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    高中數(shù)學中常見數(shù)列求和方法探究

    2016-03-23 18:52:16邢志強
    成才之路 2016年4期
    關鍵詞:高中數(shù)學

    邢志強

    摘 要: 數(shù)列是高中數(shù)學一個重要模塊,所占比例較大。尤其是數(shù)列求和方法多而雜。結合教學實踐,對常見的數(shù)列求和方法如公式法求法、倒序相加法、錯位相減法、裂項求和、分組求和進行探究,以期提高解題成功率。

    關鍵詞:高中數(shù)學;公式法求法;倒序相加法;錯位相減法;裂項求和法;分組求和

    中圖分類號:G633.6 文獻標志碼:B 文章編號:1008-3561(2016)04-0089-01

    數(shù)列這部分內(nèi)容出現(xiàn)在高中數(shù)學人教版必修5第二章,課本重點介紹等差數(shù)列及等比數(shù)列,它們的前n項和分別采取倒序相加和錯位相減法。但是,在平時解題訓練中出現(xiàn)的題目,絕非簡單的等差或等比數(shù)列求和。本文結合教學實踐,對高中數(shù)學中常見數(shù)列求和方法進行探究。

    一、公式法求和

    能夠用公式法求和的,是課本中列舉的等差或等比數(shù)列的前n項和求法。例1:設數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=3an,n∈N* 。(1)求{an}的通項公式及前n項和Sn . (2)已知{bn}是等差數(shù)列, Tn為其前n項和,且b1=a2,b3=a1+a2+a3,求T20. 解析:(1)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,所以an=3n-1,Sn=(3n-1). (2) ∵b1=a2,b3=a1+a2+a3=13,∴b3-b1=10=2d,∴d=5,故數(shù)列{bn}是以3為首項,以5為公差的等差數(shù)列,所以T20=20×3+×5=1010. 解題感悟:利用公式求解數(shù)列的前n項和,需要先對數(shù)列的類型作出判斷,因而對等差或等比數(shù)列的定義要特別清楚。除了定義判斷外,常見的方法還有通項公式法、前n項和公式法、等差(比)中項法等。

    二、倒序相加法

    課本借助高斯算法引進等差數(shù)列的前n項和求法,即倒序相加法。倒序相加法適用題型的數(shù)列特點是距離首末兩項等距離的兩項之和相等。例2:設函數(shù)f(x)= 上兩點為P1(x1,y1)、P2(x2,y2),若=(+),且點P的橫坐標為:(1)求點P的縱坐標。(2)若Sn=f()+f()+…+f()+f(),求Sn. 解析:(略) 解題感悟:此類題目往往在知識交匯處命題,與數(shù)列、函數(shù)、不等式、向量聯(lián)系較緊密,量大面寬,學生要學會知識融會貫通。倒序相加注重一個等式(自變量的和是定值,函數(shù)值的和也是定值),利用題目條件推導此類式子是解題關鍵。

    三、錯位相減法

    課本推導等比數(shù)列的前n項和采用了錯位相減法,推廣以后可以用錯位相減法解決一類數(shù)列求和問題,即一個數(shù)列中的項是由一個等差數(shù)列中的對應項乘以一個等比數(shù)列的對應項構成的新數(shù)列,該數(shù)列的前n項和可采用此法。例3:人教版必修5習題2.5A組第4題(3):求和1+2x+3x2+……+nxn-1 .解析:(略) 解題感悟:很多學生對于錯位相減法在具體操作過程中漏洞百出,不能完整作答。究其原因,主要是對錯位二字沒有正確理解。再者,含參問題一定要分類討論。同時,也發(fā)現(xiàn)部分學生在運算時能力較差。

    四、裂項求和

    裂項求和首先是將數(shù)列的通項拆分成結構相同的兩式之差,然后求前n項和時,利用正負相消的原理將中間若干項抵消掉,剩下有限的幾項再求和。需要注意的是,必須搞清楚消掉了哪些項,保留了哪些項。一般保留的項前后具有對稱的特點,即前面剩下的項數(shù)與后面剩下的項數(shù)相等。例4:(人教版必修5習題2.3B組第4題)數(shù)列

    前n項和 Sn=++++…+.研究一下,能否找到求Sn的一個公式。你能對這個問題作一些推廣嗎?解析:(略) 解題感悟:裂項求和法適用的題型數(shù)列通項往往是分式結構。平時,要多留意幾個常見的裂項公式(篇幅所限,略)。

    五、分組求和

    數(shù)列的通項公式是由明顯差異的幾部分構成時,并且每一部分可以求和,可按分組求和的方式進行求和,此法便于操作。例5:已知an=2n-3×5-n,求數(shù)列{an}的前n項和Sn.解析: (略) 解題感悟:分組求和時,首先應抓住數(shù)列通項的特點,對數(shù)列的通項進行研究,找出每一部分的差異,然后每一組轉化成我們比較熟悉的等差或等比數(shù)列,它們的求和采用前面介紹過的公式法求和。

    六、結束語

    數(shù)列部分的題目常考常新,且與函數(shù)、不等式、向量等聯(lián)系緊密,借助它們命題是一種趨勢,而且難度較大。這就要求學生在掌握好基本功(基礎知識、基本方法、基本技能)的同時,重點提升自己的內(nèi)功(邏輯思維能力),能將數(shù)學知識進行融會貫通。在本章的學習過程中,學生要多思考,多歸納,多總結。

    參考文獻:

    [1]陰夏玲.對某些特殊數(shù)列求和方法的探討[J].山西師范大學學報:自然科學版,2013(S2).

    [2]杜志建.高中數(shù)學教材必修5[M].烏魯木齊:新疆青少年出版社,2015.

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