談兩個(gè)特殊行列式在教學(xué)中的運(yùn)用

孫忠洋

（淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽淮北 235000）

行列式的計(jì)算方法很多，綜合性較強(qiáng)，需要我們多觀察總結(jié)，往往運(yùn)用一些特殊的行列式，在化簡(jiǎn)復(fù)雜的行列式中會(huì)起到化繁為簡(jiǎn)的計(jì)算效果，培養(yǎng)學(xué)生興趣和思維，對(duì)大學(xué)的教學(xué)起到積極的作用。在此主要談了“爪”字形和“么”字形行列在教學(xué)中的運(yùn)用。

1 兩種特殊行列式在教學(xué)中的運(yùn)用

一般情況下，傳統(tǒng)的教學(xué)方式基本上都是運(yùn)用行列式的定義或性質(zhì)，逐步求解行列式，對(duì)于簡(jiǎn)單的行列式可以快速求解，但對(duì)于較為復(fù)雜的行列式往往無法起到快速求解的目的，這就需要熟練掌握一些特殊的行列式的運(yùn)算方法，對(duì)求解復(fù)雜行列式會(huì)起到事半功倍的效果。 在很大程度上，培養(yǎng)了學(xué)生的興趣和學(xué)習(xí)的積極性，有利于培養(yǎng)學(xué)生的解題思維。

1.1 “爪”字形行列式

在高等代數(shù)和線性代數(shù)中，有兩種非常特殊的行列式，首先介紹“爪”字形行列式。

行列式的特點(diǎn)：行列式中的非零元素排列形狀如“爪”字形。

解題方法：將每行（或每列）的元素都乘以一個(gè)倍數(shù)，然后都加到第i行（或第i列），并提取第i行（或第i列） 元素的公因子，再進(jìn)行計(jì)算。下面講解“爪”字形行列式的計(jì)算，如下：

例 1：計(jì)算（n+1） 階行列式：）后都加到第1列，有

解法 1： 將第 i＋1（i=1，2…，n）列乘以

注：許多行列式可經(jīng)適當(dāng)變形化為“爪”字形行列式，此行列式在教學(xué)中具有重要的作用，但需要注意，在方法1的證明中一定要應(yīng)用條件：ai≠0（i=1，2…，n）， 但是在方法 2 的證明中， 不需要使用已知條件：很多行列式可以化成“爪”字形行列式，然后再進(jìn)行簡(jiǎn)化計(jì)算，見下題。

例2：計(jì)算n階行列式：

解法1：在原行列式中添加一行和一列后，從第2行開始直至第n+1行都加上第1行的（-1）倍，有

（1）式為“爪”字形行列式。下面分三種情況討論：

（1）當(dāng)xi≠ai（i=1，2，∧，n）時(shí)，將（1）式中第i+1（i=1，2，∧，n）列乘以）后都加到第1列，有

（2）當(dāng)xi-ai（i=1，2，∧，n）中只有一個(gè)為0時(shí)，在（1） 式中假設(shè)存在一個(gè)i，使得xi-ai=0，對(duì)（1） 式的第i+1行展開，有

Dn=（x1-a1）（x2-a2）∧（xi-1-ai-1）ai（xi+1-ai+1）∧（xn-an）

（3） 當(dāng) xi-ai（i=1，2，∧，n）中有兩個(gè)或兩個(gè)以上xi-ai=0，假設(shè)在（1） 式中x1-a1=x2-a2=0，可知

（1） 式中存在兩行相等，因此，Dn=0。

解法2：在原行列式中添加一行和一列后，從第2行開始直至第n+1行都減去第1行，有

關(guān)于“爪”字形行列式在教學(xué)中的運(yùn)用還有很多，可以處理更加復(fù)雜的行列式，需要我們繼續(xù)研究，“爪”字形行列式在行列式的計(jì)算中能起到化簡(jiǎn)復(fù)雜行列式的作用。

2.2 “么”字形行列式

行列式的特點(diǎn)：行列式中的非零元素排列形狀如“么”字形。

解題方法：按某一行（或某一列）運(yùn)用公式直接展開，可得結(jié)果。 下面講解“么”字形行列式的計(jì)算。

例1： 計(jì)算（n+1） 階行列式：

解： 按第1列展開，有

例2：計(jì)算n階行列式：

解：按第1行展開，有nxn-1+（n-1）xn-2+∧+2x+1

注：許多行列式也可經(jīng)適當(dāng)變形化為“么”字形行列式，例1和例2是“么”字形行列式的基本計(jì)算方法，對(duì)于“么”字形行列式在教學(xué)中的運(yùn)用，可見例3。

例3：計(jì)算n階行列式：

解：從第n-1行開始直至第2行，每行乘（-1）加到下一行，再按第1列展開，有

把“么”字形行列，按第1行展開有

Dn=（-1）n+1[b1a2a3Lan+b1b2a3Lan+L+b1b2Lbn-1an]

例4： 計(jì)算n階行列式：

解： 從第n-1行開始直至第1行，每行（-1）乘加到下一行，再按第1列展開，有

再?gòu)牡?列開始直至第n-1列都加到第1列，再按第1列展開，有

3 教學(xué)總結(jié)

行列式是高等代數(shù)和線性代數(shù)的重要教學(xué)內(nèi)容，是求解線性方程組、逆矩陣和矩陣特征值的基礎(chǔ)。在高等代數(shù)和線性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容以及工程技術(shù)中都有著廣泛的應(yīng)用。在整個(gè)行列式的教學(xué)過程中，要注意總結(jié)教學(xué)中的重難點(diǎn)，總結(jié)特殊的行列式在教學(xué)中的運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用特殊的方法解決復(fù)雜問題的能力。在教學(xué)中，運(yùn)用“爪”字形和“么”字形行列式在化簡(jiǎn)復(fù)雜的行列式中會(huì)起到化繁為簡(jiǎn)的計(jì)算效果。

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