簡(jiǎn)單的等號(hào)，不簡(jiǎn)單的語(yǔ)義功能

姚賽英

摘 要：一個(gè)簡(jiǎn)單的由兩條線段組成的“=”，作為一個(gè)關(guān)系符號(hào)，在小學(xué)數(shù)學(xué)不同的教學(xué)內(nèi)容中描述著不同的等號(hào)語(yǔ)言，表述著不同的意義，滲透著不同的數(shù)學(xué)理念。作為關(guān)系符號(hào)的等號(hào)，可以表述為一種相等的數(shù)量關(guān)系，可以是一種程序關(guān)系、是一種算法和規(guī)律、是一種方法，可以在邏輯上表明一種等價(jià)關(guān)系，它還可以是一種命令……原來(lái)，簡(jiǎn)單的等號(hào)并不簡(jiǎn)單。通過(guò)梳理分析各冊(cè)教材，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透等號(hào)表達(dá)的不同作用，引導(dǎo)學(xué)生真正理解等號(hào)的意義進(jìn)行了初步研究、整理和再思考。

關(guān)鍵詞：教材編排；等號(hào)語(yǔ)言；等號(hào)意義；等號(hào)應(yīng)用

關(guān)于等號(hào)，1557年，由英國(guó)數(shù)學(xué)家列科爾德首創(chuàng)，他在《智慧的磨刀石》中寫(xiě)道：“為了避免枯燥地重復(fù)（等于）這個(gè)短語(yǔ)，我認(rèn)真比較了許多圖形和記號(hào)，覺(jué)得世界上再也沒(méi)有比兩條平行而又等長(zhǎng)的線段，意義更加相同了。”

對(duì)于等號(hào)，孩子們從幼兒園起就有了前概念，一個(gè)蘋(píng)果+一個(gè)蘋(píng)果=兩個(gè)蘋(píng)果（1+1=2），兩個(gè)小朋友走了一個(gè)小朋友，還剩一個(gè)小朋友（2-1=1）。而真正學(xué)習(xí)和理解等號(hào)的意義、作用，是從小學(xué)一年級(jí)數(shù)學(xué)教材開(kāi)始的。

等號(hào)作為數(shù)學(xué)中的基本符號(hào)之一，使用頻率很高而且方便，但實(shí)際上我們常常忽視對(duì)等號(hào)教學(xué)的研究，它往往被簡(jiǎn)單地看成是計(jì)算結(jié)果的符號(hào)過(guò)程。而事實(shí)上，一個(gè)簡(jiǎn)單的由兩條線段組成的“=”，在小學(xué)數(shù)學(xué)不同的教學(xué)內(nèi)容中描述著不同的等號(hào)語(yǔ)言，表述著不同的意義，滲透著不同的數(shù)學(xué)理念。

于是，筆者翻閱了小學(xué)數(shù)學(xué)的十二冊(cè)教材，對(duì)等號(hào)的教材安排和等號(hào)的語(yǔ)言表達(dá)功能進(jìn)行了初步的分析與整理，對(duì)應(yīng)用等號(hào)的教學(xué)進(jìn)行了初步的思考。

一、等號(hào)在教材中的總體編排情況

在十二冊(cè)數(shù)學(xué)教材中，總體來(lái)說(shuō)等號(hào)的關(guān)系特征有梯度但不明顯，表現(xiàn)形式穿插在各冊(cè)教材中，呈現(xiàn)著不同的作用。在同一個(gè)語(yǔ)言功能中，可以發(fā)現(xiàn)有較明顯的梯度體現(xiàn)，以下舉例中將論證這一編排特點(diǎn)。

二、等號(hào)的具體教材編排與語(yǔ)言功能

（一）等號(hào)表述一種相等的數(shù)量關(guān)系，過(guò)程遞進(jìn)

一年級(jí)上冊(cè)第17頁(yè)，3=3，小學(xué)數(shù)學(xué)教材第一次出現(xiàn)“=”這個(gè)符號(hào)概念，表示左右兩邊的量相等。在這里，沒(méi)有程序性關(guān)系，等號(hào)只是純粹地表述兩個(gè)量“一樣多”的相等關(guān)系。

