非線性水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

唐兆祥，張德虎，劉志淼(河海大學能源與電氣學院，南京 211100)

0 引 言

水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)是集水力、機械、電氣為一體的綜合型控制系統(tǒng)，調(diào)節(jié)對象為復雜的非線性非最小相位系統(tǒng)[1]。水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)的安全穩(wěn)定地運行對水力發(fā)電機組的安全經(jīng)濟運行有著直接地影響，水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)品質(zhì)對電網(wǎng)系統(tǒng)的安全運行和供電品質(zhì)也有重要影響。因此，深入研究水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)顯得尤為重要，非線性水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)的動力學過程也已成為水利水電工程的研究熱點之一。

由于線性控制理論無法適應系統(tǒng)運行點的大范圍變化，近幾年來非線性控制理論被引入到水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)的研究中。Luz Alexandra曾指出基于非線性水輪機模型的調(diào)節(jié)系統(tǒng)是研究水力系統(tǒng)與電力系統(tǒng)相互作用的最精確的模型[2]。在非線性水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)的研究成果中，基于微分幾何的反饋線性化方法及基于反饋線性化的非線性魯棒控制方法居于主流地位，取得較好結(jié)果。此外，水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象分析[3]、Hopf分岔分析[4,5]、模糊控制及神經(jīng)網(wǎng)絡等控制理論的研究為水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)的控制器設(shè)計提供了新的方法。本文在對非線性水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)上，運用非線性動力系統(tǒng)線性化的方法對系統(tǒng)進行分析，為非線性調(diào)節(jié)系統(tǒng)的參數(shù)整定及穩(wěn)定運行提供理論依據(jù)。

1 非線性水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)建模

本文采用1992年IEEE提出的單機單管無調(diào)壓室的非線性水輪機模型，如圖1所示[6]。圖中G為導葉開度相對值；qnl為空載相對流量；q′t為水輪機過流流量相對值；h′t為水輪機進口處水頭相對值；f為水頭損失系數(shù)；D為轉(zhuǎn)速偏差阻尼系數(shù)；At為水輪機出力增益系數(shù)。

圖1 非線性水輪機模型Fig.1 Non-linear Model of Hydro-turbine

假設(shè)水為不可壓縮流體，引水管道為剛體，則有壓引水系統(tǒng)發(fā)生水擊時為剛性水擊，有壓引水系統(tǒng)的動力學方程為：

(1)

采用相對值形式表示為：

(2)

設(shè)各變量的相對值與偏差相對值之間有如下關(guān)系：

(5)

式中：nr、Qr、ar分別表示水輪機額定工況下的轉(zhuǎn)速、流量、導葉開度。

本文采用一階發(fā)電機模型，其方程為：

(6)

式中：Ta為水輪機慣性時間常數(shù)；Pm、mg分別為水輪機出力和發(fā)電機阻力矩。

本文的調(diào)速器模型采用目前實際應用中較為廣泛的PID型調(diào)速器，如圖2所示。

圖2 PID調(diào)速器Fig.2 PID Governor

調(diào)速器的時域方程為：

u=kp(1-ω′)+ui+kd(1-ω′)-ud

(7)

式中：u為調(diào)速器的輸出；ω′為轉(zhuǎn)速相對值。

液壓隨動系統(tǒng)的動態(tài)特性方程：

(8)

結(jié)合式(1)～式(8)和非線性水輪機模型圖，可得到非線性水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)模型為：

(9)

2 非線性調(diào)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)的各參數(shù)取自文獻[6]，Qr=71.43 m3/s，QNL=4.3 m3/s，Hr=138.9 m，A=15.2 m2，L=465 m，Ta=5.4，Ty=0.2，f=0.01，D=0.5，本文僅分析當ki、kd固定時，系統(tǒng)穩(wěn)定時kp的取值范圍，此處取ki=0.2、kd=0.2。

可以看出，系統(tǒng)模型是一個C∞系統(tǒng)，則當不動點特征根都具有負實部時，系統(tǒng)不動點是一個雙曲不動點。此時線性化系統(tǒng)不動點與非線性系統(tǒng)不動點具有相同的穩(wěn)定類型。式(9)的偏導數(shù)矩陣為:

(10)

矩陣J的特征多項式為：

λ5+7.35λ4+(12.86-1.85kp)λ3+(7.33-0.637kp)λ2+

(1.21kp+0.456)λ+0.242

下面將根據(jù)Hurwitz 判據(jù)對特征方程(10)式進行穩(wěn)定性判斷，式(10)的Hurwitz 矩陣為：

(11)

