改進冪指數(shù)趨近律的航空發(fā)動機模糊滑模控制

田虎森，謝壽生，苗卓廣，2，王　磊，3，任立通

（1.空軍工程大學航空航天工程學院，西安　710038；2.解放軍95961部隊，北京　100195；3.解放軍93704部隊，北京　101100）

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改進冪指數(shù)趨近律的航空發(fā)動機模糊滑模控制

田虎森1，謝壽生1，苗卓廣1，2，王磊1，3，任立通1

（1.空軍工程大學航空航天工程學院，西安710038；2.解放軍95961部隊，北京100195；3.解放軍93704部隊，北京101100）

摘要：針對滑模變結構控制趨近運動不具有魯棒性的問題，提出了一種基于改進冪指數(shù)趨近律的航空發(fā)動機模糊滑?？刂撇呗?。采用一種參數(shù)模糊自調(diào)節(jié)的時變滑模面，“主動迎上”系統(tǒng)狀態(tài)軌跡，而不是被動等待系統(tǒng)狀態(tài)軌跡落在滑模面上，縮短趨近運動時間，提高控制器的魯棒性；并提出了一種改進的冪指數(shù)趨近律，進一步削弱抖振。仿真結果表明，所設計的控制器取得了令人滿意的控制效果，能有效地抑制干擾和參數(shù)不確定性的影響，削弱抖振。

關鍵詞：航空發(fā)動機，魯棒性，滑模變結構控制，趨近律，抖振

0　引言

現(xiàn)代航空發(fā)動機是融合氣動、熱力、機械、電子等眾多子系統(tǒng)的復雜耦合的動力學系統(tǒng)，其控制系統(tǒng)性能的優(yōu)劣將直接影響發(fā)動機及飛機的性能［1-3］。由于航空發(fā)動機工作范圍寬廣，參數(shù)變化范圍大，實際系統(tǒng)中不可避免地存在著大量的干擾與未建模動態(tài)等不確定性，要求其控制系統(tǒng)要有很強魯棒性。見文獻［4-14］。

上述方法都有各自的優(yōu)點，但是它們對到達滑模面之前的趨近運動關心較少，對于大多數(shù)滑?？刂苼碚f，趨近運動是不可忽略的過程。趨近運動的快慢不僅會影響系統(tǒng)響應速度，還會影響到剛進入滑模面時抖振的劇烈程度。由上述可知，縮短趨近運動時間，使系統(tǒng)狀態(tài)盡快到達滑模面相當于提高了控制器的魯棒性。因此，對趨近運動的研究意義不亞于對滑模面和控制律的研究意義。為此，本文基于模糊時變滑模面和改進冪指數(shù)趨近律的航空發(fā)動機滑?？刂茖Ｗ兘Y構控制的趨近運動進行了研究。

1　一類參數(shù)模糊自調(diào)節(jié)的時變滑模面設計

考慮如下的多變量系統(tǒng)數(shù)學模型為

式中x（t）∈Rn，u（t）∈Rm，y（t）∈Rm，f（t）∈Rl分別為被控對象的狀態(tài)向量、控制向量、輸出向量及包含不確定性和外界干擾的等效干擾；A∈Rn×n，B∈Rn×m，C∈Rm×n分別為適當維數(shù)的矩陣。

定義系統(tǒng)誤差e（t）=yr（t）-y（t），式中y（t）為系統(tǒng)的輸出，yr（t）為y（t）的期望值。

定義如下滑模面函數(shù)

式中s（t）=［s1，s2，…，sm］T，H=diag［h1，h2，…，hm］，hi＞0，i=1，…，m，si= hiei+i?；Ｃ嫘甭蔴i不是固定不變的，而是由模糊控制器調(diào)節(jié)輸出［15］。

設模糊控制器的輸入量誤差ei的基本論域為［-xei，xei］，誤差變化率i的基本論域為，輸出量的基本論域為（0.1，xhi］。上述輸入變量和輸出變量的基本論域內(nèi)的量都是精確量，需要將其模糊化。

