M-矩陣Hadamard積的新估計(jì)

周　平,高美平，李艷艷

(文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,云南 文山 663000)

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M-矩陣Hadamard積的新估計(jì)

周平,高美平，李艷艷

(文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,云南 文山 663000)

摘要：M-矩陣的Hadamard積是一種特殊的矩陣乘積，具有廣泛的重要應(yīng)用背景，概率統(tǒng)計(jì)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、組合論、生物學(xué)和社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域中的許多問題都與它有著密切的聯(lián)系，受到很多專家學(xué)者的關(guān)注和研究。首先介紹相關(guān)定義和性質(zhì)，其次應(yīng)用矩陣特征值包含域定理，結(jié)合非奇異M-矩陣的性質(zhì)及其逆矩陣元素的特點(diǎn)，給出不同情形下2個(gè)M-矩陣的Hadamard積的最小特征值的幾個(gè)新估計(jì)式。并用理論分析和算例表明新估計(jì)式在某些情況下比現(xiàn)有的估計(jì)結(jié)果更精確，給出的估計(jì)式改進(jìn)了一些現(xiàn)有的結(jié)果。

關(guān)鍵詞：M-矩陣；Hadamard積；最小特征值；估計(jì)式

1預(yù)備知識(shí)

設(shè)A=(aij)∈Rn×n,若aij≥0;i,j∈N,則稱A為非負(fù)矩陣,記為A≥0；若aij>0;i、j∈N,則稱A為正矩陣,記為A>0。設(shè)Zn?Rn×n表示非對(duì)角元非正的n×n實(shí)矩陣的集合。由矩陣A=(aij)∈Cn×n的所有特征值λ1,λ2,…,λn組成的集合稱為A的譜,記為σ(A)；用q(A)表示A的最小特征值。ρ(A)=max{|λi|,i∈N}表示A的譜半徑。

若A=(aij)∈Zn可表示為A=sI-P,其中P≥0,s≥ρ(P),則稱A為M-矩陣。特別地,當(dāng)s=ρ(P)時(shí),稱A為奇異M-矩陣；當(dāng)s>ρ(P)時(shí),稱A為非奇異M-矩陣。記所有n×n階非奇異M-矩陣所成之集為Mn。

設(shè)A=(aij)∈Cm×n,B=(bij)∈Cm×n定義A·B=(aijbij)∈Cm×n，即

A·B稱為A和B的Hadamard積,也稱為Schur積。

本文討論q(B·A-1)的下界。R.A.Horn在1991年給出如下估計(jì)式：

(1)

Huang Rong在2008年給出如下估計(jì)式：

(2)

在(1)式中要計(jì)算M-矩陣B的最小特征值，在(2)式中,要計(jì)算A和B的Jacobi迭代矩陣JA和JB的譜半徑，如果矩陣的階數(shù)較大時(shí)這些量都不容易計(jì)算出來。

Li Yaotang等在2010年給出如下估計(jì)式：

(3)

下面將給出q(B·A-1)的幾個(gè)僅與矩陣A和B的元素有關(guān)的新估計(jì)式。

首先，為了敘述方便,先引入以下符號(hào)。

設(shè)A=(aij)∈Rn×n。如果A是可逆矩陣,那么記A-1=(βij),

引理1若A∈Mn,Ak是A的主子矩陣，則q(Ak)≥q(A)；若A不可約且Ak≠A，則q(Ak)>q(A)。

引理2若A=(aij)∈Rn×n是一個(gè)嚴(yán)格行對(duì)角占優(yōu)矩陣，則A-1=(βij)存在，且

引理3[4,7]若A=(aij)∈Mn是一個(gè)嚴(yán)格行對(duì)角占優(yōu)M-矩陣,則A-1=(βij)存在且有

引理4若A=(aij)∈Mn，且A-1=(βij)是雙隨機(jī)矩陣，則

引理5若A=(aij)∈Cn×n,G是N={1,2,…,n)(n≥2)的任意非空真子集,則矩陣的所有特征值包含在如下集合中

2主要結(jié)論

定理1設(shè)A=(aij)∈Rn×n是嚴(yán)格行對(duì)角占優(yōu)M-矩陣,B=(bij)∈Mn,A-1=(βij),則

證明：令C=B·A-1=(cij)，根據(jù)引理1知，任取i∈N，有cii-q(C)>0。記λ=q(B·A-1)。設(shè) G?N且G≠N，G≠φ，應(yīng)用引理5得

(ⅰ)存在某個(gè)i∈G，使得

即

故

(4)

應(yīng)用引理2，則(4)式得

(5)

應(yīng)用引理3，則(5)式得

即

(6)

即

故

即

(7)

