例談切線法解導(dǎo)數(shù)壓軸題

?

例談切線法解導(dǎo)數(shù)壓軸題

山東省泰安市寧陽(yáng)一中(271400)張顯文

切線是曲線割線的極限位置，是曲線的局部幾何性質(zhì)，也可以將切線理解為在曲線局部直線與曲線由相離到接近的極限位置.因其位置的特殊性，在研究直線與曲線位置關(guān)系時(shí)充分利用切線性質(zhì)對(duì)于為減少解題時(shí)的思維量與運(yùn)算量大有裨益.筆者結(jié)合幾例導(dǎo)數(shù)壓軸題具體談一下切線的應(yīng)用.

(Ⅰ)當(dāng)k≤0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求k的取值范圍.

解析：(Ⅰ)略；

圖1

所以“f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)”等價(jià)于“ex-kx=0在(0,2)內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根”，等價(jià)于“曲線y=ex與直線y=kx在(0,2)內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)”.

例2(2015泰安市二模21)已知函數(shù)f(x)=xlnx+ax(a∈R).

(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[e2,+∞)上為增函數(shù)，求a的取值范圍；

(Ⅱ)若對(duì)任意x∈(1,+∞)，f(x)>k(x-1)+ax-x恒成立，求正整數(shù)k的值.

圖2

解析：(Ⅰ)略；

例3(2013年新課標(biāo)Ⅱ理21)已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m).

(Ⅰ)設(shè)x=0是f(x)的極值點(diǎn)，求m,并討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)當(dāng)m≤2時(shí)，證明f(x)>0.

解析：(Ⅰ)略;

圖3

(Ⅱ)因?yàn)閙≤2，所以x+m≤x+2,ln(x+m)≤ln(x+2).因?yàn)楹瘮?shù)y=ln(x+2)的圖像上凸，如圖3，在點(diǎn)(-1,0)處的切線方程為y=x+1，所以ln(x+2)≤x+1(“x=-1”時(shí)取等號(hào)).又因?yàn)楹瘮?shù)y=ex的圖像下凸，在點(diǎn)(0,1)的切線方程為y=x+1，所以ex≥x+1(“x=0”時(shí)取等號(hào)).所以ex≥x+1≥ln(x+2)，因?yàn)榈忍?hào)不能同時(shí)取，所以ex>ln(x+2)，于是得ex>ln(x+m)，所以f(x)=ex-ln(x+m)>0，不等式得證.

例4(2014年新課標(biāo)Ⅱ文21)已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+2，曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2.

(Ⅰ)求a；

(Ⅱ)證明：當(dāng)k<1時(shí)，曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn).

圖4

解析：(Ⅰ)a=1；