從數(shù)學(xué)史中汲取營養(yǎng)
———《用字母表示數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)

卞慶龍

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版五年級上冊第99～100頁。

【教學(xué)過程】

一、與史同步，經(jīng)歷知識產(chǎn)生過程

1.感知——初步理解用字母表示數(shù)。

（課件依次出示用小棒圍成的1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)三角形）

師：像這樣用小棒圍成不連續(xù)的1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)三角形，各需要多少根小棒？如果再繼續(xù)圍3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)三角形，還各需要多少根小棒？怎樣列式表示圍每種三角形所需小棒的根數(shù)？

（學(xué)生說，教師板書算式）

師：你們能繼續(xù)擺下去嗎？你想擺多少個(gè)三角形？需要多少根小棒？

（教師指多名學(xué)生回答）

師：你知道三角形的個(gè)數(shù)和所用的小棒根數(shù)有什么關(guān)系嗎？

師：大家想擺的三角形個(gè)數(shù)各不相同，你們能用一個(gè)式子既能表示我們已經(jīng)擺好三角形所用小棒根數(shù)，又能表示我們心中想擺出的三角形所用小棒根數(shù)嗎？請大家寫在作業(yè)紙上。

教師展示:所用小棒根數(shù)=a×3。

師：a表示什么？a×3表示什么？

生：a表示擺成的三角形個(gè)數(shù)，a×3表示所需小棒的根數(shù)。

師：小棒根數(shù)也就是數(shù)量，也就是說a×3能夠表示數(shù)量。（板書：數(shù)量）

師：a能表示1個(gè)三角形嗎？能表示2個(gè)三角形嗎？能表示3個(gè)、4個(gè)三角形嗎？a能表示你心中想擺的三角形嗎？

生：能。

生：a表示變化的數(shù)。

師：a能取小數(shù)嗎？a能表示分?jǐn)?shù)嗎？

生：不能，這里a只能表示自然數(shù)。

師：原來a表示的數(shù)是有范圍的。

師：這里的3為什么不用字母表示？

生：3是我們已經(jīng)知道的，是固定不變的數(shù)，所以不需要用字母表示，我們用字母表示變化的數(shù)，一道式子就可以表示所有的答案。

師：通過擺三角形我們知道：變化的數(shù)量可以用字母表示，同一個(gè)字母可以表示很多的數(shù)。已經(jīng)知道的固定不變的數(shù)不需要用字母表示。

2.感悟——進(jìn)一步用字母表示數(shù)。

師：（出示一個(gè)黑布袋，神秘一晃）黑布袋中有50元錢，知道由哪些面值的貨幣組成嗎？

（教師從袋中掏出部分1元、5角、1角的錢幣）

師：如果用去10元，剩下多少元？

師：如果用去15.8元，剩下多少元呢？

師：如果讓你去買文具，你想用多少錢去買文具，還剩下多少元？

……

師：你能用一個(gè)式子表示用去一部分錢后，剩下的錢數(shù)嗎？

生1：如果用字母a表示用去的錢數(shù)，剩下的錢數(shù)就是50-a。

生2：如果用字母b表示用去的錢數(shù)，剩下的錢數(shù)就是50-b。

……

師：我們可以用不同的字母表示用掉的錢數(shù)。這里為了交流的方便，我們把用去的錢數(shù)用字母b表示，剩下錢數(shù)就用什么表示？

（學(xué)生說，教師投影：50-b）

師：這里50表示什么？b表示什么？50-b表示什么？

生：50表示原有的錢數(shù)，字母b表示用去的錢數(shù)，50-b表示剩下的錢數(shù)。

師：50-b表示剩下的錢數(shù)，錢數(shù)也是一個(gè)數(shù)量，50-b表示數(shù)量；而且在“50-b”中，通過50-b我們清楚看出原有的錢數(shù)、用去的錢數(shù)和剩下的錢數(shù)三者之間的關(guān)系。

