基于隨機區(qū)間損益市場模型的未定權(quán)益無差異定價

尤蘇蓉，魏 康

(東華大學 理學院，上海 201620)

基于隨機區(qū)間損益市場模型的未定權(quán)益無差異定價

尤蘇蓉，魏 康

(東華大學 理學院，上海 201620)

基于加權(quán)期望效用最大化，給出了有隨機區(qū)間損益未定權(quán)益的無差異買入價和賣出價的定義，討論了兩種無差異價格的存在性及其性質(zhì).通過一個算例，利用二分法得到了簡單的二叉樹模型下的無差異價格.

未定權(quán)益； 隨機區(qū)間； 期望效用； 無差異定價

在傳統(tǒng)隨機金融市場模型中，證券收益表現(xiàn)為隨機變量或隨機過程.資產(chǎn)定價，特別是未定權(quán)益定價，主要有兩種方法：一是基于無套利定價方法的風險中性定價；二是基于期望效用優(yōu)化的效用定價.兩種定價方法的主要區(qū)別在于風險中性定價由基礎(chǔ)市場結(jié)構(gòu)決定，與投資者的消費行為無關(guān)，是一種客觀定價方法；而效用定價是基于投資者的消費行為特征，以期望效用最大化為基礎(chǔ)，可以認為是一種主觀定價方法.眾所周知，風險中性定價的結(jié)論可以表述為“未定權(quán)益的無套利價格等于其未來損益在風險中性定價測度下的貼現(xiàn)期望”[1].在效用定價方法中，出現(xiàn)了3種分析方法：一是利用期望效用最大化組合的損益表現(xiàn)，可以構(gòu)造風險中性定價測度，這也是期望效用優(yōu)化與風險中性定價方法之間相互聯(lián)系的表現(xiàn)；二是公平價格概念[2]，其基本思想是與僅投資于基本證券給投資者帶來的期望效用相比，以公平價格對未定權(quán)益進行買賣所產(chǎn)生的邊界期望效用為零；三是無差異定價[3-4]，未定權(quán)益的無差異價格與持有未定權(quán)益的單位數(shù)多少相關(guān)，是一種非線性的定價方法.簡單地說，以無差異價格持有相應數(shù)量的未定權(quán)益并且同時投資于基本證券所產(chǎn)生的最大期望效用與僅投資于基本證券所產(chǎn)生的最大期望效用相等.無差異定價方法被廣泛地用于金融分析，如文獻[5]討論了資產(chǎn)在常相對風險厭惡型效用函數(shù)情形下的無差異價格，文獻[6]討論了任意效用函數(shù)下的未定權(quán)益無差異價格及其保值問題.

傳統(tǒng)的金融市場模型以及不確定金融市場模型[7]，都是以典型的概率空間為基礎(chǔ).兩個市場模型的差別在于概率測度是否唯一，在不確定金融市場模型中概率測度不唯一確定，而是在一個概率測度集合中取值.在這兩種模型中，相同之處在于資產(chǎn)的表現(xiàn)都是用隨機變量或者隨機過程描述.近年來，相應于不同形式的不確定原因，其他一些不確定量表示方法，如模糊數(shù)、模糊隨機變量、區(qū)間數(shù)以及隨機集合被廣泛地用于金融分析：用模糊數(shù)表示資產(chǎn)收益，構(gòu)建模糊收益資產(chǎn)的均值-方差組合選擇模型[8]；基于模糊二叉樹的新型期權(quán)定價[9]；將不確定參數(shù)引入經(jīng)典二叉樹模型，在多期時間框架下對期權(quán)進行定價分析[10].文獻[11]提出了隨機區(qū)間值收益證券構(gòu)成的金融市場模型，在這個新模型下，所有證券的收益由隨機區(qū)間描述.基于可接受市場概念[11]，經(jīng)典單期市場下的定價結(jié)論得到了推廣.新的市場模型產(chǎn)生一些新的結(jié)論，經(jīng)典的風險中性定價測度被推廣為可接受市場價格向量；而未定權(quán)益定價的無套利價格區(qū)間被推廣為可接受價格區(qū)間.

關(guān)于隨機區(qū)間市場模型下的期望效用優(yōu)化問題，依托隨機區(qū)間的期望以及區(qū)間數(shù)的評價規(guī)則[12]，加權(quán)期望效用模型[13]被用于衡量投資者對待隨機區(qū)間收益資產(chǎn)的滿意度.在適當?shù)男в煤瘮?shù)條件下，市場的可接受性保證了最優(yōu)交易策略的存在性，并且利用最優(yōu)投資策略可以產(chǎn)生與經(jīng)典金融分析中類似的現(xiàn)象[13].在隨機區(qū)間收益市場下，未定權(quán)益的公平價格概念在文獻[14]得到了較為詳盡的討論.本文將無差異定價的概念推廣到隨機區(qū)間收益市場中，并討論新的市場模型下無差異價格的表現(xiàn)及其性質(zhì).

