硅基納米波導(dǎo)中皮秒脈沖整形數(shù)值模擬

何靜++周偉林

摘 要： 為探究硅基納米波導(dǎo)中自由載流子吸收效應(yīng)對皮秒脈沖整形的影響，采用改進的分步傅立葉法和四階龍格庫塔法，分析了脈沖峰值功率、脈沖寬度等參數(shù)對波導(dǎo)中自由載流子吸收系數(shù)和脈沖波形演變的影響，并對不同峰值功率下脈寬為100ps脈沖的波形演變進行了數(shù)值模擬。數(shù)值模擬表明，脈沖寬度不變時，峰值功率越大，波導(dǎo)中載流子吸收系數(shù)變化越快，脈沖波形演變也越明顯； 當脈沖峰值功率為50W時，在短短6mm的傳輸距離中，脈沖經(jīng)歷了快速展寬和壓縮過程，其脈沖寬度最大為，展寬比為44%；最小為，脈沖壓縮比達36.1%。

關(guān)鍵詞： 皮秒脈沖； 硅基納米波導(dǎo)； 自由載流子吸收； 脈沖整形

中圖分類號：TN929.11 文獻標志碼：A 文章編號：1006-8228（2016）03-04-04

Numerical simulation for pico-second pulse shaping in silicon nanometer waveguide

He Jing1， Zhou Weilin1，2

（1. School of Computer and Information Engineering， Hunan Business College， Changsha， Hunan 410205， China；

2. School of Optical and Electronic Information， Huazhong University of Science and Technology）

Abstract： To explore the effect of free carrier absorption （FCA） on pico-second pulse shaping in silicon nanometer waveguide， the combination of improved step-split Fourier and four-order Runge Kutta method is adopted. The influences of peak power and width of pulse upon the FCA and pulse waveform evolution are analyzed， and the pulse waveform evolution of 100Ps pulse with different peak powers is simulated numerically. The numerical simulations show that， when the pulse width unchanged， the more the peak power is， the more quickly the FCA coefficient changes， and the more strongly the pulse evolutes. When the pulse peak power is 50W， in a 6mm short transmission distance， pulse has experienced rapid broadening and compression process. The maximum pulse broadening and compression are found to be 1.44T0p and 0.6392T0p， the corresponding broadening and compression rates are 44% and 36.1% respectively.

Key words： pico-second pulse； silicon nanometer waveguide； FCA； pulse shaping

0 引言

硅基納米波導(dǎo)中的雙光子吸收和自由載流子吸收效應(yīng)均具有非常強的瞬態(tài)特性，同時，由于雙光子吸收和自由載流子吸收的相對時延特性，從而引起了傳輸脈沖光功率和形狀的改變 [1-3]，使得它們在皮秒脈沖整形上具有獨到的應(yīng)用。然而，探求硅基納米波導(dǎo)中的自由載流子密度的定量變化情況異常復(fù)雜，需要對非線性傳輸方程和速率方程進行聯(lián)合求解。本文采用改進的分步傅立葉法和四階龍格庫塔法對硅基納米波導(dǎo)中皮秒脈沖傳輸所滿足的非線性傳輸方程及速率方程進行聯(lián)合數(shù)值求解。數(shù)值模擬了硅基納米波導(dǎo)中皮秒脈沖傳輸?shù)拿}沖整形過程，分析了脈沖功率、脈沖寬度等參數(shù)對脈沖整形的影響。

1 脈沖傳輸模型

一般情況下，當傳輸脈沖的寬度為皮秒量級時，硅基納米波導(dǎo)的長度遠遠小于色散長度，色散效應(yīng)相對較弱，往往可被忽略，脈沖在硅基納米波導(dǎo)中傳輸時可由以下簡化的脈沖傳輸方程來描述[4]。

其中，u為脈沖包絡(luò)幅度，k0=2π/λ真空中的波數(shù)，n2是非線性克爾系數(shù)，σ為自由載流子吸收系數(shù)，αL是線性損耗系數(shù)，μ為自由載流子色散系數(shù)，r=βTPA/（2k0n2）是無量綱量，表示雙光子吸收效應(yīng)和克爾效應(yīng)的相對強度。Nc是波導(dǎo)中的自由載流子密度，滿足如下速率方程[5]：

其中，tc表示自由載流子壽命，αeff為波導(dǎo)的有效橫截面積。

2 數(shù)值模擬及結(jié)果

2.1 改進分步傅立葉法

改進分步傅立葉法也稱為對稱傅立葉法，它假設(shè)在脈沖傳輸?shù)囊粋€很小的距離h中，色散效應(yīng)和非線性效應(yīng)分別作用。光場從z=0到z=h的傳輸過程中分三步進行：第一步，前h/2距離內(nèi)僅色散作用；第二步，整個h距離內(nèi)僅有非線性作用；第三步，后h/2距離內(nèi)又僅有色散作用，其算法示意圖如圖1。