選擇模糊控制器的輸入量為誤差ei和誤差變化率i，輸入量語言值（亦可稱為模糊狀態(tài)）取為

{PB（正大），PS（正?。?，ZR（零），NS（負?。?，NB（負大）}

模糊控制器的輸出量為滑模面斜率hi，輸出量語言值取為

{VB（非常大），B（大），M（一般），S（?。琕S（非常?。﹠

把模糊輸入變量hi分別進行歸一化處理，得到如下相同的輸入變量模糊子集論域

X={-1，-0.5，0，0.5，1}

輸出變量hi的模糊子集論域選擇如下

Y={0.1，0.5，1.45，50}

則基本論域和模糊子集論域之間關系分別由以下公式確定：

實際上式（3）和式（4）表示了由基本論域到模糊集論域的變換，這種變換也是一種映射，即由基本論域中任意一點映射到模糊集論域中相近的整數(shù)點。

模糊輸入變量和輸出變量都采用三角形隸屬度函數(shù)，隸屬度函數(shù)曲線如圖1~圖3所示。模糊控制規(guī)則如表1所示。

圖1模糊控制器輸入誤差ei隸屬函數(shù)

圖2模糊控制器輸入誤差變化率i隸屬函數(shù)

圖3模糊控制器輸出滑模面斜率hi隸屬函數(shù)

表1滑模面斜率hi模糊控制規(guī)則表

利用表1推理得到滑模面斜率的模糊量后需要進行反模糊化才能用到實際系統(tǒng)中去。反模糊化的方法很多，最常用的有最大隸屬度法、取中位數(shù)法和重心法。相對于前兩種方法，重心法既綜合利用了模糊集信息，計算量又不是很大。因此，本文采用重心法對輸出模糊量進行反模糊化。

2　改進的冪指數(shù)趨近律

系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)趨向切換面，直到到達切換面的運動稱為趨近運動，即趨近運動為s→0的過程。根據(jù)滑模變結構控制原理，滑?？蛇_性條件僅保證由狀態(tài)空間任意位置運動點在有限時間內(nèi)到達切換面的要求，而對于趨近運動的具體軌跡未作任何限制。趨近律方法是滑模變結構控制的一種典型控制策略，這種方法不僅可以對系統(tǒng)在切換面附近或沿切換面的滑模運動段進行分析，而且可以有效地對系統(tǒng)趨近段的動態(tài)過程分析和設計，從而保證系統(tǒng)在整個狀態(tài)空間內(nèi)都具有良好的運動品質(zhì)。采用趨近律的方法可以改善趨近運動的動態(tài)品質(zhì)。趨近律約束了到達滑模面前的運動方式，它除了影響系統(tǒng)響應速度的快慢，還會影響滑模運動的抖振程度。目前，常用的趨近律方法是指數(shù)趨近律［11］，對于連續(xù)系統(tǒng)，指數(shù)趨近律為

其中ε＞0，k＞0。

式（5）的指數(shù)趨近律具有以下特點：

①趨近速度從較大值逐步減小到零，不僅縮短了趨近時間，而且使運動點到達切換面時的速度較小；

②當切換函數(shù)s（t）趨近于零時，趨近速度是ε而不是零，可以保證有限時間到達。

但對于指數(shù)趨近律式（5），要有效抑制高頻顫動，必須取較小的ε，而小的ε又影響了快速性；增大k可以加速趨近速度，但又要求系統(tǒng)有較大控制強度。

為克服指數(shù)趨近律缺點并兼顧其優(yōu)點，本文提出了一種如下形式的改進冪指數(shù)趨近律：

式中ε＞0，k＞0，1＞α≥0，β為正奇數(shù)。

當α=0，β=1時，改進的冪指數(shù)趨近律即為式（5）的一般指數(shù)趨近律。即式（5）的表達式為式（6）的一個特例。

滑動模態(tài)的存在是滑模變結構控制設計的前提。接下來分析式（6）改進冪指數(shù)趨近律是否滿足滑動模態(tài)的存在條件和到達條件。

2.1存在條件分析

滑動模態(tài)的存在條件是滑模變結構控制應用的前提。如果系統(tǒng)的初始點x（0）不在s=0附近，而是在狀態(tài)空間的任意位置，此時要求系統(tǒng)的運動必須趨向于切換面s=0，即必須滿足到達條件，否則系統(tǒng)無法啟動滑模運動?；瑒幽B(tài)存在條件的數(shù)學表達式為