1 市場模型與加權(quán)期望效用

i=1， 2， …， N， j=1， 2， …， M}

(1)

現(xiàn)列出一些與本文內(nèi)容有關(guān)的隨機區(qū)間損益市場的定價及效用優(yōu)化概念及已有結(jié)論.

定義2[11]稱元素全為正的M值向量ψ?0，為市場的可接受狀態(tài)價格向量，若成立

記Ψ為所有的可接受狀態(tài)價格向量構(gòu)成的集合.在可接受市場中，一個未定權(quán)益可以表示為元素為區(qū)間數(shù)的M維向量，如式(2)所示.

(2)

(3)

(5)

(6)

(1+r)e+(S-(1+r)π)Tθ

從而(P1)可以表示為如下僅涉及風險證券投資策略的簡化規(guī)劃：

s.t. θ∈RN

區(qū)間數(shù)的運算規(guī)則中一個實數(shù)與一個區(qū)間數(shù)相乘將有比較復雜的情形：設(shè)k為實數(shù)，[a-， a+]為一個區(qū)間數(shù)，則k[a-， a+]=[k+a--k-a+， k+a+-k-a-]，其中k+=max(k， 0)，k-=min(k， 0).在(P1)中，((S-(1+r)π)Tθ)L與((S-(1+r)π)Tθ)U將有復雜的形式.幸運的是，利用效用函數(shù)u的凹性，λ∈[0.5， 1]， (P1)等價于如下易于計算的規(guī)劃[13]：

(7)

其中：目標函數(shù)為

2 未定權(quán)益的無差異定價及其性質(zhì)

如同第1節(jié)的分析，(P2)可以歸結(jié)為

(8)

其中：目標函數(shù)為

U+(θ1， θ2，b，h)=

顯然，規(guī)劃(P2)的最優(yōu)值依賴于b和h，記為V+(b， h).

其次，如果投資者以價格h賣空b(b>0)單位X，并使用所獲得的收入投資于基本證券，那么對應的規(guī)劃變?yōu)?/p>

同樣的方法，(P3)等價于

(9)

其中：目標函數(shù)為

U-(θ1， θ2，b，h)=

記(P3)的最優(yōu)值為V-(b， h).

V+(b， h)是投資者以價格h買入b單位X時獲得的最優(yōu)期望效用，而V-(b，h)是投資者以價格h賣空b單位X時獲得的最優(yōu)期望效用.顯然，對于任意價格水平h，都有

V+(0， h)=V-(0， h)=W0

(10)

在給出隨機區(qū)間損益未定權(quán)益的無差異價格定義之前，首先給出關(guān)于U+(θ1， θ2，b，h)，U-(θ1， θ2，b，h)以及V+(b，h)和V-(b，h)的一些性質(zhì)，這些性質(zhì)將用于推導無差異價格的性質(zhì).

命題2

(1)U+(θ1， θ2，b，h)與U-(θ1， θ2，b，h)都是(θ1，θ2， b)的凹函數(shù).

(2) 給定b>0， V+(b， h)是h的減函數(shù)，而V-(b， h)是h的增函數(shù).

(3) 給定h及實數(shù)0<α<1，對任意b>0，式(11)成立

V+(αb，h)≥αV+(b，h)+(1-α)W0，

V-(αb，h)≥αV-(b，h)+(1-α)W0

(11)

證明：(1) 由于效用函數(shù)u(x)為其變量x的凹函數(shù)，U+(θ1， θ2，b，h)和U-(θ1， θ2，b，h)必定為(θ1， θ2，b)的凹函數(shù).

(2) 對于任意(θ1， θ2)，當b>0給定時，目標函數(shù)U+(θ1，θ2， b， h)為h的減函數(shù)，從而規(guī)劃的最優(yōu)值V+(b， h)也是h的減函數(shù).同樣由于U-(θ1，θ2， b， h)關(guān)于h遞增，V-(b， h)是h的增函數(shù).

