當(dāng)音樂擁抱數(shù)學(xué)（上）

你可能曾為巴赫鋼琴曲的壯麗而震撼，為肖邦圓舞曲的清新優(yōu)雅而沉醉，為柴可夫斯基樂章的悲壯與深情而感嘆，也會為貝多芬交響樂的激情澎湃而心旌搖曳。

你一定也曾驚嘆過數(shù)學(xué)的縝密邏輯，那些巧妙的定理，簡潔或復(fù)雜的公式，這其中都揭示著某種深刻的規(guī)律。數(shù)學(xué)如此抽象，有時候難免讓人產(chǎn)生迷惑，但卻也激發(fā)了人們一探究竟的樂趣。

那么，充滿激情與幻想的音樂和強調(diào)理性與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)之間，有什么關(guān)系呢？音樂中是否蘊含著數(shù)學(xué)知識，音樂的和諧柔美是否也隱藏著數(shù)學(xué)的奧秘呢？

?畢達哥拉斯素描像。畢達哥拉斯是古希臘著名的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家，他認(rèn)為“萬物皆數(shù)”“數(shù)是萬物的本質(zhì)”，是“存在由之構(gòu)成的原則”，而整個宇宙是數(shù)及其關(guān)系的和諧體系（繪圖/朱宇彤）

畢達哥拉斯的思考：

五度相生律

“do， re， mi……”隨著這幾個簡單的音節(jié)，我們開始了人生的第一堂音樂課，數(shù)字簡譜以1、2、3、4、5、6、7代表音階中的7個基本音階，讀音為do、re、mi、fa、sol、la、si，休止以0表示。提到數(shù)學(xué)與音樂的關(guān)系，我們所能想到的第一個有關(guān)音樂與數(shù)學(xué)的結(jié)合，也許就是這7個基本音階了。但你可曾想過，這些音階是按照什么規(guī)律排列的呢？

讓我們回到2500年前，追隨大名鼎鼎的古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯的腳步，看看他是怎么解答的吧。

據(jù)說，畢達哥拉斯曾在散步時路過一家鐵匠鋪，鐵匠鋪里傳出的叮叮當(dāng)當(dāng)?shù)那脫袈曃怂淖⒁?，他走進去，發(fā)現(xiàn)這些美妙的聲音原來是源于鐵錘和鐵砧的大小不一，故而發(fā)出的聲音也不同，這同時也激發(fā)了他的思考。那么，這些音樂的和諧與什么有關(guān)呢？眾所周知，畢達哥拉斯開創(chuàng)了自己的數(shù)學(xué)學(xué)派，該學(xué)派信奉數(shù)是萬物的起源，因此宇宙和諧的基礎(chǔ)應(yīng)當(dāng)是完美的數(shù)的比例，而音樂之所以給人以美的感受，很大程度上是因它有著一種和諧。在這種意識的啟發(fā)下，畢達哥拉斯用不同的樂器做了許多的實驗，進而發(fā)現(xiàn)聲音與發(fā)聲體體積有著一定的比例關(guān)系。而后，他又在琴弦上做了試驗，發(fā)現(xiàn)只要按比例劃分一根振動著的弦，就可以產(chǎn)生悅耳的音程，而它們彼此間是存在著比例關(guān)系的。

那么，這個比例是什么呢，能不能通過數(shù)學(xué)的方法計算出來？畢達哥拉斯又進一步進行了實驗。經(jīng)過更多的實驗和推算，畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)，當(dāng)弦長比分別為2∶1、3∶2、4∶3時，發(fā)出的音律最為和諧。這就是我們后來所使用的“五度相生律”。

那么，為何弦長符合這些比例時，我們會覺得音樂和諧悅耳呢？

眾所周知，聲音是由振動產(chǎn)生的，但音的頻率是按照等差數(shù)列排列的，同一根弦，其有效弦長與發(fā)音頻率成反比關(guān)系。因此，當(dāng)撥動一根弦時，其各等分點為界的弦也在各自振動，因而會產(chǎn)生一系列的音，我們將這些音稱作第一泛音、第二泛音、第三泛音……而這些音之間，某些分界點產(chǎn)生的音連接起來會顯得特別優(yōu)美，我們可以說這些是泛音列中占優(yōu)勢的音程關(guān)系。而按照畢達哥拉斯的發(fā)現(xiàn)，這些純音程的頻率之比都是最簡單的自然整數(shù)比。

