積分概念的教學(xué)研究

楊策

（吉林建筑大學(xué)　城建學(xué)院，吉林　長(zhǎng)春　130114）

積分概念的教學(xué)研究

楊策

（吉林建筑大學(xué)城建學(xué)院，吉林長(zhǎng)春130114）

積分知識(shí)是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，各類積分彼此之間具有明顯的區(qū)別與聯(lián)系，通過(guò)分析各類積分之間的辯證統(tǒng)一關(guān)系，采用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)手段，達(dá)到積分教學(xué)乃至高等數(shù)學(xué)教學(xué)的目的，即培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維和創(chuàng)新思維的能力.

積分概念；辯證統(tǒng)一關(guān)系；教學(xué)研究

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)各專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)必修課程，積分知識(shí)在高等數(shù)學(xué)中占有非常大的比重，從一元函數(shù)的不定積分、定積分，到二元函數(shù)的二重積分、三重積分，再到對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，以及對(duì)面積的曲面積分、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分，形成了一套完備的積分理論.數(shù)學(xué)作為各門學(xué)科和專業(yè)的工具，我們希望，在大學(xué)高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，不單單培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力，而是教給學(xué)生學(xué)習(xí)的方法，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，這就需要充分認(rèn)識(shí)到高等數(shù)學(xué)中所蘊(yùn)含的邏輯思維和創(chuàng)新思維的開(kāi)發(fā)，在教學(xué)中著重培養(yǎng)學(xué)生思維的形成.積分知識(shí)作為一套完備的知識(shí)體系，蘊(yùn)含著邏輯思維和創(chuàng)新思維的精髓，各種積分之間的辯證統(tǒng)一關(guān)系如果能較好地體現(xiàn)在教學(xué)中，對(duì)學(xué)生的知識(shí)理解和思維形成，都將起到至關(guān)重要的作用.

1　積分教學(xué)的目的

各學(xué)科和專業(yè)中都蘊(yùn)含著積分思想，積分知識(shí)的學(xué)習(xí)和合理運(yùn)用對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)其他課程都是有幫助的，尤其是在積分學(xué)習(xí)過(guò)程中所培養(yǎng)的邏輯思維和創(chuàng)新思維能力，將潛移默化的影響學(xué)生對(duì)任何知識(shí)的理解.積分知識(shí)的教學(xué)應(yīng)該注意理論深度的把握，避免復(fù)雜的理論推導(dǎo)，讓學(xué)生在較好的理解知識(shí)，能夠常規(guī)應(yīng)用的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)良好的邏輯思維和創(chuàng)新思維能力.

2　各類積分之間的辯證統(tǒng)一關(guān)系及其課堂詮釋

2.1積分的實(shí)質(zhì)即各類積分的聯(lián)系及其課堂詮釋

積分的實(shí)質(zhì)是某種特定結(jié)構(gòu)和的極限形式，即黎曼和的極限.黎曼和的思想，是各類積分定義的根本，也是靈活運(yùn)用積分知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的核心所在.

積分思想的產(chǎn)生正是源于解決實(shí)際問(wèn)題中的不均勻問(wèn)題，通過(guò)分割的方式將問(wèn)題分解成若干個(gè)小問(wèn)題，在每個(gè)小問(wèn)題上利用均勻問(wèn)題的求解辦法得到近似值，將若干個(gè)近似值求和，得到原問(wèn)題的近似值，最后通過(guò)求極限的方法得到問(wèn)題的精確值.這種“分割-近似-求和-取極限”的思想就是積分思想的精髓，也是積分又被成為特殊形式的和的由來(lái)，是積分定義講解的重點(diǎn).

各類積分都有形象的幾何意義和較強(qiáng)的物理背景，概念的講解可以依托直觀直觀的圖示和適當(dāng)?shù)慕忉屪鳛橐?，使抽象概念形象具體.

定積分的引例是幾何中的曲頂柱體的體積問(wèn)題和物理中的變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問(wèn)題.

二重積分的引例是幾何中的曲頂柱體的體積問(wèn)題和物理中的面度不均勻分布的平面薄片的質(zhì)量問(wèn)題.

三重積分由于函數(shù)元數(shù)的增加，空間維數(shù)的增多，沒(méi)有形象的幾何意義，它的物理引例是密度不均勻分布的物理的質(zhì)量.

第一類曲線積分即對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的引例是物理中密度不均勻分布的曲線狀物體的質(zhì)量問(wèn)題.