(3) 首先證明關(guān)于V+的不等式.由V+(b， h)和W0分別是(P1)和(P2)的最優(yōu)解，對任意ε>0，存在(η1， η2)及(ξ1， ξ2)

定義θ1=αη1+(1-α)ξ1， θ2=αη2+(1-α)ξ2，由U+(θ1， θ2，b，h)關(guān)于(θ1， θ2，b)的凹性，可以得到

V+(α b， h)≥U+(θ1， θ2，αb，h)=

U+(α(η1，η2，b)+

(1-α)(ξ1，ξ2， 0)，h)≥

αU+(η1，η2，b，h)+

(1-α)U+(ξ1，ξ2， 0，h)≥

αV+(b，h)+(1-α)W0-ε

再由ε>0的任意性，V+(αb， h)≥αV+(b， h)+(1-α)W0成立.

同樣的方法可以證明關(guān)于V-的不等式.

下面討論無差異價格概念[3-4]在隨機區(qū)間損益市場下的表現(xiàn).需要說明的是無差異定價是非線性的定價方法，買入/賣出不同單位數(shù)證券所對應的無差異單價是不同的，同樣買入/賣出相同單位數(shù)證券對應的單價也是不同的.首先給出如下無差異買入價和賣出價的定義.

定義3 若h+(b)使得

V+(b， h+(b))=W0

(12)

成立，稱h+(b)是投資者買入b單位未定權(quán)益X時的無差異買入價；而若h-(b)使得等式

V-(b， h-(b))=W0

(13)

成立，則稱h-(b)為投資者賣出b單位未定權(quán)益X時的無差異賣出價.

雖然無差異價格與公平價格的定義都是基于期望效用最大化，但是兩者的定價機制有不同之處.當市場上僅有基本證券時，投資者只能尋求基本證券構(gòu)成的最優(yōu)投資策略.引入未定權(quán)益后，投資者有了一個新的投資對象，她/他可以選擇買入或者賣空一定單位的未定權(quán)益達到最大期望效用.在確定無差異價格的最優(yōu)化問題中，對未定權(quán)益的投資數(shù)量是預先確定的，只是尋求基本證券構(gòu)成的最優(yōu)投資策略；而在確定公平價格的最優(yōu)化問題中，對未定權(quán)益的投資數(shù)量也是一個決策變量，投資者是在尋求基本證券與未定權(quán)益構(gòu)成的最優(yōu)投資策略.

下面幾個命題將討論無差異價格的存在性及其性質(zhì).引入兩個量，它們將用于確定無差異價格的范圍.記

(14)

分別表示未定權(quán)益在t=1時刻所有可能狀態(tài)下的最差和最佳損益表現(xiàn).

證明：根據(jù)最優(yōu)化理論的最大值定理[15]，由效用函數(shù)u的連續(xù)性，規(guī)劃的最優(yōu)值函數(shù)V+(b， h)和V-(b， h)都是b和h的連續(xù)函數(shù).

對于h-(b)，對U-(θ1，θ2， b， h)使用相同的說明方法，

成立，這進一步推出

傳統(tǒng)的等價鞅測度定價是一個線性定價方法，不管是對未定權(quán)益買入還是賣出，也不管交易多少單位，其價格都是一樣的.在隨機區(qū)間損益市場中，由可接受狀態(tài)價格向量產(chǎn)生的定價結(jié)果也是線性的.無差異定價結(jié)果是非線性的，未定權(quán)益的無差異單價將隨著交易單位數(shù)的不同而發(fā)生變化[3].

命題4 若b1>b2，則h+(b1)≤h+(b2)和h-(b1)≥h-(b2)成立.

證明：對b1>b2，存在正數(shù)0<μ<1使得b2=μb1.

由式(11)，對任何h，成立

V+(b2，h)≥μV+(b1，h)+(1-μ)W0

令h=h+(b2)并利用W0=V+(b2，h+(b2))=V+(b1，h+(b1))，可以得到

W0=V+(b2， h+(b2))≥

μV+(b1， h+(b2))+(1-μ)W0

這表明

V+(b1， h+(b2))≤W0=V+(b1， h+(b1))

利用V+(b，h)關(guān)于h的遞減性，則h+(b1)≤h+(b2)成立.

對于h-(b)關(guān)于b的遞增性，再次使用式(11)可以得到對任何h，

V-(b2， h)≥μV-(b1， h)+(1-μ)W0

因此W0=V-(b2，h-(b2))≥μV-(b1，h-(b2))+(1-μ)W0成立，即有

V-(b1， h-(b2))≤W0=V-(b1， h-(b1))

利用V-(b，h)關(guān)于h的遞增性，則h-(b1)≥h-(b2)成立.

命題4表明，在隨機區(qū)間損益市場模型下，無差異定價結(jié)果也表現(xiàn)出非線性的性質(zhì).當投資者購買更多單位未定權(quán)益時，期望支付更少的單價；而當投資者賣出更多單位未定權(quán)益時，期望獲得更多的單價.

