半空間上MHD方程弱解的衰減下界

呂 鍇

(東華大學(xué) 理學(xué)院， 上海 201620)

半空間上MHD方程弱解的衰減下界

呂 鍇

(東華大學(xué) 理學(xué)院， 上海 201620)

研究了磁流體力學(xué)(MHD)方程的弱解在半空間+上的衰減性質(zhì)，通過建立一族產(chǎn)生弱衰減的初值， 得到了MHD方程的衰減下界.

磁流體力學(xué)(MHD)方程； 半空間； 衰減下界

磁流體力學(xué)(MHD)方程的一般形式為

(1)

對于方程(1)的Cauchy問題，文獻(xiàn)[1]構(gòu)造了一類類似于Navier-Stokes方程的Leray-Hopf弱解的整體弱解.在全空間n上方程(1)的Cauchy問題的衰減性質(zhì)的研究上，已有不少研究成果.文獻(xiàn)[2-3]在文獻(xiàn) [4]的基礎(chǔ)上研究了強(qiáng)解的衰減性質(zhì).而對于弱解的衰減性質(zhì)的研究，可以參見文獻(xiàn)[5-7].然而上述針對全空間n問題的結(jié)論，大多使用Fourier變換法，并不適用于半空間+∶={x=(x1，x2， …，xn)∈n；xn>0}問題.對于半空間上的MHD方程，文獻(xiàn)[8]研究了弱解的L2衰減.文獻(xiàn)[9]證明了當(dāng)半空間上的Navier-Stokes方程(N-S)的初值在滿足一定條件的情況下，可以得到N-S弱解的衰減下界的估計(jì).本文在文獻(xiàn)[9]研究成果的基礎(chǔ)上，得到了半空間+上的MHD方程的相關(guān)結(jié)論.

(2)

1 主要結(jié)論

在介紹本文的主要結(jié)論之前，首先給出一些符號的定義.

簡便起見，將Ar簡寫為A.

下面給出方程(2)弱解的定義[10].

定義1.1 若(u，B)滿足以下條件：

-(u(t)， φ(t))+(u(s)， φ(s))

-(B(t)， φ(t))+(B(s)， φ(s))，

(3)

(iii) 能量不等式

(4)

則稱(u，B)為方程(2)在上的弱解.

其中：m≥0， α， γ， δ>0.

假設(shè) 考慮滿足以下條件的初值：

(A2)a′(x′，xn)=(a1(x′)η1(xn)， (a2(x′)η1(xn)， …，an-1(x′)η1(xn))∶=a″(x′)η1(xn)和b′(x′，xn)=(b1(x′)η2(xn)， (b2(x′)η2(xn)， …，bn-1(x′)η2(xn))∶=b″(x′)η2(xn)，其中ηi∈L2(且滿足對幾乎所有的，都有，這里的表示ηi相對于xn的奇延拓，即

定理1.1 若n≥3，a，b∈Lr((滿足假設(shè)(A1)～(A3)，且r和m滿足(i)或(ii)：

則存在T>1及常數(shù)C>0，使得當(dāng)t≥T時(shí)，方程(2)的任意弱解(u，B)都有

(5)

定理1.1為本文主要結(jié)論.

2 Stoke方程及熱方程解的衰減

(6)

其中：q需滿足1

(7)

其中：C=C(n， m， α， γ， δ)>0.

定理2.1[9]若n≥3，a滿足假設(shè)(A1)～(A3)，則當(dāng)t≥1時(shí)，有

(8)

其中：C=C(n， m， α， γ， δ)>0.

定理2.2 若n≥3，b滿足假設(shè)(A1)～(A3)，則當(dāng)t≥1時(shí)，有

(9)

其中：C=C(n， m， α， γ， δ)>0.

證明：因?yàn)閎n≡0，所以有hn(t)≡0和h′(t)=eΔtb′.因此，由Plancherel定理和Fubini定理，有

(10)

對于I1，由引理2.1可知，存在C=C(n-1， m， α， γ， δ)>0，使得當(dāng)t≥1時(shí)，有

(11)

(12)

3 MHD方程解的衰減

本節(jié)研究MHD方程解的衰減性質(zhì)并給出定理1.1的證明.為了估計(jì)非線性項(xiàng)，首先給出以下引理.