根據(jù)Hurwitz 判據(jù)，只要保證矩陣H行列式的各階主子式均大于零，則線性化系統(tǒng)的特征根都具有負實部。各階主子式如下：

H1=7.35>0

(12)

H2=87.19-12.96kp>0

(13)

H3=8.3k2p-216kp+616>0

(14)

H4=10k3p-263k2p+729kp+10.4>0

(15)

H5=2.4k3p-63.7k2p+176kp+2.52>0

(16)

綜合(10)式，可得：

-0.01

(17)

即-0.01

3 非線性系統(tǒng)仿真

從線性控制理論可知，控制器參數(shù)從穩(wěn)定域中心向邊界運動時，系統(tǒng)由強穩(wěn)定狀態(tài)向弱穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變，在邊界處，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。這同樣可以從Lyapunov穩(wěn)定理論得到證明。圖3為最大Lyapunov指數(shù)隨kp的變化曲線。Lyapunov穩(wěn)定理論指出：僅當系統(tǒng)最大Lyapunov指數(shù)為零，其他均為負時，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。圖3中-0.014

圖3 Lyapunov指數(shù)圖Fig.3 Lyapunov exponent of kp

當kp=-0.014時，系統(tǒng)轉(zhuǎn)速變化、壓力管道的流量變化和系統(tǒng)的三維相圖如圖4所示。從圖4可以看出，流量和轉(zhuǎn)速呈等幅周期變化，由于控制器比例環(huán)節(jié)的作用很小，系統(tǒng)流量的振蕩幅值比擾動幅值要小，不足5%。從相空間可以看出，相軌跡將在一段時間后進入一個極限環(huán)。

圖4 10%流量擾動，kp=-0.014時，機組轉(zhuǎn)速、引水管道流量時域圖及相軌跡圖Fig.4 Time waveforms of speed and flow in penstock, phase trajectory response for q=1.1 with kp=-0.014

圖5 10%流量擾動，kp=3.155時，機組轉(zhuǎn)速、引水管道流量時域圖及相軌跡圖Fig.5 Time waveforms of speed and flow in penstock,phase trajectory response for q=1.1 with kp=3.155

當kp=3.155時，系統(tǒng)轉(zhuǎn)速變化、壓力管道的流量變化和系統(tǒng)的三維相圖如圖5所示。從圖5可以看出，流量和轉(zhuǎn)速呈等幅周期變化，由于控制器比例環(huán)節(jié)的作用較強，系統(tǒng)的振蕩幅值比擾動幅值要大，達到15%。對比圖4可以看出，隨著比例作用的增強，各變量的振蕩頻率顯著增加。這是由于較大的比例系數(shù)導致控制器對誤差的響應較敏感。從相空間可以看出，相軌跡將在一段時間后進入一個極限環(huán)，且該極限環(huán)比圖4的極限環(huán)要大。

圖6是kp=1.25時，非線性系統(tǒng)的時域圖和相圖。從相圖可以看出，此時系統(tǒng)不動點是一個強穩(wěn)定型焦點，相軌跡會在短時間內(nèi)進入不動點的一個小鄰域范圍內(nèi)。反映在時域圖上，可以看到流量和轉(zhuǎn)速能夠快速收斂到不動點。

4 結(jié) 語

水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)是一個復雜的非線性系統(tǒng)。本文考慮了水輪機的非線性特性，建立了水輪機調(diào)節(jié)系統(tǒng)的非線性模型。在此基礎(chǔ)上，運用非線性動力系統(tǒng)線性化的方法對系統(tǒng)進行分析，計算得到控制器參數(shù)的穩(wěn)定域，且該方法有較高的精度。從仿真結(jié)果的分析可以看出，當控制器參數(shù)向穩(wěn)定域邊界運動時，系統(tǒng)穩(wěn)定性開始惡化，且系統(tǒng)調(diào)節(jié)過程的振蕩次數(shù)增加，隨后會進入等幅振蕩狀態(tài)，最終將出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象。此外，還可以看到，線性化系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)間存在一定

圖6 10%流量擾動，kp=1.25時，機組轉(zhuǎn)速、引水管道流量時域圖及相軌跡圖Fig.6 Time waveforms of speed and flow in penstock,phase trajectory response for q=1.1 with kp=1.25

的誤差，但線性化系統(tǒng)的穩(wěn)定域一定能使非線性系統(tǒng)穩(wěn)定，且線性化系統(tǒng)的穩(wěn)定域一定包含了使非線性系統(tǒng)強穩(wěn)定的控制器參數(shù)。

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