第一類曲面積分即對(duì)面積的曲面積分的引例是物理中密度不均勻分布的曲面薄片的質(zhì)量問(wèn)題.

第二類曲線積分即對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的引例是物理中變力沿有向曲線段做功問(wèn)題.

第二類曲面積分即對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的引例是物理中流體從有向曲面流過(guò)的流量問(wèn)題.

以上幾何和物理問(wèn)題即是各類積分的引例，同時(shí)又是各類積分的幾何意義和物理意義，在引導(dǎo)概念及實(shí)際應(yīng)用上都有非常高的使用價(jià)值.為加深積分思想的產(chǎn)生源于解決不均勻問(wèn)題，及“分割-近似-求和-取極限”的重要方法，可以將以上各類積分的引例制作成卡片，或電子板書(shū)，在講解每一種積分概念時(shí)瀏覽使用，形成對(duì)比學(xué)習(xí)，根據(jù)積分概念的特點(diǎn)采用的這種辦法，達(dá)到教學(xué)目的的同時(shí)，還可以引導(dǎo)學(xué)生舉一反三的對(duì)未學(xué)到的積分進(jìn)行想象和推導(dǎo)，對(duì)邏輯思維和創(chuàng)新思維的形成，起到積極作用.

2.2各類積分的區(qū)別及其課堂詮釋

定積分、二重積分、三重積分把積分概念從積分范圍為數(shù)軸上一個(gè)區(qū)間的情形推廣到積分范圍為平面或空間內(nèi)的一個(gè)閉區(qū)域的情形.曲線積分、曲面積分是將積分概念推廣到積分范圍為一段曲線弧或一片曲面的情形.

各類積分的區(qū)別雖然實(shí)質(zhì)源于各類不同的實(shí)際問(wèn)題，但是數(shù)學(xué)本質(zhì)上的區(qū)別是函數(shù)元數(shù)的不同和積分區(qū)域的不同所導(dǎo)致的不同結(jié)構(gòu)的黎曼和的極限.

各類積分區(qū)別的課堂教學(xué)應(yīng)著重黎曼和極限的各部分結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)確性，以及積分符號(hào)的形象化解釋.

3　教學(xué)手段

3.1多媒體的應(yīng)用

數(shù)學(xué)知識(shí)無(wú)疑是抽象的，適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)手段，可以使抽象的知識(shí)具體化，各類積分概念本身是具有數(shù)學(xué)美，如何將其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)美展現(xiàn)給學(xué)生，是數(shù)學(xué)教師的職責(zé)之一.“分割-近似-求和-取極限”的方法可以說(shuō)是使學(xué)生終身受益的一種方法，通過(guò)多媒體教學(xué)，可以將這四個(gè)步驟淋漓盡致的表現(xiàn)出來(lái)，尤其第四步“取極限”，是無(wú)限分割的結(jié)果，這個(gè)過(guò)程通過(guò)多媒體教學(xué)可以讓學(xué)生認(rèn)可“近似”為何通過(guò)“無(wú)限細(xì)分”可以到達(dá)“精確”的原因.因此，在各類積分概念的講授中，要適當(dāng)采取多媒體教學(xué)與板書(shū)教學(xué)配合的方法，詳盡知識(shí)點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生興趣.

3.2對(duì)比教學(xué)法的應(yīng)用

對(duì)比教學(xué)法是在教學(xué)中，將一些具有某種聯(lián)系和區(qū)別的教學(xué)內(nèi)容放在一起進(jìn)行比較分析，查找相同和不同之處，是學(xué)生明確了一個(gè)內(nèi)容后能夠自然聯(lián)想另一個(gè)內(nèi)容，達(dá)到教學(xué)目的的教學(xué)方法.這種方法可以幫助學(xué)生擺脫對(duì)知識(shí)的陌生感，找到輕松入門的途徑，從而增加學(xué)習(xí)主動(dòng)性，提高學(xué)習(xí)效率.這種教學(xué)方法的應(yīng)用有助于學(xué)生牢固掌握基礎(chǔ)知識(shí)，有利于學(xué)生邏輯思維和創(chuàng)新思維的形成.

各類積分概念正是這樣的既有聯(lián)系又有區(qū)別的知識(shí)點(diǎn)，相同和不同之處明確，非常適于應(yīng)用對(duì)比教學(xué)法講授.對(duì)比教學(xué)法可以使跨度達(dá)到四章的各類積分知識(shí)點(diǎn)，形成統(tǒng)一，是學(xué)生輕松的接受和學(xué)習(xí)這部分知識(shí).