?畢達哥拉斯當(dāng)年做測試時用的很可能就是豎琴。豎琴是一種大型撥弦樂器，可以認(rèn)為它是一切古典式弦琴的起源。它所發(fā)出的音色空靈純凈，清澈動聽，作為和聲伴奏極具感染力，而獨奏時又能演繹柔和優(yōu)美的抒情片段 （繪圖/朱宇彤）

美的東西，總是簡單而和諧。依據(jù)五度相生律產(chǎn)生的基礎(chǔ)音階構(gòu)成的旋律，按照任意的方式組合，都有各自的美感，而將全部半音階推算出來后，旋律的緊張度和動力性會得到增強，更能產(chǎn)生旋律之間動態(tài)的美感和張力。所以自然界需要和諧，音樂也需要和諧。

中國先賢的探索：

三分損益律

德國著名數(shù)學(xué)家萊布尼茨曾說過：“音樂是一種無意識的數(shù)學(xué)演算……就它的基礎(chǔ)來說，是數(shù)學(xué)的，就它的出現(xiàn)來說，是直覺的，音樂是心靈的算術(shù)練習(xí)，心靈在聽音樂時計算著自己而不知?！笨梢?，音樂和數(shù)學(xué)是有著內(nèi)在聯(lián)系的。不僅外國的先哲有如此發(fā)現(xiàn)，我國古代著名的思想家管仲（管子）也曾認(rèn)識到數(shù)學(xué)與音樂的關(guān)系。管仲不僅是政治家、軍事家和思想家，還有著很高的音樂修養(yǎng)，被后人稱為我國“音律學(xué)之祖”。

《管子·地員篇》里曾記載到：“凡將起五音，凡首，先主一而三之，四開以合九九，以是生黃鐘小素之首，以成宮。三分而益之以一，為百有八，為徵。不無有三分而去其乘，適足以生商。有三分而復(fù)干其所，以是生羽。有三分去其乘，適足以是成角?！边@篇文章中記載的宮、商、角、徵、羽就是我國古代的五音階。

那么，管仲又是如何確定宮、商、角、徵、羽這五音階的呢？他首先將一個弦的長度定為基音，而后將它三等分，增加一份（益一）或去掉一份（損一），就可以定出另一個音律的長度，以此類推，直到獲得比基音高出一倍或低一半的音，最后就可以得到五音階。這種樂理又被后人稱為“三分損益律”。三分損益律是我國古代音樂的重要成就，為我國古代的音樂發(fā)展史做出了很大的貢獻。

用這種方法產(chǎn)生的律，被稱為“純律”。純律各音之間有最小的整數(shù)比關(guān)系，因此人們覺得純律的音色聽起來最為純凈。如今，純律主要在無伴奏的合唱中使用，人們一般認(rèn)為中國的古琴應(yīng)用了純律。從中我們也可以看出，只有當(dāng)兩音的音程關(guān)系符合泛音列中占優(yōu)勢的音程關(guān)系時，才會使人感到音樂的美妙。音樂能夠反映出作為宇宙本質(zhì)的數(shù)理關(guān)系，能夠體現(xiàn)作為宇宙根本規(guī)律的和諧。

五度相生律和三分損益律在生律法原則上是一致的，它們生律的結(jié)果也是相同的，由此可見，無論是東方還是西方，先哲們都從悠揚的樂聲中認(rèn)識到了數(shù)學(xué)的存在，他們發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)規(guī)律，也間接地促進了音樂的發(fā)展。

