基于MATLAB的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

Optimization design of crank rocker structure under the given output angle constraint

李瑩瑩，游　敏，徐建軍

LI Ying-ying, YOU Min, XU Jian-jun

（三峽大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院，宜昌 443002）

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基于MATLAB的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

Optimization design of crank rocker structure under the given output angle constraint

李瑩瑩，游敏，徐建軍

LI Ying-ying, YOU Min, XU Jian-jun

（三峽大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院，宜昌 443002）

摘 要：在給定搖桿輸出角約束的情況下，以曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)角度與期望角度差值平方的和的最小值（即最小二乘法模式）為設(shè)計(jì)目標(biāo)，建立單目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，通過(guò)MATLAB編程求解，研究了設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)和變量對(duì)象的選取對(duì)滿足搖桿輸出角約束的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)軌跡特性的影響，并確定了最佳的設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)及變量對(duì)象的選取方案。

關(guān)鍵詞：曲柄搖桿機(jī)構(gòu)；優(yōu)化設(shè)計(jì)；設(shè)計(jì)變量

0 引言

平面連桿機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于制造，能實(shí)現(xiàn)多種運(yùn)動(dòng)規(guī)律和運(yùn)動(dòng)軌跡，在工程實(shí)際中應(yīng)用非常廣泛[1]。然而，隨著工業(yè)的不斷發(fā)展，人們對(duì)曲柄連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性、機(jī)構(gòu)尺寸和桿件的受力情況等提出了更高的要求，使得連桿機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)難度也隨之增大。連桿機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)問(wèn)題通?？蓺w為按給定的運(yùn)動(dòng)軌跡設(shè)計(jì)和按給定的運(yùn)動(dòng)規(guī)律設(shè)計(jì)[2]。對(duì)于這兩類(lèi)問(wèn)題的求解，通常采用的是函數(shù)逼近法求解，該方法不僅計(jì)算復(fù)雜，而且變量較少時(shí)，計(jì)算精度也不高。若采用最優(yōu)化方法對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)，可以大大簡(jiǎn)化[3]。

樓云江[4]等在給定搖桿最大擺角的情況下，借助于極位夾角和輔助角，建立了平均傳動(dòng)角最優(yōu)化的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化模型，從而得到全局最大平均傳動(dòng)角，并確定相應(yīng)的各桿桿長(zhǎng)；蘇有良[5]在給定行程速比系數(shù)、擺角、搖桿尺寸的設(shè)計(jì)條件下，建立了I、II型曲柄搖桿機(jī)構(gòu)最小傳動(dòng)角與相對(duì)桿長(zhǎng)的函數(shù)方程及其變化區(qū)間，解決了在此設(shè)計(jì)條件下曲柄搖桿機(jī)構(gòu)不易獲得最小傳動(dòng)角為最大值的最優(yōu)傳動(dòng)性能解的設(shè)計(jì)問(wèn)題；武麗梅[6]等通過(guò)仿真建立了桿長(zhǎng)制造誤差、運(yùn)動(dòng)副間隙與連桿曲線軌跡精度的數(shù)量級(jí)別關(guān)系。蘇全衛(wèi)、王曉侃[7]針對(duì)常用的滑塊傳動(dòng)機(jī)構(gòu)建立了速度和加速度的閉環(huán)矢量方程并借助MATLAB軟件中的Simulink仿真工具對(duì)機(jī)構(gòu)在仿真時(shí)間域內(nèi)各個(gè)構(gòu)件的瞬時(shí)位置、速度和加速度進(jìn)行求解，提高了設(shè)計(jì)工作效率；馬東輝、趙東[8]建立了三維實(shí)體結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般化數(shù)學(xué)模型，并采用MATLAB優(yōu)化工具箱對(duì)模型求解，可以快速得出精確的優(yōu)化結(jié)果。

本文通過(guò)對(duì)已知運(yùn)動(dòng)特性的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的尺寸作優(yōu)化設(shè)計(jì)，在已知運(yùn)動(dòng)特性的基礎(chǔ)上，建立從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)角度與期望角度差值平方的和最小的單目標(biāo)數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，并以經(jīng)典的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)問(wèn)題為算例，討論了設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)及變量對(duì)象的選取對(duì)模型優(yōu)化結(jié)果的影響。

1 問(wèn)題提出

如圖1所示，設(shè)計(jì)一曲柄搖桿機(jī)構(gòu)，當(dāng)曲柄由?0轉(zhuǎn)到?0+90°時(shí)，搖桿的輸出角實(shí)現(xiàn)給定的函數(shù)關(guān)系ψ=ψ(?0)，且在該區(qū)間的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最小傳動(dòng)角不得小于45°，即=45°。其中?0和分別為對(duì)應(yīng)于搖桿在右極限位置時(shí)曲柄和搖桿的位置角；ψ和?是機(jī)架桿l4為原線逆時(shí)針度量的角度，分別為對(duì)應(yīng)的搖桿轉(zhuǎn)過(guò)一定的角度時(shí)搖桿和曲柄的輸出角。