（教師相機(jī)板書：數(shù)量關(guān)系）

師：這兒的b可以表示哪些數(shù)？

生1：可以表示10元。

生2：可以表示15.8元。

……

師：也就是說字母b可以表示變化的數(shù)。

師：b能表示小數(shù)嗎？b能表示分?jǐn)?shù)嗎？

二、了解簡寫規(guī)則由來，掌握代數(shù)式簡寫方法

師：如果用S表示長方形的面積，長方形的長是a,寬是4，這個(gè)長方形的面積怎么表示？

生：S=a×4。

師：如果長方形的長是x,寬是4，面積該怎么表示呢？

生：x×4。

師：德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)乘號和字母X很像，就提出如下建議：

課件出示：

你知道嗎？

德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨認(rèn)為“×”容易與字母“x”相混淆，建議用“·”表示乘號；如果有數(shù)，數(shù)要寫在字母的前面。這樣，用“·”標(biāo)志乘號得到了廣泛的承認(rèn)。如今，歐洲大陸派（德、法等國）規(guī)定以“·”作乘號。其他國家則以“×”作乘號，“·”為小數(shù)點(diǎn)。而我國則規(guī)定以“×”或“·”作乘號都可，一般用于字母或括號前的乘號可略去。

教師請學(xué)生根據(jù)上述規(guī)定重新說說a×4、x×4 的寫法，并根據(jù)學(xué)生回答相機(jī)板書a×4=4·a=4a。x×4=4x。

師：a×4可以看成表示4個(gè)a，你覺得哪種寫法看起來更簡潔。

生：4a和a×4都表示4個(gè)a，但是4a看起來更簡潔。

師：a×1該怎樣簡寫呢？

生：a×1=a。

師：為什么等于a？

生：任何數(shù)乘1得原數(shù)。

師：開始我們寫的a×3該怎么簡寫呢？

請學(xué)生在作業(yè)紙上寫一寫。

師：如果正方形的邊長是a，那它的面積是多少？

生：a×a。

投影課件出示：

你知道嗎？

1636年，蘇格蘭人蘇姆對a×a的形式做了簡寫，寫成aa的形式。一年后，數(shù)學(xué)家笛卡爾對此進(jìn)了了改良和推廣，把a(bǔ)×a寫成 a2，表示 2個(gè) a連乘，讀作“a的平方“ ”?，F(xiàn)在世界各國普遍采用笛卡爾的縮寫方法。

（學(xué)生讀）

師：請大家說a×a可以怎么簡寫？怎么讀？b×b怎么簡寫？c2等于什么呢？

（學(xué)生練習(xí)后集體交流，教師相機(jī)教學(xué)a2與2a的區(qū)別）

師：如果用字母 a、b、h 分別表示梯形的上底、下底和高，梯形的面積公式可以怎么表示呢？

生：S=（a+b）h÷2。

師;這里的加號、除號能省略嗎？

生：不能。如果省略加號、除號，人們就會把它們誤解為乘法了。

師：對，在含有字母的式子中，只有乘號可以省略，加號、減號、除號是不能夠省略的。

三、以史為鑒，滲透代數(shù)思想

出示表格。

師：（指 5×3=3×5）這是我們以前學(xué)過的什么運(yùn)算律？

生：加法交換律。

師：加法交換律用字母怎么表示？

生：a+b=b+a。

師：5×3=3×5也能表示加法交換律??？

生：5×3=3×5只能表示一種特殊情況，不能代表其他情況。而a+b=b+a能表示所有的情況。

師：也就是說用字母表示加法交換律具有高度的概括性。

師：［指 8×（3+5）=8×3+8×5］這是我們以前學(xué)過的什么運(yùn)算律？

生：乘法分配律。

師：用語言敘述一下乘法分配律的內(nèi)容。

生：兩個(gè)加數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以先把這兩個(gè)加數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘，再把乘得的積相加，得數(shù)不變。

師：乘法分配律用字母怎么表示？

生：(a+b)×c=a×c+b×c。

師：字母表達(dá)式和文字表達(dá)相比，你覺得哪種表達(dá)方式好？

生：字母表達(dá)式好，字母表達(dá)式比文字表述更簡潔、更明白。

師：用字母表示運(yùn)算律、公式，不僅概括，而且簡潔。當(dāng)然，我們在用字母表示運(yùn)算律、公式的時(shí)候，一定要理解字母表達(dá)式所表示的意義。

四、課堂總結(jié)，揭示課題（略）