一年級(jí)上冊(cè)第24頁(yè)，3+1=4，圖形與算式結(jié)合，等號(hào)在這里開(kāi)始過(guò)程性地表述左右兩邊的量相等。左邊3個(gè)氣球通過(guò)增加1個(gè)氣球這個(gè)過(guò)程能和右邊的4個(gè)氣球一樣多。

一年級(jí)上冊(cè)第25頁(yè)，松鼠圖3+2=（5），等號(hào)的過(guò)程性語(yǔ)言表述更進(jìn)一步，從3后面接著數(shù)4，5，就能到達(dá)5只，使左右兩邊相等。

一年級(jí)上冊(cè)第27頁(yè)，4-（ ）=（ ），等號(hào)的過(guò)程性語(yǔ)言更加開(kāi)放，想法不同，就會(huì)出現(xiàn)不同的過(guò)程性計(jì)算，使左右兩邊相等。

像這樣等號(hào)表述相等關(guān)系的語(yǔ)言功能在后續(xù)幾冊(cè)教材中分層出現(xiàn)。

一年級(jí)上冊(cè)，5+2+1=8表述連續(xù)性過(guò)程；三年級(jí)上冊(cè)第96頁(yè)■+■不同計(jì)數(shù)單位的計(jì)算。

（二）等號(hào)表述一種算法和規(guī)律

四年級(jí)下冊(cè)第17頁(yè)，運(yùn)算定律40+56=56+40；四年級(jí)下冊(cè)第25頁(yè)，（25×5）×2=25×（5×2），五年級(jí)下冊(cè)■=■=■在這里等號(hào)表示的是一種算法，左邊的計(jì)算方法等同于右邊的算法，并且算法可逆。在這里，算法可顛倒性比算法的結(jié)果更重要。

（三）等號(hào)在邏輯上表明一種等價(jià)關(guān)系

如：a=b，a=c那么b=c；a=b那么b=a

a=a是自身性特征，a=b那么b=a屬于反身性特征，a=b，a=c 那么b=c這種屬于傳遞性特征。

四年級(jí)上冊(cè)第35頁(yè)：1平方千米=1000000平方米=100公頃

四年級(jí)上冊(cè)第42頁(yè)：1周角=2平角=4直角

四年級(jí)下冊(cè)第38頁(yè)：1分米=10厘米=100毫米

六年級(jí)下冊(cè)第40頁(yè)：

（四）等號(hào)表述程序性語(yǔ)言

一年級(jí)下冊(cè)第50頁(yè)，25=20+（ ）在十二冊(cè)教材里這是第一次出現(xiàn)等號(hào)左邊是結(jié)果，等號(hào)右邊是算式的情況。在這里，等號(hào)已經(jīng)作為一個(gè)程序性關(guān)系符號(hào)出現(xiàn)，建立起一個(gè)程序操作使等號(hào)左右兩邊結(jié)果相等。

如：五年級(jí)上冊(cè)第72頁(yè)解方程x+3-3=9-3，借助天平理解兩邊同時(shí)添加一個(gè)或多個(gè)程序使等式成立，并且求出x的值。五年級(jí)下冊(cè)第64頁(yè)分解質(zhì)因數(shù)24=2×2×2×3，通過(guò)一個(gè)短除法的程序得到分解質(zhì)因數(shù)的展開(kāi)過(guò)程。

（五）等號(hào)表示建立方程

五年級(jí)上冊(cè)第68頁(yè)用等號(hào)建立一個(gè)方程100+x=250，使左右兩邊保持平衡，經(jīng)歷將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象成等式與方程的過(guò)程，積累將等量關(guān)系符號(hào)化的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