圖1　曲柄搖桿機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖

2 優(yōu)化模型

2.1 設(shè)計(jì)變量

2.2 目標(biāo)函數(shù)

實(shí)際的設(shè)計(jì)中，搖桿的輸出角具有一定的軌跡，它會(huì)無(wú)限的趨近于某種函數(shù)曲線，要做到完全重合，其可能性基本為0，因此，我們僅能使所設(shè)計(jì)出來(lái)的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的搖桿實(shí)際輸出角盡可能的趨近于理論輸出角?；谝陨戏治?，我們?nèi)∏鷵u桿機(jī)構(gòu)的已知運(yùn)動(dòng)規(guī)律與實(shí)際運(yùn)動(dòng)規(guī)律的偏差最小為指標(biāo)來(lái)建立目標(biāo)函數(shù)：

圖2　曲柄搖桿機(jī)構(gòu)搖桿的實(shí)際輸出角

如圖2所示，曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的實(shí)際輸出角的表達(dá)式會(huì)隨機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)而發(fā)生變化，當(dāng)時(shí)，如圖2(a)所示，；當(dāng)時(shí)，如圖2(b)所示，，即：

在本問(wèn)題的研究中，由于初始角度?0的取值范圍無(wú)法確定，因此在編程求解的過(guò)程中要將兩種情況都考慮其中，上述曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的實(shí)際輸出角的表達(dá)式中，∠ADB 和∠BDC滿足的關(guān)系式如下：

BD的長(zhǎng)度用ri表示，根據(jù)余弦定理可以求得：

2.3 約束條件

曲柄搖桿機(jī)構(gòu)受三方面的約束：一個(gè)是四桿機(jī)構(gòu)中存在曲柄的條件，其次是曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的最小傳動(dòng)角約束條件，以及最后一個(gè)必須滿足的邊界條件。

1）四桿機(jī)構(gòu)中存在曲柄的條件

由機(jī)械原理[1]可知，曲柄存在的條件：

對(duì)應(yīng)的約束函數(shù)為：

2）傳動(dòng)角約束條件

當(dāng)機(jī)構(gòu)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，其傳動(dòng)角的大小是變化的，為了保證機(jī)構(gòu)傳動(dòng)良好，設(shè)計(jì)時(shí)通常應(yīng)使≥40°[1]，該算例中要求機(jī)構(gòu)在該區(qū)間運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最小傳動(dòng)角不得小于45°，即=45°。根據(jù)曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)特性可知，當(dāng)曲柄和機(jī)架重合時(shí)傳動(dòng)角最小，因此傳動(dòng)角的約束條件為：

對(duì)應(yīng)的約束函數(shù)為：

3）邊界條件約束

對(duì)于機(jī)構(gòu)的各個(gè)桿件尺寸，應(yīng)保證其值為正數(shù)。

2.4 標(biāo)準(zhǔn)化模型

綜上所述，將數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式如下：

3 應(yīng)用實(shí)例

3.1 三個(gè)設(shè)計(jì)變量的模型解

有學(xué)者在基于MATLAB的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中也研究了三個(gè)參數(shù)對(duì)模型求解的影響，規(guī)定各設(shè)計(jì)變量的最短桿與最長(zhǎng)桿的比例設(shè)置在[1,10]的范圍內(nèi)，本文認(rèn)為這種做法缺乏相應(yīng)的理論依據(jù)，故在本文的研究中，沒(méi)有限制最短桿與最長(zhǎng)桿的比例。對(duì)于模型中設(shè)定x1,x2,x3三個(gè)變量的求解，利用所建立模型的線性約束條件和非線性約束條件確定目標(biāo)函數(shù)的可行域，在可行域范圍內(nèi)選取適當(dāng)?shù)某跏贾?，并利用?jì)算軟件MATLAB優(yōu)化工具箱的Function()函數(shù)，對(duì)模型編程計(jì)算，通過(guò)在可行域范圍內(nèi)輸入不同的初始值計(jì)算，我們得到的桿長(zhǎng)設(shè)計(jì)結(jié)果如表1所示。

