Hall共軛嵌入子群與有限群的結(jié)構(gòu)

郭艷慧，黎先華

（1.蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.蘇州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州215006）

Hall共軛嵌入子群與有限群的結(jié)構(gòu)

郭艷慧1，2，黎先華2

（1.蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州 215009；2.蘇州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇 蘇州215006）

設(shè)群G為有限群，子群H稱為G的Hall共軛嵌入子群，若它滿足對(duì)于任意的g∈G，H總是〈H，Hg〉的Hall子群。通過(guò)群G的極小子群與2-極小子群為Hall共軛嵌入子群分別得到有限群G為p-冪零群和G屬于某個(gè)飽和群系的若干新的判定方法。

有限群；Hall共軛嵌入子群；p-冪零群；飽和群系

文中涉及的群均為有限群，所用術(shù)語(yǔ)及符號(hào)均是標(biāo)準(zhǔn)的，未交待的概念和符號(hào)參見(jiàn)文獻(xiàn)［1］。這里列出文中幾個(gè)常用的符號(hào)：|G|表示群G的階；|G：H|表示子群H在群G中的指數(shù)；Sylp（G）表示群G的所有Sylow p-子群之集。

群G的子群H稱為G的Hall子群，若（|G：H|，|H|）=1；群G的子群H稱為G的p′-Hall子群，若|H|·|P|= |G|，其中P∈Sylp（G）。作為Sylow子群的推廣，Hall子群是一類重要的子群。著名的P.Hall定理［1］指出，群G為可解群當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)|G|的任意素因子p，都存在G的p′-Hall子群。關(guān)于Hall子群的存在性及利用Hall子群來(lái)探討群的結(jié)構(gòu)是群論研究的熱點(diǎn)［2-6］。例如，文獻(xiàn)［2］中Moretó利用Sylow數(shù)討論了冪零Hall子群的存在性；文獻(xiàn)［3］中Revin給出了Hall子群的Frattini論斷定理；文獻(xiàn)［4］中Arad等推廣了P.Hall定理，證得群G為可解群當(dāng)且僅當(dāng)存在G的2′-Hall子群與3′-Hall子群。最近，文獻(xiàn)［7-9］先后引入了Hall正規(guī)嵌入子群、Hall次正規(guī)嵌入子群和Hall s-擬正規(guī)嵌入子群的概念：群G的子群H稱為G的Hall正規(guī)嵌入子群，若H為它自身的正規(guī)閉包HG的Hall子群；群G的子群H稱為G的Hall次正規(guī)嵌入子群，若H為它自身的次正規(guī)閉包HSG的Hall子群；群G的子群H稱為G的Hall s-擬正規(guī)嵌入子群，若H為它自身的s-擬正規(guī)閉包HSQG的Hall子群。作為Hall子群與s-半置換子群的推廣，文獻(xiàn)［10］又引入了Hall s-半嵌入子群的概念：群G的子群H稱為G的Hall s-半嵌入子群，若對(duì)任意的素?cái)?shù)p滿足p||G|，只要（p，|H|）=1，就有H為〈H，P〉的Hall子群，其中P∈Sylp（G）。群類G若關(guān)于同態(tài)象及次直積為閉的，則稱G為一個(gè)群系。有限群的群系ζ稱為飽和的，如果從G/Φ（G）∈ζ總能推得G∈ζ［11］。作為Hall子群與Hall正規(guī)嵌入子群的推廣，筆者引入Hall共軛嵌入子群這一新概念，并利用極小子群與2-極小子群為Hall共軛嵌入子群得到有限群為p-冪零群或?qū)儆谀硞€(gè)飽和群系的若干新判定方法。

1　預(yù)備知識(shí)

定義1設(shè)群G為有限群，稱群G的子群H為Hall共軛嵌入子群，若對(duì)任意的g∈G，H為〈H，Hg〉的Hall子群。

顯然，G的每個(gè)Hall子群都是G的Hall共軛嵌入子群。另外，由于對(duì)任意的g∈G，H≤〈H，Hg〉≤HG，所以G的每個(gè)Hall正規(guī)嵌入子群都是G的Hall共軛嵌入子群。