“樂器之王”鋼琴是一種鍵盤樂器，發(fā)源于歐洲，至今已有三百多年的歷史。鋼琴曲大多運用和弦，彈奏出來的曲子悅耳且不單調(diào)（繪圖/王江山）

完美樂音的秘密：

和弦

我們都曾聽過電子音，也曾聽過鋼琴曲，為何前者顯得單調(diào)，而后者卻顯得那么悅耳呢？

這就是和弦理論產(chǎn)生的差異。在音樂中，如果有兩個以上的音同時發(fā)聲就會達到和聲效果，三個或三個以上的音按三度疊置就構(gòu)成了和弦。和弦會使音樂更具生動性和感染力，比單一的音符要好聽得多，鋼琴曲大多運用和弦，這也就是鋼琴曲比電子音更悅耳的秘密。

那么，為何和弦會有這種神奇的效果呢？

三個音按三度音程疊置成為各種和弦，其中三和弦是最常用的和聲素材。在這我們還要了解一下音程。其含義是表示音調(diào)間不同的距離，如果音調(diào)按不同音程關(guān)系由低至高順序排列，就構(gòu)成不同“調(diào)式”的音階。比如任意取一個音為調(diào)式主音，記為第一音，那么它的高八度音也是調(diào)式主音。音調(diào)每相差八度，可以在其間按等比等分成十二份，即十二個半音，每兩個半音可以構(gòu)成一個全音，一個全音加上一個半音被稱為小三度，而兩個全音則構(gòu)成大三度，以此類推。許多曲目中都應(yīng)用大三和弦，就是在一個大三度上疊置一個小三度，而小三和弦就是小三度再疊置一個大三度。

讓我們來看看標(biāo)準(zhǔn)音的音頻頻率圖：

C1：264Hz d1：297Hz

e1：330Hz f1：352Hz

g1：396Hz a1：440Hz

b1：495Hz C2：528Hz

然后，我們也可以計算一下音程的頻率比：

純一度即c1：c1=264：264=1：1

純八度即c1：c2=264：528=1：2

純五度即c1：g1=264：396=2：3

純四度即c1：f1=264：352=3：4

大三度即c1：e1=264：330=4：5

小三度即a1：c2=440：528=5：6

大六度即c1：a1=264：440=3：5

小六度即e1：c2=330：528=5：6

大二度即c1：d1=264：297=8：9

從上面的列表中我們可以看出：音程關(guān)系越和諧，頻率比的數(shù)字就越小，在實際生活中，人們也普遍認(rèn)為大三和弦比小三和弦更加和諧動聽。這是因為大三和弦的三個音的頻率比為4∶5∶6，而小三和弦的三個頻率比是10∶12∶15，顯然前者的比值更接近小整數(shù)比。而當(dāng)兩個音或幾個音的頻率比更小時， 它們的諧波就有更多重合的地方，因此如果它們在一起發(fā)聲，人們就會覺得越和諧。反過來，頻率比越來越大，協(xié)和程度就越來越差，音樂聽起來也不夠優(yōu)美和諧。所以，準(zhǔn)確地使用數(shù)學(xué)原理，可以幫助我們找到音階之間最佳的匹配方式，得到最動聽的琴音。讀者朋友們不妨試一試！

?中國古琴。古琴是中國古老的彈撥樂器之一，有文字可考的歷史就有四千余年，古琴的聲音非常獨特，它的樂聲安靜悠遠(yuǎn)?！办o”可以說是琴音的最大特點，因此其琴音也被稱為“太古之音”“天地之音”（繪圖/朱宇彤）

音樂是數(shù)學(xué)在靈魂中無意識的運算

音樂是人類靈魂的酣暢釋放，是感性思維中最唯美的表達;數(shù)學(xué)是以數(shù)字為基本符號的排列組合，是理性思維最深刻的表現(xiàn)。然而在更抽象的層次，二者之間存在著緊密的聯(lián)系。正如萊布尼茨的名言所說：“音樂是數(shù)學(xué)在靈魂中無意識的運算?！币魳氛缬星榫w的數(shù)學(xué)，而數(shù)學(xué)則像最純粹的音樂，樂音激蕩，而數(shù)字翩躚，音樂與數(shù)學(xué)恰似人類心智開出的兩朵玫瑰。就讓我們沉醉其中，縱情感受它們的魅力吧！