（六）等號(hào)表述一種方法

（1）x+x=x=6，x+y=5，可以求出x和y的值

（2）如：S=ab，C=4a，V=abh，如：總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量

五年級(jí)下冊(cè)第31頁(yè)：長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高

六年級(jí)上冊(cè)第68頁(yè)：圓周長(zhǎng)公式C=πd，C=2πr

六年級(jí)下冊(cè)第56頁(yè)：圖上距離：實(shí)際距離=比例尺

六年級(jí)上冊(cè)第89頁(yè)：發(fā)芽率、出勤率

（七）等號(hào)是一個(gè)命令

四年級(jí)上冊(cè)第26頁(yè)，用計(jì)算器計(jì)算，等號(hào)作為一個(gè)按鍵，在這里賦予命令計(jì)算的指令。

三、應(yīng)用等號(hào)教學(xué)的再思考

（一）等號(hào)在教學(xué)中應(yīng)用的現(xiàn)狀分析

十二冊(cè)教材中關(guān)于等號(hào)內(nèi)容的編排是有一定梯度的，但教材不會(huì)說(shuō)話，等號(hào)在教學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用、等號(hào)的語(yǔ)言表達(dá)功能常被忽視，導(dǎo)致等號(hào)的關(guān)系特征不明顯。主要原因有：

1.過(guò)于追求“熟能生巧”

一、二年級(jí)起，為了加快學(xué)生的口算速度，老師們往往會(huì)想盡辦法讓每一個(gè)孩子運(yùn)用巧算、速算提高計(jì)算能力，如開(kāi)小火車、搶答、口算過(guò)關(guān)等。這種孰能生巧的訓(xùn)練方式對(duì)提高計(jì)算能力的確有好處，但同時(shí)，學(xué)生就會(huì)習(xí)慣于認(rèn)為等號(hào)只是用來(lái)連接算式和答案的符號(hào)，認(rèn)為等號(hào)是用來(lái)執(zhí)行一種計(jì)算的，最后只表示一個(gè)計(jì)算結(jié)果。

2.沒(méi)有凸顯“關(guān)系轉(zhuǎn)化”

根據(jù)兒童的年齡特征，他們很難自主地將數(shù)字命題類推轉(zhuǎn)化到等值關(guān)系的符號(hào)上，即運(yùn)用符號(hào)到具體的問(wèn)題情境上。以2+3=5為例，學(xué)生往往習(xí)慣性地想到2+3的計(jì)算結(jié)果是5，所以等號(hào)的右邊寫(xiě)5作為計(jì)算結(jié)果。這樣的思維定式對(duì)于今后學(xué)習(xí)方程、不等式、滲透量與量之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化都是有潛在問(wèn)題的。

3.漠視等號(hào)“語(yǔ)義功能”

作為關(guān)系符號(hào)的等號(hào)，它的語(yǔ)義功能可以表述為一種相等的數(shù)量關(guān)系，可以是一種程序關(guān)系、一種算法和規(guī)律、一種方法，可以在邏輯上表明一種等價(jià)關(guān)系，它還可以是一種命令……但我們常常在教學(xué)中忽視它的這些功能，將功能單一化、簡(jiǎn)單化。

（二）促進(jìn)等號(hào)語(yǔ)言功能的教學(xué)策略

如何培養(yǎng)小學(xué)生的符號(hào)意識(shí)？如何凸顯等號(hào)的符號(hào)意義？筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，提出了以下幾點(diǎn)粗淺的想法。

1.把握時(shí)機(jī)，重視等號(hào)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵時(shí)期

曹培英老師說(shuō)過(guò)：“社會(huì)生活以及幼兒園早已先于學(xué)校培養(yǎng)了兒童的符號(hào)意識(shí)，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)者應(yīng)該以此為基礎(chǔ)培養(yǎng)數(shù)學(xué)的符號(hào)意識(shí)，而不是重復(fù)兒童已有的認(rèn)知過(guò)程?！痹谛W(xué)低段，等號(hào)最初作為得出運(yùn)算結(jié)果而出現(xiàn)，主要體現(xiàn)左右兩個(gè)量之間的邏輯相等關(guān)系，表述數(shù)與算式結(jié)果等值。但是，經(jīng)過(guò)一定階段后，學(xué)生對(duì)等號(hào)的認(rèn)識(shí)應(yīng)該尋求突破，教學(xué)者應(yīng)積極主動(dòng)地構(gòu)建多樣化、不同結(jié)構(gòu)的等式，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解等號(hào)的含義，把握時(shí)機(jī)滲透等號(hào)表述的含義。