下面將討論對給定的未定權(quán)益X，如何計算其無差異價格h+(b)，h-(b).在經(jīng)典隨機金融市場模型下，最優(yōu)期望效用值可以顯式表示.在隨機區(qū)間損益市場模型下，最優(yōu)期望效用值不能顯式表示，因此不能得到無差異價格的顯式表達，但是利用數(shù)值計算方法，可以輕松地計算兩個無差異價格水平.命題3和4給出了無差異價格的范圍及其單調(diào)性，這使得采用最簡單的二分法就可以計算無差異價格.

對于特殊的效用函數(shù)u，可以直接計算兩個無差異價格水平，并得到具體表達式.在期望效用分析中，最常用的效用函數(shù)：對數(shù)效用u(x)=lnx，冪函數(shù)效用u(x)=xα， 0<α<1，指數(shù)效用u(x)=1-e-α x.

對于指數(shù)效用u(x)=1-e-α x，U(θ1， θ2)，U+(θ1， θ2，b，h)與U-(θ1， θ2，b，h)可以分別表示為

U(θ1， θ2)=1-U′(θ1， θ2)

U+(θ1， θ2，b，h)=1-exp(αb(1+r)h)·

U-(θ1， θ2，b，h)=1-exp(-αb(1+r)h)·

從而有

(15)

以上分析表明在指數(shù)效用情形下，未定權(quán)益的無差異價格水平可以有直接的表達式.

3 算 例

考慮一個二叉樹市場模型.兩個交易日為t=0， 1.假設(shè)存在兩個可能狀態(tài)ω1和ω2，發(fā)生概率分別為p=P(ω1)=7/12和P(ω2)=1-p=5/12.僅考慮兩個基本證券情形.第一種基本證券是債券，t=0時刻的價格為π0=1，為簡單起見，設(shè)無風險利率為r=0.第二種基本證券為股票，t=0時刻的價格為π1=2，t=1時刻兩個狀態(tài)下的隨機區(qū)間損益分別為S(ω1)=[3， 4]和S(ω2)=[1， 2].

投資者的效用函數(shù)為u=ln(x)，悲觀度為λ=3/4，初始財富為e=20.首先計算僅投資于基本證券市場所獲得的最大加權(quán)期望效用值，即下列規(guī)劃的最優(yōu)值.

s.t. θ1≥0， θ2≥0

使用Matlab計算可知，規(guī)劃的最優(yōu)值為W0=3.0699.

引入損益表現(xiàn)為X(ω1)=[4， 6]， X(ω2)=[3/2， 2]的未定權(quán)益.規(guī)劃(P2)和(P3)分別可以表示為

兩個規(guī)劃的最優(yōu)值分別為V+(b，h)和V-(b，h).預先給出b值，使用二分法可以計算出不同b值所對應的無差異買入/賣出價格，結(jié)果如表1所示.

表1 X的無差異買入/賣出價格

4 結(jié) 語

本文將經(jīng)典隨機金融市場模型中的無差異定價方法應用于隨機區(qū)間損益市場，對有隨機區(qū)間損益的未定權(quán)益進行了定價分析.基于加權(quán)期望效用模型，建立了隨機區(qū)間損益市場模型下的無差異價格概念.討論了無差異價格的存在性，證明了無差異價格的非線性性質(zhì).不同于隨機區(qū)間損益金融市場模型下的其他定價方法，未定權(quán)益的無差異價格將隨著交易的單位數(shù)發(fā)生變化.雖然在隨機區(qū)間損益市場中，對指數(shù)期望效用可以得到無差異價格的顯式表達，但是大多數(shù)效用函數(shù)情形下只能通過數(shù)值方法計算無差異價格.后續(xù)將研究無差異價格與風險度量之間的關(guān)聯(lián).

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Indifference Prices of Contingent Claims in a Market of Securities with Random Interval Payoffs

YOUSu-rong，WEIKang

(College of Science， Donghua University， Shanghai 201620， China)

Based on weighted expected utility maximization， definitions of indifference bid and ask prices to a contingent claim with interval payoff are proposed. Existence and properties of two prices are discussed. Applying the method of bisection， a simple binomial tree model is given as an example to calculate indifference prices.

contingent claim；random interval；expected utility；indifference pricing

1671-0444(2016)01-0145-07

2014-11-10

中央高校基本科研業(yè)務費專項資金資助項目

尤蘇蓉(1976—)，男，江蘇靖江人，副教授，博士，研究方向為金融數(shù)學.E-mail： sryou@dhu.edu.cn

O 29；F 224

A