3.3問(wèn)題教學(xué)法的應(yīng)用

各類積分之間的聯(lián)系是明確的，積分概念的教學(xué)組織結(jié)構(gòu)也是雷同的，都是通過(guò)不均勻問(wèn)題作為引例，利用“分割-近似-求和-取極限”的方法進(jìn)行分析解決，得到以一個(gè)特定結(jié)構(gòu)和的極限，根據(jù)函數(shù)元數(shù)及積分區(qū)域的不同，定義一種積分類型.鑒于各類積分概念的教學(xué)組織結(jié)構(gòu)如此相似，問(wèn)題教學(xué)法可以在這部分的教學(xué)中充分發(fā)揮作用.

問(wèn)題教學(xué)法是一種在教師引導(dǎo)下，通過(guò)學(xué)生充分參與，啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)探究知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生具有批判的思想，讓學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新能力得以發(fā)展的教學(xué)方法.問(wèn)題教學(xué)法的實(shí)施要求知識(shí)具有結(jié)構(gòu)性、邏輯性，遞進(jìn)性、發(fā)展性，交互性、融洽性.各類積分概念的知識(shí)，充分符合問(wèn)題教學(xué)法應(yīng)用的條件.這部分知識(shí)適合進(jìn)行系列問(wèn)題的設(shè)計(jì)，教學(xué)內(nèi)容可以分成既有區(qū)別又有聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)，系列問(wèn)題由淺入深，易于學(xué)生接受，學(xué)生在這種設(shè)計(jì)之下，通過(guò)之前的基礎(chǔ)知識(shí)和準(zhǔn)備性知識(shí)進(jìn)行發(fā)展思維，得到認(rèn)知，在輕松的環(huán)境下融洽的共同研討，在老師幫助下澄清模糊認(rèn)識(shí)，糾正錯(cuò)誤判斷，從而獲得正確的知識(shí).

定積分概念的講解，作為問(wèn)題教學(xué)法的基礎(chǔ)和準(zhǔn)備性知識(shí)，需要以教師為主完成，其它類型積分概念的學(xué)習(xí)，就可以在復(fù)習(xí)定積分相關(guān)知識(shí)后，由教師提出新環(huán)境下的引例問(wèn)題，提示學(xué)生問(wèn)題類型—不均勻問(wèn)題，提醒學(xué)生解決不均勻問(wèn)題的方法——“分割-近似-求和-取極限”，以問(wèn)答的形式，推動(dòng)教學(xué)的完成，達(dá)到由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的效果.學(xué)生的主動(dòng)性得到了調(diào)動(dòng)，自己解決問(wèn)題的成就感也可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

數(shù)學(xué)是各門學(xué)科和專業(yè)的工具，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意義是為了服務(wù)于專業(yè)學(xué)習(xí)的計(jì)算，更是希望通過(guò)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)培養(yǎng)邏輯思維和創(chuàng)新思維能力，根據(jù)各類積分的辯證統(tǒng)一關(guān)系，采取問(wèn)題教學(xué)法，隨著各種積分類型的學(xué)習(xí)，對(duì)不均勻問(wèn)題解決辦法的印象的加深，到后來(lái)的幾種積分，很可能達(dá)到不需過(guò)多講解，只需簡(jiǎn)單點(diǎn)題，就可以完成積分概念的學(xué)習(xí)，尤其第二類曲面積分即對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的引例是物理中的流體經(jīng)過(guò)有向曲面的流量問(wèn)題，物理基礎(chǔ)薄弱的同學(xué)對(duì)這個(gè)問(wèn)題的理解可能會(huì)影響到對(duì)第二類曲面積分的學(xué)習(xí)，但是有了前面幾種積分概念的學(xué)習(xí)前提，學(xué)生對(duì)知識(shí)的結(jié)構(gòu)以及學(xué)習(xí)重點(diǎn)，已經(jīng)了然于胸，自己就可以判斷這個(gè)流量問(wèn)題的出現(xiàn)，只是希望自己會(huì)判斷其是不均勻問(wèn)題，可以想到“分割-近似-求和-取極限”的方法，通過(guò)物理知識(shí)計(jì)算得到一個(gè)特殊結(jié)構(gòu)和的極限，定義成了第二類曲面積分，就已經(jīng)完成學(xué)習(xí)目的了，完全不會(huì)因?yàn)槲锢碇R(shí)的匱乏影響對(duì)接下來(lái)數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的興趣.

