試探以圓錐曲線的垂直弦為直徑的圓

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試探以圓錐曲線的垂直弦為直徑的圓

湖北省武漢市第十四中學(xué)(430061)尹惠民

在研究與圓錐曲線有關(guān)的軌跡問(wèn)題時(shí)，筆者對(duì)以圓錐曲線的兩條垂直弦為直徑的圓作了一番探索和演算，發(fā)現(xiàn)了下面的漂亮性質(zhì)，希望與讀者共享．

首先介紹將圓、橢圓、雙曲線合三為一后得到的具有和諧、統(tǒng)一、對(duì)稱美的一個(gè)性質(zhì)．

定理1已知有心圓錐曲線E：mx2+ny2=1(當(dāng)m、n都為正時(shí)是圓或橢圓，當(dāng)m、n異號(hào)時(shí)是雙曲線)，AB、CD是過(guò)曲線Γ內(nèi)定點(diǎn)P(x0,y0)的兩條互相垂直的弦,若以弦AB、CD為直徑的兩圓相交，則兩圓公共弦恒過(guò)定點(diǎn)

圖1

證明:(如圖1)當(dāng)直線AB、CD的斜率均存在且不為零時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k(x-x0)+y0，代入mx2+ny2=1，并整理得

(m+nk2)x2+2kn(y0-kx0)x+n(y0-kx0)2-1=0，

=-n[mx0(1-k2)+(m+n)ky0]·(x-

所以兩圓公共弦恒過(guò)定點(diǎn)

當(dāng)直線AB、CD中有一條斜率不存在或?yàn)榱銜r(shí)，可以驗(yàn)證兩圓公共弦也過(guò)定點(diǎn)T．

另一方面，設(shè)以弦AB、CD為直徑的兩圓圓心分別為M、N，由圓方程③④易得

yN-yM=

由兩點(diǎn)式得直線MN的方程為

(y-yM)(xN-xM)=(x-xM)(yN-yM)，即

(xN-xM)y=(yN-yM)x+yMxN-xMyN．

當(dāng)直線AB、CD中有一條斜率不存在或?yàn)榱銜r(shí)，可以驗(yàn)證兩圓公共弦中點(diǎn)坐標(biāo)滿足軌跡方程．

經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn)在拋物線中也有類似的性質(zhì)，證明略．