應(yīng)用引理2和引理3，則(7)式得

即

根據(jù)上述論證，由(ⅰ)(ⅱ)知

定理2設(shè)A=(aij),B=(bij)∈Mn,A-1=(βij),則

注2根據(jù)注釋1和定理2的證明便知，文中定理1改進(jìn)了已有的結(jié)果。

當(dāng)A=B時(shí)，應(yīng)用定理1可得到下面的推論。

推論1設(shè)A=(aij)∈Rn×m為嚴(yán)格行對(duì)角占優(yōu)M-矩陣,A-1=(βij),則

當(dāng)A-1是雙隨機(jī)矩陣時(shí)，可得到下面的結(jié)果。

定理3設(shè)A=(aij),B=(bij)∈Mn,且A-1=(βij)是雙隨機(jī)矩陣，則

證明：令E=B·A-1=(eij)，根據(jù)引理1知，任取i∈N，有eii-q(E)>0。記λ=q(B·A-1)。設(shè)H?N且H≠N,H≠φ，應(yīng)用引理5得

(Ⅰ)存在某個(gè)i∈H,使得

即

故

(8)

應(yīng)用引理2，則(8)式得

(9)

應(yīng)用引理4，則(9)式得

即

(10)

即

故

即

(11)

應(yīng)用引理2和引理4，則(11)式得

即

綜合上述(Ⅰ)(Ⅱ)得

3數(shù)值例子

顯然A，B∈Mn，且A是嚴(yán)格行對(duì)角占優(yōu)矩陣，應(yīng)用Matlab計(jì)算得q(B·A-1=0.128 5。應(yīng)用(2)式計(jì)算得q(B·A-1)≥0.026 8；應(yīng)用(3)式計(jì)算得q(B·A-1≥0.055 5；應(yīng)用(4)式計(jì)算得q(B·A-1≥0.071 4；應(yīng)用文獻(xiàn)中定理2.1計(jì)算得q(B·A-1)≥0.109 3。而由本文給出的定理1得q(B·A-1)≥0.117 3。

4結(jié)論

對(duì)上述例子的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較可知，文中對(duì)q(B·A-1)的下界的估計(jì)比文獻(xiàn)[2～4,6]的估計(jì)更精確，且只與矩陣的元素有關(guān)，更容易計(jì)算。

參考文獻(xiàn)：

[1]黃廷祝,楊傳勝.特殊矩陣分析及應(yīng)用.北京:科學(xué)出版社,2003：15-27.

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[3]Huang R.Some inequalities for the Hadamard product and the Fan product of matrices.Linear Algebra Appl,2008,428:1551-1559.

[4]Li Y T,Li Y Y,Wang R W,et al.Some new bounds on eigenvalues of the Hadamard product and the Fan product of matrices.Linear Algebra Appl,2010,432:536-545.

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[6]Chen F B.Some new inequalities for the Hadamard product M-matrices.Inequ Appl,2013,581:1-10.

[7]Li Y T,Chen F B,Wang D F.New lower bounds on eigenvalue of the Hadamard product of an matrix and inverse.Linear Algebra Appl,2009,430：1423-1431.

[8]Cvetkovic L. H-matrix theory vs.eigenvalue localization.Numer Algor,2006,42:229-245.

[責(zé)任編輯：鄭秀亮英文編輯：劉彥哲]

New Estimations of Hadamard Product ofM-matrices

ZHOU Ping,GAO Mei-ping，LI Yan-yan

(School of Mathematics,Wenshan University，Wenshan，Yunnan 663000，China)

Abstract:The Hadamard product of M-matrices is a special kind of multiplication on matrices,which has a widely important range of application background.Some problems have a strong association with it in the fields of probability and statistics,economics,combinatorial theory,biology and the social sciences.It has been concerned with research by many experts and scholars.Many definitions and properties are introduced.Then the theorem for localizations of Matrix eigenvalues is used,combining with some properties of nonsingular M-matrices and characteristics of its inverse elements.Hadamard product of two M-matrices is further researched in different situations,and some new estimations of smallest eigenvalue are given.Theoretical analysis and numerical figure showed that these inequalities are more exact than some of the current results in some cases.The estimations obtained improve the existing results.

Key words:M-matrix;Hadamard product;smallest eigenvalue;estimation

DOI：10.3969/j.issn.1673-1492.2016.01.001

中圖分類號(hào)：O 151.21

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

作者簡(jiǎn)介：周平(1987-)，女，云南永平人，講師，碩士，主要從事數(shù)值代數(shù)和矩陣?yán)碚摷捌鋺?yīng)用研究。

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金支助項(xiàng)目(11261049)；云南省科技廳應(yīng)用基礎(chǔ)研究項(xiàng)目(2013FD052)；文山學(xué)院重點(diǎn)學(xué)科“數(shù)學(xué)”建設(shè)項(xiàng)目(12WSXK01)

來稿日期：2015-12-16