式（7）意味著在切換面領域內(nèi)，運動軌線將于有限時間內(nèi)到達切換面，故式（7）也稱為局部到達條件。

考慮以下表達式：

式（8）中ε＞0，k＞0，1＞α≥0，β為正奇數(shù)，當s→ 0+時，-εαsgns-ksβ＜0，因此，。

通過以上分析可知，本文提出的改進冪指數(shù)趨近律滿足滑動模態(tài)存在條件。

2.2到達條件分析

滑模變結構控制的控制策略多種多樣，對于滑動模態(tài)到達條件的實現(xiàn)形式也不盡相同。一般來講，到達條件的等價形式為

其中切換函數(shù)s（x）應滿足以下條件：①可微；②過原點，即s（0）=0。

由于狀態(tài)變量x可以取任意值，即x可以離切換面任意遠，故到達條件式（10）為全局到達條件。式（10）表示成Lyapunov函數(shù)的形式為

其中V（x）為定義的為Lyapunov函數(shù)，當式（11）成立時，則系統(tǒng)將最終到達并保持在滑模切換面s=0上。

考慮以下表達式：

3　滑?？刂坡汕笕?/h2>

對于含有擾動的不確定性系統(tǒng)而言，不確定性和擾動是無法獲知的，在求解控制律時，只能利用被控系統(tǒng)的標稱系統(tǒng)進行控制器設計。

則系統(tǒng)式（1）的標稱系統(tǒng)為

當系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面時

s=0（14）

對式（2）和式（14）求導得

把式（13）代入式（15），并假設（CB）-1存在，整理得等價控制為

式（16）求取的控制律沒有考慮實際系統(tǒng)中存在的不確定性和外部干擾等因素影響，也沒有考慮系統(tǒng)趨近運動的品質(zhì)。為此，本節(jié)采用u=ueq+△u的控制方案，其中ueq為等價控制，△u為切換控制?！鱱的作用是驅(qū)使系統(tǒng)狀態(tài)或誤差到達滑模面，并抵消系統(tǒng)參數(shù)攝動等不確定性和外部干擾的影響。

聯(lián)立式（6）和式（13），求得控制律為

則由式（16）和式（17）知，

4　穩(wěn)定性分析

設計控制器首先得考慮其穩(wěn)定性，而后分析本節(jié)設計控制器的穩(wěn)定性。

定義Lyapunov函數(shù)

對式（19）求導得

將式（6）代入到式（20）得

已知ε＞0，k＞0，1＞α≥0，β為正奇數(shù)，則

式（22）中的等于號只有在系統(tǒng)狀態(tài)到達滑模面后才成立。

因此

由Lyapunov穩(wěn)定性理論知，本文設計的控制器是穩(wěn)定的。

5　仿真與結果分析

某型航空發(fā)動機在最大及其以上狀態(tài)采用雙變量控制計劃，即用主供油量調(diào)節(jié)低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速nL，噴管喉部面積調(diào)節(jié)渦輪落壓比πL。以H=0 km，Ma=0為設計仿真點，其地面最大狀態(tài)相對增量形式線性數(shù)學模型為：

式中x=［nH，nL，mf，A8］T，u=［f8］T，y=［nL，πT］T；nL，nH，mf，A8，πT分別為發(fā)動機低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速、高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速、主供油量、尾噴管喉部面積和渦輪落壓比。在實際系統(tǒng)中外部干擾等因素是不可避免的，為此設定f（k）值為

f（k）=［-0.2+0.25sin（0.015kπ），0.3+cos（0.03kπ），0，0］T。

設定參數(shù)H的初始值為［10，10］T，其值大小按照第①節(jié)設計的模糊規(guī)則輸出變化，Ξ=diag ［1.2，1.2］，αi=0.5，i=1.2，K=diag［1.5，1.5］，βi=3，i=1.2。假設期望的輸出向量yr=［1，1］T，初始狀態(tài)向量x（0）= ［0，0］T。按照本文設計的控制器對低壓轉(zhuǎn)速nL和渦輪落壓比πT進行階躍響應仿真，仿真結果如圖4和圖5所示。