引理1設(shè)A為G的Hall共軛嵌入子群：

（1）若A≤H≤G，則A為H的Hall共軛嵌入子群。

（2）若N為G的正規(guī)子群，則AN/N為G/N的Hall共軛嵌入子群。

（3）若A為G的p-子群，則A為G的類正規(guī)子群。

證明（1）對(duì)任意的h∈H，由A為G的Hall s-半嵌入子群知A為〈A，Ah〉的Hall子群。從而，A為H的Hall s-半嵌入子群。

（2）記π為A的階的素因子構(gòu)成的集合，由A為G的Hall共軛嵌入子群，則對(duì)任意g∈G，|〈A，Ag〉：A|為π′-數(shù)。任取gN/N∈G/N，由于〈AN/N，（AN/N）gN/N〉=〈A，Ag〉N/N，所以|〈A，Ag〉N/N：AN/N|=（|〈A，Ag〉||A∩N|）/ （|〈A，Ag〉∩N||A|）為|〈A，Ag〉：A|的一個(gè)因子，也為π′-數(shù)。從而，AN/N為G/N的Hall共軛嵌入子群。

（3）對(duì)任意的g∈G，由A為G的Hall共軛嵌入子群知A為〈A，Ag〉的Sylow p-子群。顯然，Ag也為〈A，Ag〉的Sylow p-子群。從而A與Ag在〈A，Ag〉中必共軛，A為G的類正規(guī)子群。

引理2［12］G的子群A在G中正規(guī)當(dāng)且僅當(dāng)A在G中類正規(guī)且次正規(guī)。

引理 3［13］設(shè)G為一個(gè)與A4無(wú)關(guān)的有限群，素?cái)?shù)p滿足p||G|且（|G|，p-1）=1。如果G存在正規(guī)子群N，使得G/N為p-冪零群并且p3不整除|N|，則G為p-冪零群。

引理4［13］設(shè)P為群G的極小正規(guī)p-子群，如果P的每個(gè)p2階子群在G中π-擬正規(guī)，則|p|≤p2。

引理5［13］設(shè)F為所有具有超可解型Sylow塔群構(gòu)成的群系，G為一個(gè)與A4無(wú)關(guān)的有限群。如果群G存在正規(guī)p-子群，使得G/P∈F，并且|P|≤p2，則G∈F。

2　主要結(jié)果

首先，考慮Sylow-子群的極小子群對(duì)群結(jié)構(gòu)的影響。

定理1設(shè)素?cái)?shù)p滿足p||G|且（|G|，p-1）=1。如果G的每個(gè)p階及4階（當(dāng)p=2時(shí)）循環(huán)子群為G的Hall共軛嵌入子群，則G為p-冪零群。

證明假設(shè)定理不成立，且G為極小階反例。

任取H

（1）當(dāng)|P|=p時(shí)，由NG（P）/CG（P）同構(gòu)于Aut（P）的一個(gè)子群，|Aut（P）|=p-1以及假設(shè)（|G|，p-1）=1，可得NG（P）=CG（P）。從而，由Burnside定理知G為p-冪零群，這與G為極小階反例矛盾。

（2）當(dāng)|P|=p2時(shí)，若p＞2，任取a∈P，則|a|=p，從而〈a〉為G的Hall共軛嵌入子群。由引理1（3）和引理2可知〈a〉?G。由〈a〉Q＜G及G為極小階反例，可得〈a〉Q為p-冪零群，從而〈a〉≤NG（Q）。由a的任意性知P≤NG（Q），從而Q ?G，這與G為極小階反例矛盾。

若p=2，則當(dāng)P為循環(huán)群時(shí)，G為p-冪零群；當(dāng)P不循環(huán)時(shí)，任取a∈P，有|a|=2。由假設(shè)〈a〉為G的Hall共軛嵌入子群及引理1（3）和引理2可得〈a〉?G。又因〈a〉Q＜G，由G為極小階反例知〈a〉Q為2-冪零群，所以〈a〉≤NG（Q）。由a的任意性知P≤NG（Q），從而Q ?G，這與G為極小階反例矛盾。