2.合理設(shè)計(jì)，突破單邊運(yùn)算的思維定式

我們?cè)鴮?duì)4-3=1和3=4-（ ）這兩題做過(guò)檢測(cè)和統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)人數(shù)為一年級(jí)6個(gè)班250人，結(jié)果4-3=1的正確率為100%，3=4-（ ）的錯(cuò)誤率高達(dá)65%。

分析原因，在孩子入學(xué)前，家長(zhǎng)會(huì)教他們簡(jiǎn)單的加減法，如2+3=5、10-3=7等，孩子眼中的等號(hào)其實(shí)只是得出結(jié)果前的過(guò)渡符號(hào)，作用與“→”是一樣的。其次，教師在教學(xué)時(shí)總是把重點(diǎn)放在認(rèn)識(shí)新面孔“>”“<”上，認(rèn)為孩子之前已經(jīng)明白了“=”的意義。殊不知，他們遇到算式在前、數(shù)字在后的題目時(shí)（如2+5=7），把等號(hào)當(dāng)作“→”，而遇到數(shù)字在前、算式在后的題目時(shí)（如3=4-□），自然而然會(huì)把等號(hào)當(dāng)作“←”。

于是，我們嘗試巧用像天平這樣的媒介工具，使等號(hào)認(rèn)知形象化，讓學(xué)生明白4-3=1與3=4-（ ）的運(yùn)算意義不同，前者表述為一個(gè)數(shù)尋找等值的運(yùn)算；后者表述一個(gè)運(yùn)算程序能使等號(hào)兩邊平衡，從算術(shù)的角度可理解為數(shù)的分解，這有助于學(xué)生對(duì)等號(hào)含義的深入理解。

后測(cè)結(jié)果顯示，3=4-（ ）錯(cuò)誤率僅剩約10%。

3.師生助力，增強(qiáng)等號(hào)應(yīng)用的語(yǔ)言功能

數(shù)學(xué)家羅素說(shuō)：“什么是數(shù)學(xué)？數(shù)學(xué)就是符號(hào)加邏輯?！逼鋵?shí)，等號(hào)所表達(dá)的語(yǔ)言功能就是一種邏輯思維。那么，在教學(xué)中如何放大和增強(qiáng)等號(hào)的語(yǔ)言功能呢？

（1）教師的助推是引領(lǐng)

在等號(hào)應(yīng)用的教學(xué)前，教師首先要吃透教材的編排特點(diǎn)，理解教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn)，其次是用良好的設(shè)計(jì)作為前提再去課堂中有效地引領(lǐng)，發(fā)揮等號(hào)的語(yǔ)義功能。在不同的教學(xué)內(nèi)容中，要用合理的教學(xué)程序體現(xiàn)等號(hào)的不同作用，形成個(gè)性化的概念命題圖式，拓展它的語(yǔ)義替換功能。

（2）學(xué)生的助推是強(qiáng)化

在等號(hào)的語(yǔ)言功能里，讓學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)表述等號(hào)不同的語(yǔ)義作用，強(qiáng)化等號(hào)在不同教學(xué)內(nèi)容中的應(yīng)用意識(shí)。如：4-3=1，可以學(xué)著描述左邊的4個(gè)去掉3個(gè)剩下1個(gè)和右邊的1個(gè)是相等關(guān)系；倒過(guò)來(lái)說(shuō)，還可以表述成右邊有1個(gè)，和左邊的4個(gè)去掉3個(gè)剩下1個(gè)是相等的。學(xué)會(huì)多元化的表述、邏輯助推表達(dá)、表達(dá)體現(xiàn)邏輯，在思維過(guò)程中建立起更加準(zhǔn)確的數(shù)量關(guān)系。

原來(lái)，簡(jiǎn)單的等號(hào)蘊(yùn)藏著那么不簡(jiǎn)單的語(yǔ)義功能。對(duì)于貫穿數(shù)學(xué)所有教材的等號(hào)，它的不同含義、感知等號(hào)的語(yǔ)言功能，對(duì)于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考、提高學(xué)生的邏輯思維能力是有積極助推力的。

關(guān)于等號(hào)與它的語(yǔ)意功能，我們還將繼續(xù)研究，并且逐步完善，使由等號(hào)建立的數(shù)學(xué)模型得到拓展和細(xì)化。

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編輯 溫雪蓮