結(jié)合非線性傳輸方程，傳輸光場的時域和頻域可分別表示為：

其中，為微分算子，表示線性介質(zhì)的色散和吸收，包含了方程中所有的線性項；為非線性算子，包含了方程中所有的非線性項，F(xiàn)T表示傅立葉變換，是用iω代替微分算符得到，ω為頻率。因此，若入射光脈沖的初始值u（0，t），通過以上反復(fù)迭代運算后就可以獲得傳輸距離z后脈沖的幅度情況u（z，t）。

2.2 四階龍格庫塔法

龍格-庫塔法是由泰勒方法推導(dǎo)而來，常用來對非線性微分方程通過迭代計算進行求解。這里，我們利用四階龍格庫塔法⑵式的速率方程進行求解，從而得到脈沖傳輸過程中各點的自由載流子密度情況。初始條件為N（0，0）=0，則具體算法思路如下：

按照以上算法不斷迭代下去，可計算出任意位置處任意時刻的載流子密度N（z，t）。

2.3 仿真結(jié)果及分析

我們對脈沖寬度為Top=100ps，六種不同入射功率情況下波導(dǎo)中的自由載流子損耗系數(shù)隨時間分布進行了求解，結(jié)果如圖2。

從圖2可以看出，在脈沖寬度相同情況下，不同入射功率時，自由載流子損耗系數(shù)隨時間的變化趨勢相同。在脈沖前沿前期的大部分時間內(nèi)（-4Top～-0.3Top），載流子吸收損耗系數(shù)隨脈沖光強的增長十分緩慢；在脈沖前沿的后階段（-0.3Top～0），自由載流子吸收損耗系數(shù)隨光強迅速增長，當脈沖幅度達到最大時（t=0時刻），載流子損耗系數(shù)增長至最大值的63.8%；而在脈沖后沿階段，隨著脈沖幅度減小，載流子吸收損耗系數(shù)先繼續(xù)增長，在t=0.701Top時刻，達到最大值，然后緩慢下降。由于自由載流子吸收損耗在脈沖前沿的大部分時間內(nèi)處于較低水平，而在脈沖后沿大部分時間內(nèi)維持較高值，對脈沖前沿的吸收損耗較小而脈沖后沿因吸收較大而得到很大衰減，從而導(dǎo)致整個脈沖壓縮。由于自由載流子吸收損耗主要發(fā)生在脈沖后沿，因而這種脈沖壓縮是非對稱的，整個脈沖中心將會前移。

同時從圖2可以看出，當脈沖寬度一定時，脈沖峰值功率對雙光子吸收及自由載流子吸收損耗具有決定作用，從而影響脈沖在硅基納米波導(dǎo)中的整形效果。脈寬為100Ps、峰值功率為10W～50W高斯脈沖在硅基納米波導(dǎo)中傳輸10mm距離過程中3dB脈沖寬度演變情況如圖3。

從圖3可以看出，五種不同入射功率情況下，只有當入射功率為10W時，3dB寬度隨傳輸距離的增加由1Top緩慢增大，在傳輸距離2.96mm處達到最大值1.23Top，然后緩慢壓縮至1.207Top。其他四種功率入射時，先經(jīng)歷一個不同距離的迅速增長過程，然后進入快速下降過程，即脈沖先經(jīng)歷快速展寬后又進入快速壓縮階段。當入射功率越大，雙光子吸收效應(yīng)越強，脈沖前期展寬也越快，脈沖寬度迅速增至最大值；同時，由于自由載流子密度越大，自由載流子吸收效應(yīng)越強，脈沖寬度衰減也越快。隨著傳輸距離繼續(xù)增加，3dB脈沖寬度則又進入緩慢增長過程，即脈沖再次經(jīng)歷緩慢展寬過程。對于入射功率為50W時（圖3中紅實線），在前0.247mm傳輸距離中，3dB脈沖寬度經(jīng)歷了快速增長過程，在0.247mm處達到最大值1.44Top，脈沖展寬比為44%；然后進入快速下降階段，于5.33mm距離處降至0.6392Top，這時脈沖壓縮比達36.1%。

圖4給出了上述五種不同入射功率脈沖在傳輸距離10mm處的輸出脈沖波形。圖4表明，隨著入射脈沖功率增加，輸出脈沖寬度越小，脈沖壓縮程度越大。由于自由載流子吸收主要發(fā)生在脈沖后沿時間段，因此，自由載流子吸收引起脈沖壓縮同時也使得整個脈沖中心前移，且入射功率越大，前移量就越大。同時，由于脈沖后沿期間的自由載流子吸收強度有限，導(dǎo)致輸出脈沖后沿出現(xiàn)明顯基座。

3 結(jié)論

當同時考慮皮秒脈沖在硅基納米波導(dǎo)中傳輸時的雙光子吸收和自由載流子吸收時，雙光子吸收效應(yīng)會引起脈沖展寬，而自由載流子吸收效應(yīng)則導(dǎo)致脈沖壓縮，脈沖的最終形狀則決定于二者的綜合作用效果。由于該過程除了與硅基納米波導(dǎo)本身的結(jié)構(gòu)有關(guān)外，還與脈沖寬度、峰值功率和傳輸距離等因素相關(guān)。因此，在實際應(yīng)用之前，前期的數(shù)值模擬顯得尤為重要，它為后期的實際應(yīng)用提供了可靠的理論參考。

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