浮置板軌道動力響應分析的廣義波數(shù)法

劉維寧，馬龍祥，姜博龍，王文斌

(1.北京交通大學 土木建筑工程學院，北京　100044；2.西南交通大學 土木工程學院，四川 成都　610031；3.西南交通大學 交通隧道工程教育部重點實驗室，四川 成都　610031；4.中國鐵道科學研究院 城市軌道交通中心，北京　100081)

近年來，浮置板軌道由于良好的減振性能，在軌道交通領域得到了廣泛的應用。對其動力特性及減振性能的研究也成了眾多業(yè)內(nèi)研究人士關注的熱點[1-8]。

目前，對該軌道的主要研究方法有解析法、有限元法和模態(tài)數(shù)值法。較為典型的研究有：翟婉明院士[9]將軌道板作為支承于連續(xù)分布的線性彈簧和線性阻尼上的有限長自由梁，將鋼軌作為離散彈性點支承的歐拉梁，運用模態(tài)疊加技術，在時域內(nèi)建立了車輛與板式軌道耦合的動力學數(shù)值模型，分析了軌道系統(tǒng)在不平順激勵下的動力特性；XIANG Jun等學者[10]根據(jù)彈性系統(tǒng)動力學總勢能不變原理及形成系統(tǒng)矩陣的“對號入座”法則，建立了列車—浮置板軌道系統(tǒng)的豎向振動有限元模型，分析了不平順激勵下列車引起浮置板軌道的動力響應；吳川等學者[11]針對短型浮置板軌道，運用傅氏變換的方法，建立相應解析模型對其隔振性能進行分析；李增光等[12]將浮置板考慮為有限長梁，將扣件和隔振器視為離散的彈簧阻尼元件，提出浮置板軌道的動柔度計算方法，并分析了其隔振性能。

然而，現(xiàn)有絕大多數(shù)關于浮置板軌道動態(tài)特性的力學模型均需要將鋼軌與多塊分段的軌道板進行耦合計算，致使模型計算的時耗成本巨大。為提高模型計算效率，文獻[13]提出將板式軌道作為一種周期性的無限長結構，運用移動諧振荷載作用下周期結構響應的性質，將無限軌道響應問題的求解映射在1塊浮置板所對應的軌道結構之內(nèi)進行，給出了求解浮置板軌道在移動諧振荷載作用下其動力響應的解析解法。在此基礎上，文獻[14]進一步引入鋼軌數(shù)學模態(tài)，提出了求解移動荷載作用下浮置板軌道動力響應的頻域快速數(shù)值算法。該算法同樣只需在1塊浮置板所對應的軌道結構范圍內(nèi)進行鋼軌和浮置板的耦合計算，即可求得無限長軌道的動力響應。但文獻[13—14]給出的高效算法只適用于移動諧振荷載激勵下的情況，不適用固定諧振荷載激勵下的情況。鑒于此，本文開展固定諧振荷載激勵下浮置板軌道動力響應求解方法的研究。

1　浮置板軌道力學模型

將浮置板軌道視為以軌道板板長為1個周期的周期性無限長軌道結構[13](可稱為無限—周期軌道結構)，建立圖1所示的軌道模型。其中，1塊完整軌道板所對應的軌道范圍稱為特征周期。在模型中，鋼軌被模擬為無限長歐拉梁，按扣件間距被離散支承在一系列有限長的浮置軌道板上，而這個有限長的浮置軌道板被模擬為按隔振器間距離散支承在固定基礎上的歐拉梁，扣件和隔振器被模擬為彈簧阻尼元件。模型忽略浮置軌道板之間的幾何間隙，將坐標原點O取在某相鄰2塊軌道板的交接處。模型中軌道參數(shù)的物理量約定如下：鋼軌的抗彎模量為ErIr，線密度為mr；扣件剛度為kr，阻尼為cr，間距為dr；浮置軌道板長為L，抗彎模量為EsIs，線密度為ms；隔振器剛度為ks，阻尼為cs，間距為ds；鋼軌和浮置板的位移響應分別為ur和us，且均以豎直向下為正方向。

圖1　無限—周期浮置板軌道

2　浮置板軌道動力響應分析的廣義波數(shù)法

由于固定荷載可視為移動速度為0的特殊移動荷載，因此先從研究速度為v(≠0)的簡諧移動荷載F(t)=eiωlt作用下浮置板軌道的動力響應入手。無限—周期浮置板軌道的頻域位移響應在空間上呈周期性的特點，滿足[12]