圖4 H=0 km，Ma=0時低壓轉(zhuǎn)速nL階躍響應曲線

圖5 H=0 km，Ma=0時渦輪落壓比πT階躍響應曲線

由圖4和圖5所知，本文設計的控制器響應快速，具有良好動態(tài)性能，削弱了抖振，無穩(wěn)態(tài)誤差。

在實際系統(tǒng)中，系統(tǒng)的參數(shù)攝動和外部干擾不可避免，尤其像航空發(fā)動機這種工作范圍寬廣的系統(tǒng)，在不同的工作狀態(tài)，系統(tǒng)特性是不同的。為此，采用在地面狀態(tài)（H=0 km，Ma=0）設計的滑?？刂破?，被控對象狀態(tài)換為高空狀態(tài)（H=10 km，Ma=1.0），此時航空發(fā)動機最大狀態(tài)相對增量形式線性數(shù)學模型矩陣為：

為此設定f（k）值為：

f（k）=［-0.2+0.25sin（0.015kπ），0.3+cos（0.03kπ），0，0］T。

同樣，對低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速nL和渦輪落壓比πT進行階躍響應仿真。仿真結果如圖6和圖7所示?？芍m然選取的仿真點偏離控制器設計點比較大，但系統(tǒng)輸出響應還是比較快速，削弱了抖振。由于參數(shù)攝動和外部干擾的存在，使得低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速和渦輪落壓比都出現(xiàn)了不同程度的波動，但仍然滿足發(fā)動機控制設計要求。分析原因是由于系統(tǒng)誤差狀態(tài)一開始還未到達滑模面，對參數(shù)攝動和干擾還不具有完全不變性，這也是本文采取模糊調(diào)節(jié)滑模面和改進冪指數(shù)趨近律縮短趨近運動時間原因所在。但隨著系統(tǒng)誤差狀態(tài)到達滑模面，系統(tǒng)對干擾具有了不變性，最終系統(tǒng)到達指令位置，無穩(wěn)態(tài)誤差。

圖6 H=10 km，Ma=1.0時低壓轉(zhuǎn)速nL階躍響應曲線

圖7 H=10 km，Ma=1.0時渦輪落壓比πT階躍響應曲線

6　結論

本文針對航空發(fā)動機是一個具有不確定性的復雜系統(tǒng)，采用一種其參數(shù)模糊調(diào)節(jié)的時變滑模面，“主動迎上”系統(tǒng)狀態(tài)軌跡，縮短趨近運動時間，提高控制器的魯棒性。并且提出了一種基于改進冪指數(shù)趨近律的削抖控制方法，克服了傳統(tǒng)指數(shù)趨近律的缺點并保留其優(yōu)點，既加快了趨近速度又避免了抖振增加。仿真結果表明了該方法的有效性，削弱了抖振，對參數(shù)攝動和外部干擾具有一定的魯棒性。將其作為航空發(fā)動機非線性控制器是完全可行、有效的。

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Fuzzy Sliding Mode Controller For Aeroengine Based on An Improved Power Exponential Reaching Law

TIAN Hu-sen1，XIE Shou-sheng1，MIAO Zhuo-guang1，2，WANG Lei1，3，Ren Li-tong1
（1. The Aeronautics and Astronautics Engineering Institute，Air Force Engineering University，Xi’an 710038，China；
2 .Unit 95961 of Chinese PLA，Beijing 100195，China；3. Unit 93704 of PLA，Beijing 101100，China）

Abstract：For the reaching process of sliding mode variable structure control without robustness，a method of fuzzy sliding mode controller for aeroengine based on an improved power exponential reaching law is put forward. The sliding mode surface adapted automatically by fuzzy system is proposed，which can shorten the time of reaching process to enhance the robustness by making the sliding mode surface near the system state. And an improved power exponential reaching law is designed，weakens the chattering. Simulation results show that the devised controller has good effect，effectively restrains the influence and weakens the chattering.

Key words：aero-engine，robustness，sliding mode variable structure control，reaching law，chattering

作者簡介：田虎森（1989-），男，陜西漢中人，碩士。研究方向：飛機推進系統(tǒng)控制與監(jiān)控。

收稿日期：2015-01-09

文章編號：1002-0640（2016）02-0108-05

中圖分類號：V233.7

文獻標識碼：A

修回日期：2015-03-16