（3）當(dāng)|P|＞p2時(shí)，任取a∈P，則|a|=p或4（當(dāng)p=2時(shí)）。由假設(shè)〈a〉為G的Hall共軛嵌入子群，借助引理1 （3）和引理4可得〈a〉?G。再由〈a〉Q＜G及G為極小階反例，知〈a〉Q為p-冪零群，從而〈a〉≤NG（Q）。由a的任意性知P≤NG（Q），從而Q ?G，這與G為極小階反例矛盾。

綜上，極小反例不存在，G為p-冪零群。

推論1設(shè)p為|G|的最小素因子，若G的所有p階及4階（當(dāng)p=2時(shí)）循環(huán)子群G為的Hall共軛嵌入子群，則G為p-冪零群。

推論2若群G的所有極小子群及4階循環(huán)子群為G的Hall共軛嵌入子群，則G有超可解型Sylow-塔。

定理2設(shè)F為包含超可解群系U的飽和群系，如果G存在一個(gè)正規(guī)子群H使得G/H∈F并且H的素?cái)?shù)階及4階循環(huán)子群為G的Hall共軛嵌入子群，則G∈F。

證明由引理1（1）知，H的素?cái)?shù)階及4階循環(huán)子群為H的Hall共軛嵌入子群。由推論2，H有超可解型Sylow-塔。設(shè)p為|H|的最大素因子且P∈Sylp（H），則P ?G?？紤]G/P，由引理1（2），H/P的素?cái)?shù)階及4階子群為G/H的Hall共軛嵌入子群。由歸納法得G/P∈F，且P的每個(gè)素?cái)?shù)階及4階循環(huán)子群為G的Hall共軛嵌入子群，由引理1（3）和引理2，它們都在G中正規(guī)。由文獻(xiàn)［15］的主要定理知G∈F。

接下來(lái)，考慮Sylow-子群的2-極小子群對(duì)群結(jié)構(gòu)的影響。

定理3設(shè)G為一個(gè)與A4無(wú)關(guān)的有限群，素?cái)?shù)p滿足p||G|且（|G|，p-1）=1。如果G存在正規(guī)子群N，使得G/N為p-冪零群并且N的每個(gè)p2階子群為G的Hall共軛嵌入子群，則G為p-冪零群。

證明假設(shè)定理不成立，G為極小階反例。

（1）G為極小非p-冪零群。

任取H

（2）P的每個(gè)p2階子群在G中正規(guī)。

由假設(shè)P的每個(gè)p2階子群為G的Hall共軛嵌入子群，由引理1（3）和引理2可知，它們都是G的正規(guī)子群。

（3）任取 Z（P）中的p階元a。若exp（P）=p，則對(duì)任意的x∈P〈a〉，〈x〉〈a〉為G的p2階子群。由（2）得〈x〉〈a〉?G且〈x〉〈a〉Q＜G。由（1）可得〈x〉〈a〉Q=〈x〉〈a〉×Q，從而〈x〉〈a〉≤NG（Q），有P≤NG（Q），所以G=P×Q，與假設(shè)G為極小階反例矛盾。因而可假定p=2且expP=4，類似上述證明方法可以證得每個(gè)2階元都包含在NG（Q）中，對(duì)每個(gè)4階元b，考慮〈b〉Q，則〈b〉Q=〈b〉×Q，同樣可得〈b〉∈NG（Q），從而P≤NG（Q），G=P×Q，與假設(shè)G為極小階反例矛盾。

綜上，極小反例不存在，G為p-冪零群。

推論3設(shè)G為一個(gè)與A4無(wú)關(guān)的有限群，素?cái)?shù)p滿足p||G|且（|G|，p-1）=1，P為G的Sylow p-子群，若P∩GN的每個(gè)p2階子群為G的Hall共軛嵌入子群，則G為p-冪零群。