(1)

(2)

利用式(1)和式(2)，使用文獻[14]的“頻域快速數(shù)值算法”可求解移動諧振荷載引發(fā)的軌道結構動力響應?！邦l域快速數(shù)值算法”首先是對圖1所示的坐標在x=0到x=L的特征周期范圍內(nèi)浮置板軌道結構的動力響應進行求解，而后再以式(1)和式(2)的周期性關系將該范圍的響應進行拓展，以求得無限長軌道的動力響應。但在該算法的求解過程中，荷載移動速度v會始終出現(xiàn)在分母上，無法直接令v=0使移動荷載退化為固定荷載，致使該算法無法用于求解固定諧振荷載作用下軌道的動力響應。

為了解決這個問題，對“頻域快速數(shù)值算法”進行拓展，引入廣義波數(shù)β=(ω-ωl)/v，并沿用“頻域快速數(shù)值算法”的思路，將特征周期x=0到x=L范圍內(nèi)的軌道結構從無限軌道結構中取出并單獨進行研究，但對相應的動力控制方程和邊界條件方程做廣義波數(shù)替換，即

動力控制方程：

(3)

(4)

邊界條件：

j=0,1,2,3

(5)

j=2,3

(6)

式中：x0為t=0時刻荷載位置；Nr和Ns分別為特征周期范圍內(nèi)鋼軌支點和浮置板支點的個數(shù)；xrj及xsj分別為特征周期范圍內(nèi)第j個鋼軌支點及板下第j個浮置板支點的坐標；δ()為Dirac函數(shù)。

(7)

(8)

將式(8)寫成傅里葉級數(shù)形式，即

(9)

式中： ei(ξn-β)x為鋼軌的數(shù)學模態(tài)[12]；Cn(β，ωl)為對應鋼軌數(shù)學模態(tài)的模態(tài)振型坐標，其是包含廣義波數(shù)及激振頻率的未知函數(shù)。

實際計算中鋼軌數(shù)學模態(tài)可對稱取有限項，即

(10)

式中：2N+1為納入計算的鋼軌數(shù)學模態(tài)數(shù)，將其記為NR。

浮置板位移可用自由歐拉梁的模態(tài)疊加表示為

(11)

式中：Xp(x)為自由歐拉梁的第p階模態(tài)振型函數(shù)，其計算參見文獻[7]；Tp(β，ωl)為相應模態(tài)的振型坐標；NMS為使得其對應的模態(tài)頻率大于分析需要的最高頻率的模態(tài)數(shù)。

[ErIrL(ξn-β)4-(ωl+vβ)2mrL]Cn(β,ωl)+

(12)

p=1～NMS

(13)

A(β,ωl)c(β,ωl)=P(β,ωl)Leiβx0/v

(14)

其中，c(β，ωl)={C-N(β，ωl)，C-N+1(β，ωl)，…，CN(β，ωl)，T1(β，ωl)，…，TNMS(β，ωl)}T

式中：c(β，ωl)為各模態(tài)振型坐標組成的向量；A(β，ωl)為(NR+NMS)×(NR+NMS)階方陣；P(β，ωl)為(NR+NMS)×1階向量， 且其第j行值如下式。

(15)

式(14)中c(β，ωl)是未知的，A(β，ωl)和P(β，ωl)為已知， 由于P(β，ωl)的取值與β及ωl均無關，下文為了方便將其簡寫成P。

解式(14)可得

(16)

e-inβLB(β,ωl)c(β,ωl)=

(17)

B(β，ωl)=

A(β,ωl)-1Peivβtdβ]eiωlt

(18)

上式即為諧振荷載以速度v移動時，軌道結構的時域位移響應解。在上式中令v→0，即可得到固定位置諧振荷載(荷載作用點x0)作用下軌道結構的時域位移響應

A(β,ωl)-1Pdβ]eiωlt

(19)

式(19)表明：在固定諧振荷載作用下，浮置板式軌道結構的時域穩(wěn)態(tài)響應也是簡諧的，且響應幅值為

(20)

Le-iβ(nL-x0)B(β，ωl)A(β，ωl)-1P。

3　計算分析

運用上節(jié)推導的廣義波數(shù)法，研究固定位置諧振荷載作用下浮置板軌道動力響應隨荷載頻率的變化特性，即幅頻特性。浮置板軌道的計算參數(shù)按北京地鐵5號線某區(qū)段鋼彈簧浮置板軌道的參數(shù)取值，具體見表1。其中，鋼軌和浮置板的損耗因子ηr和ηs是反映材料自身阻尼的參數(shù)，在模型計算中僅需用Er(1+i)和Es(1+i)替換Er及Es。計算的分析頻率上限取為1 000 Hz。