教師在這部分知識(shí)的講授采取問(wèn)題教學(xué)法是要注意引導(dǎo)學(xué)生自我感悟、師生互動(dòng)和及時(shí)歸納總結(jié)，才能更好的發(fā)揮問(wèn)題教學(xué)法在此部分教學(xué)中的積極作用.

4　教學(xué)總結(jié)

這里提到的教學(xué)總結(jié)，不是每節(jié)課或每個(gè)章節(jié)進(jìn)行的總結(jié)，而是在采取這種對(duì)比學(xué)習(xí)的方式后，在各類積分概念都學(xué)習(xí)完的時(shí)候，進(jìn)行適當(dāng)?shù)目偨Y(jié)，完成各類積分的對(duì)比，加深學(xué)習(xí)印象.

對(duì)比總結(jié)的同時(shí)，可以和學(xué)生一起從不同的角度對(duì)各種積分進(jìn)行分類，角度不同，分類結(jié)果不同，根據(jù)積分范圍分類：定積分、二重積分、三重積分的積分范圍是平面或空間內(nèi)的一個(gè)閉區(qū)域，屬于一大類；曲線積分和曲面積分的積分范圍是曲線或曲面，屬于一大類.根據(jù)積分函數(shù)元數(shù)的不同分類：定積分的積分函數(shù)是一元的；屬于一大類，二重積分、曲線積分的積分函數(shù)是二元的，屬于一大類；三重積分、曲面積分的積分函數(shù)是三元的，屬于一大類.根據(jù)積分函數(shù)元數(shù)的分類，對(duì)學(xué)生理解和記憶格林公式和高斯公式，也是很有幫助的.這樣分類的同時(shí)，也加深了學(xué)生對(duì)各類積分要素的印象即不同積分的函數(shù)及積分范圍.

5　不定積分與各類積分講授順序問(wèn)題

多數(shù)教材都是依據(jù)傳統(tǒng)的教學(xué)順序，先講不定積分再講定積分及其他各類積分，不定積分的實(shí)質(zhì)是一種運(yùn)算，是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，沒(méi)有豐富的幾何意義或物理背景，形象單薄，各種積分法計(jì)算辛苦，易使學(xué)生反感，對(duì)后期其它積分的學(xué)習(xí)起到不利的影響.

進(jìn)入定積分的學(xué)習(xí)后，有“分割-近似-求和-取極限”的方法，有不均勻的實(shí)際問(wèn)題，又有萊布尼茲公式溝通不定積分和定積分，解決定積分計(jì)算問(wèn)題，環(huán)環(huán)相扣，妙趣橫生，可以調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，主動(dòng)去探索知識(shí)的奧秘.但此時(shí)，由于不定積分沒(méi)有給學(xué)生帶來(lái)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，學(xué)生大多對(duì)不定積分的計(jì)算方法已經(jīng)印象不深，影響學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的積極性.

是否可以研討改變以上傳統(tǒng)的教學(xué)順序，將不定積分的講授融合在定積分計(jì)算講解的位置呢？加以足夠的不定積分來(lái)歷的說(shuō)明，在不定積分各種積分法后，馬上進(jìn)行定積分的相應(yīng)題目，通過(guò)顛倒順序和互相交叉融合講解的方法，使學(xué)生對(duì)不定積分的作用有切身的體會(huì)，并且對(duì)定積分以及日后各類積分計(jì)算的學(xué)習(xí)都有積極的作用.

總之，知識(shí)結(jié)構(gòu)的深入挖掘、各種教學(xué)手段的合理配合、教學(xué)順序的有機(jī)調(diào)整和融合，可以使積分概念中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)美充分體現(xiàn)，可以極大地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和創(chuàng)新思維能力.

〔1〕趙志紅，孫洪波.以定積分為主線的積分教學(xué)的嘗試［J］.中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2014（11）.

〔2〕凌海生.定積分概念教學(xué)探討［J］.教育與職業(yè)，2008（21）.

〔3〕徐龍封.定積分教學(xué)中必須重視的幾個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題［J］.安徽工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2004（6）．

〔4〕金晶亮，呂效國(guó)，李敏，王金華，薛蓮.高等數(shù)學(xué)課程中定積分概念的教學(xué)設(shè)計(jì)［J］.高等函授學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011（5）.

〔5〕馮思臣.對(duì)不定積分與定積分教學(xué)順序的新認(rèn)識(shí)［J］.四川工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2003.

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2016-06-17