(13)

引理3.2 設(shè)1≤r<2 ，a，b∈Lr(對于方程(2)的任意弱解(u， B)，當(dāng)t→∞時(shí)，有

(14)

證明：設(shè)λ=λ(t)為(0， ∞)上的光滑函數(shù)，則

(15)

同理可得

(16)

(17)

(18)

由引理3.1，有

‖Eλ(t)u(t)‖2≤‖e-t Aa‖2+

(19)

‖Eλ(t)u(t)‖2≤

(20)

y(t)-g(t， s)+z(s)≤y(s)

(21)

z′(τ)=-λ(τ)y(τ)≤

-λ(τ)[y(t)-g(t， τ )+z(τ)]

(22)

設(shè)Z(τ)≥0為方程Z′(τ)=λ(τ)Z(τ)的解，將式(22)乘上Z(τ)，并對τ作(s， t)上的積分

(23)

對式(23)作分部積分，因?yàn)閦(t)=0， g(t， t)=0，所以

(24)

取λ(τ)=m τ-1， m>0，則Z(τ)=τm.令s→0，得

(25)

(26)

(27)

下面將分情況進(jìn)行討論.

因此，有

引理3.3 若1≤r<2， a， b∈Lr(假設(shè)v(t)=e-t Aa和h(t)=eΔ tb,則對于方程(2)的任意弱解(u，B)，當(dāng)t→∞時(shí)，有

‖u(t)-v(t)‖2+‖B(t)-h(t)‖2=

(28)

證明：設(shè)P(t)∶=u(t)-v(t)，Q(t)∶=B(t)-h(t)， (u，B)滿足能量不等式(4)，v和h滿足能量不等式

因此有

(29)

在式(3)中取試驗(yàn)函數(shù)φ(τ)=v(τ)和ψ(τ)=h(τ).此外，因?yàn)閐v/dt=-Av，dh/dt=Δh，所以可得

(u(t)， v(t))=

(30)

(B(t)， h(t))=

(31)

將式(30)和(31)代入式(29)，有

(32)

(33)

‖‖ ‖b‖‖u(τ)‖

(34)

(35)

同理，由命題2.1，有

(36)

(37)

設(shè)λ=λ(t)為(0， ∞)上的光滑函數(shù)，類似引理3.2中式(15)的證明，有

(38)

同理可知

(39)

e-(t -τ)AEλ(t)φ)|dτ≤

(40)

同理有

(41)

類似引理3.2中的證明，可得

(42)

取λ(t)=m t-1，其中m>0足夠大，有

(43)

此時(shí)注意到，若1≤r<2， (u， B)滿足

下面將分情況進(jìn)行討論.

綜上所述，引理3.3得證.

定理1.1的證明.

所以，存在T≥1，使得

再由三角不等式以及定理2.1和2.2，有

‖u(t)‖2+‖B(t)‖2≥

‖v(t)‖2-‖u(t)-v(t)‖2+

‖h(t)‖2-‖B(t)-h(t)‖2≥

綜上所述，定理1.1得證.

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Lower Bound of the Energy Decay of the Weak Solution of the MHD Equations in the Half-Space

LüKai

(College of Science， Donghua University， Shanghai 201620， China)

An asymptotic behavior of weak solution of the magneto-hydrodynamic(MHD) equations in the half-space+ is studied. By constructing a class of initial data which cause slow decay， lower bound of the energy decay of the MHD equations is obtained.

magneto-hydrodynamic(MHD) equations； half-space； lower bound of the energy decay

1671-0444(2016)01-0160-07

2014-10-23

呂 鍇(1988—)，男，江西南昌人，碩士研究生，研究方向?yàn)榇帕黧w力學(xué)方程.E-mail：faustxxiv@gmail.com

O 175.14

A