推論4設(shè)對(duì)群G的階的每個(gè)素因子p，G的每個(gè)p2階子群都是G的Hall共軛嵌入子群，則G有超可解型Sylow-塔。

定理4設(shè)F為所有具有超可解型Sylow塔群構(gòu)成的群系，G為一個(gè)與A4無(wú)關(guān)的有限群，如果G存在正規(guī)子群H使得G/H∈F，并且對(duì)|H|的每個(gè)素因子p，H的p2階子群都是G的Hall共軛嵌入子群，則G∈F。

證明假設(shè)定理不成立，且G為極小階反例。由推論4，H有超可解型Sylow-塔。設(shè)p為H階的最大素因子，且P∈Sylp（H），則P ?G?？紤]群G/P，由假設(shè)及引理1（2），H/P的所有素?cái)?shù)平方階子群為G/P的Hall共軛嵌入子群，且G/P為A4無(wú)關(guān)的。由G為極小階反例知G/P∈F。

由GF≤P≤OP（G），GF的每個(gè)p2階子群為G的Hall共軛嵌入子群。再由引理1（3）和引理2，GF的每個(gè)p2階子群在G中正規(guī)。若Φ（GF）＝1，則GF為G的極小正規(guī)子群。由引理4，|GF|≤p2，從而由引理5，G∈F，矛盾。因而可假定Φ（GF）≠1，考慮G=G/Φ（GF），下面證明GF/Φ（GF）的每個(gè)p2階子群在G/Φ（GF）中正規(guī)。任取GF/Φ（GF）的p2階子群A，則A=〈x〉〈y〉。當(dāng)〈x〉，〈y〉都是4階循環(huán)群時(shí)，由〈x〉，〈y〉都是G的正規(guī)子群知〈x〉，〈y〉都是G的正規(guī)子群，從而A=〈x〉〈y〉在G中正規(guī)；當(dāng)〈x〉，〈y〉都是2階循環(huán)群時(shí)，在Φ（GF）中區(qū)p階元z，則〈x〉〈z〉，〈y〉〈z〉都是4階群，從而都在G中正規(guī)。由于〈x〉〈z〉=〈x〉與〈y〉〈z〉=〈y〉都在G中正規(guī)，所以A= 〈x〉〈y〉在G中正規(guī)；當(dāng)〈x〉，〈y〉一個(gè)為2階群，一個(gè)為4階循環(huán)群時(shí)，類似可證A=〈x〉〈y〉在G中正規(guī)。由引理4，|GF/Φ（GF）≤p2|。對(duì)G/Φ（GF），GF/Φ（GF）利用引理5，可得G/Φ（GF）∈F。由于F為飽和群系，Φ（GF）≤Φ（G），所以G∈F，矛盾，定理證畢。

推論5設(shè)G為一個(gè)與A4無(wú)關(guān)的有限群，如果G存在正規(guī)子群H使得G/H∈F并且對(duì)H的階的每個(gè)素因子p，H的p2階子群都是G的Hall共軛嵌入子群，則G為超可解群。

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責(zé)任編輯：謝金春

Hall conjugately embedded subgroups and the structure of finite groups

GUO Yanhui1，2，LI Xianhua2
（1.School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China；2.School of Mathematical Science，Soochow University，Suzhou 215006，China）

Let G be a finite group.If H is a Hall subgroup of＜H，Hg＞，a subgroup H is called a Hall conjugately embedded subgroup of G for any g∈G.In this paper，we have obtained some new results about the p-nilpotency of G and G belonging to some saturated formation under the assumptions that some minimal and 2-minimal subgroups of G are Hall conjugately embedded subgroups

finite group；Hall conjugately embedded subgroup；p-nilpotent group；saturated formation

O152.1MR（2000）Subject Classification：20D10；20D20

A

1672-0687（2016）03-0007-04

2016-01-15

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11171243）；江蘇省高校自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目（16KJB110019）；江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目（KYLX-1212）

郭艷慧（1979-），女，山東菏澤人，講師，博士研究生，研究方向：有限群及其應(yīng)用。