表1　浮置板軌道參數(shù)

注：以上軌道參數(shù)均對應于兩股鋼軌

圖2　不同鋼軌數(shù)學模態(tài)階數(shù)下的模

考慮固定諧振荷載F(t)=eiωlt作用于浮置板中部位置對應的鋼軌處，研究圖4所示軌道縱向荷載激勵點A、距激勵點L/4(7.5 m)處B、距激勵點L/2(15 m)處C、距激勵點3L/4(22.5 m)處D以及距激勵點L(1個完整板長30 m)處E的動力響應(各個監(jiān)測點處的鋼軌和浮置板響應一并研究)。其中，C在2塊軌道板交接處，將交接處的2個板端分別記為C-和C+。

圖的模

圖5給出了由本文廣義波數(shù)法計算得到的A—E處鋼軌及浮置板的幅頻響應曲線。圖6給出了鋼軌和浮置板A—E處的幅頻衰減規(guī)律。為了對本文方法進行驗證，在圖5(a)中同時給出了由動柔度方法[12]計算得到的A處幅頻響應曲線。

圖4　浮置板軌道所受激勵及響應拾振點位置

圖5　A—E點的幅頻特性

從圖5(a)中可見：

(1)2種方法計算得到的軌道幅頻響應曲線吻合得較好，從而驗證了本文方法的正確性。

圖6　浮置板軌道幅頻特性沿軌道縱向的變化

由圖5和圖6可以看出固定位置激勵下軌道不同位置動力特性的變化。

(1)在荷載激勵點A處，鋼軌和浮置板的振動幅值只在頻率小于15 Hz的荷載作用下相差不大，然而在離荷載激勵點較遠的其他點(B，D，E，板端C除外)，鋼軌和浮置板在1個更寬頻段，小于200 Hz頻段(接近由鋼軌及扣件所構成的上部體系的固有頻率)內(nèi)的荷載作用下呈現(xiàn)出幾乎相同的振幅。

(2)浮置板軌道存在板端效應：在板端C處，鋼軌與浮置板在振動上具有比B，D，E等其他非激勵點更大的差異，且在某些頻段(如20～300 Hz頻段)荷載激勵下，浮置板在板端C-處的響應甚至會出現(xiàn)大于該點鋼軌響應的情況(見圖5(c))；當振動沿軌道縱向傳播時，一些頻段(如15～27及45～70 Hz頻段)荷載激勵引發(fā)浮置板在板端C-處的響應也會出現(xiàn)大于離激勵點更近點B的情況(見圖6(b))，即浮置板在板端處的響應會出現(xiàn)放大現(xiàn)象。

(3)由于浮置板的不連續(xù)性，振動從激勵所在軌道板對應的軌道范圍傳遞到其他軌道板對應的軌道范圍時，將產(chǎn)生明顯衰減(見圖6)。

(4)頻段0～8 Hz及頻段40～1 000 Hz內(nèi)荷載引發(fā)的振動沿浮置板軌道縱向衰減明顯，而頻段8～40 Hz內(nèi)荷載引發(fā)的振動沿軌道縱向的衰減相對緩慢(見圖6)。

4　結　論

(1)本文提出了固定諧振荷載作用下浮置板軌道動力響應求解的廣義波數(shù)方法。該方法將固定荷載視作速度為0的移動荷載，可將無限軌道動力響應問題的求解映射在1個周期范圍內(nèi)進行，具有較高的計算效率。通過與其他模型計算值的比較，驗證了該方法的正確性和準確性。

(2)浮置板軌道存在明顯的板端效應，即在固定位置激勵引發(fā)的振動沿軌道縱向傳播時，浮置板在板端處的響應往往會出現(xiàn)放大現(xiàn)象，甚至會出現(xiàn)大于該處鋼軌響應的情況。

(3)在不同頻率荷載引發(fā)的振動沿浮置板軌道縱向的衰減上，頻段0～8 Hz及頻段40～1 000 Hz內(nèi)荷載引發(fā)的振動衰減明顯，而頻段8～40 Hz內(nèi)荷載引發(fā)的振動衰減相對緩慢。

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