wǎng)的電流得到接地網(wǎng)中各支路中的電流分布，然后通過畢奧-沙伐定理得到接地網(wǎng)上方的理論磁場分布。

表1　計算磁場和重構(gòu)磁場的比較

圖4　重構(gòu)磁場與計算磁場分布Fig.4　The magnetic field distribution of reconstruction and calculation

由表1可知，LSQR重構(gòu)磁場更接近理論計算值，最大百分誤差絕對值僅為3.4%，而CG重構(gòu)磁場最小百分誤差絕對值為81.8%，最大誤差為真實值的4倍之多。從圖4可知，使用LSQR算法對接地網(wǎng)磁場進行重構(gòu)可以近似接地網(wǎng)上方磁場的分布情況，從而找到發(fā)生故障的支路，而使用CG法的重構(gòu)計算結(jié)果與理論計算結(jié)果相差較大，這是由于方程(1)的嚴重病態(tài)導(dǎo)致CG法的結(jié)果出現(xiàn)較大的偏差。

3實驗驗證

為了驗證本文方法在一定測量誤差情況下的可靠性，本文通過實驗進行了驗證。實驗的接地網(wǎng)結(jié)構(gòu)如圖5所示。導(dǎo)體采用Φ2.5 mm銅線，故障處(見圖5中黑色加粗線)導(dǎo)線采用Φ1 mm銅線，其他尺寸數(shù)據(jù)如下圖所示，①、②節(jié)點分別為流入和流出節(jié)點，電流大小為29.75 A。

圖5　實驗接地網(wǎng)結(jié)構(gòu)Fig.5　The structure of grounding grid in the experiment

由于接地網(wǎng)導(dǎo)體的電阻率比土壤的電阻率小得多，土壤泄露電流可以忽略不計[12，25]，同時，土壤的磁導(dǎo)率和空氣磁導(dǎo)率幾乎相等[26]，因此本文建立的實驗室接地網(wǎng)模型可以近似等價于實際接地網(wǎng)，用于本文方法的驗證。

實驗中采用CH—3600高精度三維高斯計測量磁感應(yīng)強度，采用三維數(shù)控平臺移動三軸高斯計探頭。實驗平臺如圖6所示。數(shù)控平臺的移動范圍(x，y，z)為400 mm×400 mm×400 mm，位置精度為0.01 mm。高斯計探頭高度為h=20 mm。

圖6　實驗平臺Fig.6　The experimental platform

在圖5所示的接地網(wǎng)中，分別在x=0.03 m、0.08 m、0.13 m、0.18 m、0.23 m處以y=0.05 m為起點沿y方向每隔0.05 m選取一個測量點直到y(tǒng)=0.30 m，測量y方向的磁感應(yīng)強度。

利用表2中的磁場作為重構(gòu)原始數(shù)據(jù)，對磁場進行重構(gòu)，重構(gòu)的磁場和y=0.15 m線上的測量數(shù)據(jù)對比結(jié)果見表3，重構(gòu)的磁場如圖7所示。

表2　磁場測量數(shù)據(jù)

表3　測量磁場和重構(gòu)磁場的比較

圖7　重構(gòu)磁場分布Fig.7　The magnetic field distribution of reconstruction

由表3和圖7可知，使用LSQR算法對接地網(wǎng)磁場進行重構(gòu)可以近似接地網(wǎng)上方磁場的分布情況，重構(gòu)的磁場能夠很準確地找出接地網(wǎng)故障支路的位置，即(0.21，0.06)和(0.21，0.12)之間的線段，而CG算法重構(gòu)的磁場效果較差，這是由于磁場重構(gòu)方程為病態(tài)方程，而測量數(shù)據(jù)存在一定的誤差造成CG算法重構(gòu)結(jié)果的偏差。

由表2可知，對于一般磁場法，直接利用表2中的30組磁場數(shù)據(jù)是不足以診斷出故障位置的，因此，基于一般磁場法的接地網(wǎng)故障診斷需要大量的數(shù)據(jù)[15，23]來繪制如圖7所示的磁場分布圖。對比文獻[23]中的數(shù)據(jù)，其得到5×5網(wǎng)格(即36個節(jié)點)的接地網(wǎng)磁場分布用了208個測量點，本文可以用36個左右的數(shù)據(jù)重構(gòu)出接地網(wǎng)上方磁場分布，而準確度仍滿足故障診斷的要求，即本文方法可以減少約4/5的工作量，同時保證準確性。對于算法計算效率，本文方法的重構(gòu)計算時間極小，與磁場的測量時間相比可以忽略不計。

由于測量數(shù)據(jù)的減少會大大加重重構(gòu)問題的病態(tài)性，也對測量數(shù)據(jù)的準確度提出更高的要求，因此本文建議測量數(shù)據(jù)個數(shù)至少等于接地網(wǎng)節(jié)點的個數(shù)。

4結(jié)論

為了改進磁場法，本文首先提出了一種用于接地網(wǎng)腐蝕診斷的磁場重構(gòu)方法，由于接地網(wǎng)磁場重構(gòu)問題的病態(tài)性，本文通過LSQR算法對病態(tài)性方程進行了求解，并與CG方法進行了對比。仿真和實驗結(jié)果表明，本文通過較少的測量節(jié)點(至少等于接地網(wǎng)節(jié)點個數(shù))就可以重構(gòu)出接地網(wǎng)磁場，并且基于LSQR的磁場重構(gòu)結(jié)果與實際磁場分布較好吻合，重構(gòu)效果明顯優(yōu)于CG方法，這不僅解決了磁場法的較大工作量問題，也為接地網(wǎng)故障診斷提供了一種新的思路。

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楊帆男，1980年生，博士，副教授，研究方向為電磁場數(shù)值方法及其在高壓設(shè)備故障檢測中的應(yīng)用。

E-mail：yangfancqu@gmail.com(通信作者)

代鋒男，1990年生，碩士研究生，研究方向為變電站接地網(wǎng)腐蝕故障診斷。

E-mail：dai_f2012@sina.com

作者簡介

中圖分類號：TM86

收稿日期2014-06-05改稿日期2014-06-23

高等學校博士科學點專項科研基金資助項目(20130191110005)。