表1　三個(gè)設(shè)計(jì)變量的模型解

從表中的結(jié)果可以看出，通過(guò)選取可行域中不同的初始值，對(duì)三設(shè)計(jì)變量的曲柄搖桿優(yōu)化結(jié)果會(huì)產(chǎn)生較大的影響，特別是當(dāng)初始值取為（3,4,4）時(shí)，連桿和機(jī)架的長(zhǎng)度幾乎為初始值為（3,4,5）和（4,4,4）時(shí)的兩倍，而搖桿的長(zhǎng)度值幾乎不受影響，函數(shù)的優(yōu)化值極差為0.0027。

3.2 兩個(gè)設(shè)計(jì)變量的模型解

本文中研究的主要是設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響，因此，在接下來(lái)的研究中，本文又討論了2個(gè)設(shè)計(jì)變量時(shí)的優(yōu)化情況。

當(dāng)設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)為2時(shí)，根據(jù)機(jī)械原理四桿機(jī)構(gòu)曲柄存在的條件可知：連架桿或機(jī)架是最短桿。文中以曲柄為最短桿進(jìn)行討論，設(shè)曲柄的長(zhǎng)度為1，對(duì)于本文所給的算例，確定設(shè)計(jì)變量為2的研究中，大量的學(xué)者都對(duì)其進(jìn)行計(jì)算求解并得出結(jié)論[9,10]，一般都是將曲柄和機(jī)架的長(zhǎng)度設(shè)為1和5，沒(méi)有考慮設(shè)計(jì)變量為搖桿和機(jī)架、連桿和機(jī)架的組合，也沒(méi)有對(duì)初始確定的兩桿取多組值進(jìn)行深入研究，本文作者針對(duì)這一問(wèn)題，對(duì)多種變量的組合全面考慮，每一組變量中設(shè)多組已確定桿長(zhǎng)值組合，模型的求解結(jié)果如表2所示。

表2　兩個(gè)設(shè)計(jì)變量的模型解

用MATLAB軟件編程求解發(fā)現(xiàn)在初始值滿足可行域的前提下，改變初始值取值，計(jì)算結(jié)果顯示，模型的優(yōu)化結(jié)果不受影響，因此，表2中沒(méi)有列出初始值。曲柄和搖桿長(zhǎng)度取為1和2時(shí)，程序無(wú)法正常運(yùn)行出結(jié)果。確定曲柄長(zhǎng)為1，機(jī)架長(zhǎng)從4變化至5時(shí)，函數(shù)的優(yōu)化值從0.0046降低至0.0030；確定曲柄長(zhǎng)為1，連桿長(zhǎng)從3增大至5時(shí)，函數(shù)的優(yōu)化值從0.0038減小到0.0029；從總體情況來(lái)看，函數(shù)的優(yōu)化值大部分在0.0029～0.0066之間，曲柄、連桿、搖桿和機(jī)架的長(zhǎng)度分別取為1,5,2.4207和6.4207時(shí)，函數(shù)的優(yōu)化值最小，為0.0029，結(jié)果最佳。曲柄和搖桿取值分別為1和4時(shí)，函數(shù)優(yōu)化值明顯較大，為0.2280。

4 結(jié)果分析

對(duì)于3設(shè)計(jì)變量的模型解，可以看出最短桿與最長(zhǎng)桿的比例在1:117～1:57間大幅波動(dòng)，初始值的選取對(duì)設(shè)計(jì)桿長(zhǎng)連桿和機(jī)架的影響較大，將優(yōu)化的桿長(zhǎng)設(shè)計(jì)結(jié)果代入模型的約束條件，滿足約束條件，表明該設(shè)計(jì)結(jié)果是可取的。改變使選取的不同的初始值，模型的目標(biāo)函數(shù)值在0.1419～0.1446之間波動(dòng)，最大值于最小值的極差達(dá)到0.0027，較之于兩設(shè)計(jì)變量的目標(biāo)函數(shù)值，偏差比較大。

從2設(shè)計(jì)變量的求解結(jié)果表中可以看出，不同于3設(shè)計(jì)變量的桿長(zhǎng)設(shè)計(jì)值大幅波動(dòng)情況，2設(shè)計(jì)變量求解的曲柄、連桿、搖桿和機(jī)架的長(zhǎng)度比例維持在較穩(wěn)定的水平，可行域范圍內(nèi)初始值的選取對(duì)模型的優(yōu)化結(jié)果并無(wú)影響，目標(biāo)函數(shù)的輸出值基本在0.0029～0.0066范圍內(nèi)微小變化。當(dāng)曲柄和搖桿取定值分別為1和4時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的輸出值達(dá)到0.2280，相較于其他7組情況，偏差較大，曲柄和搖桿分別取1和2時(shí)，無(wú)法得到最終的桿長(zhǎng)設(shè)計(jì)結(jié)果，觀察其他7組的桿長(zhǎng)設(shè)計(jì)結(jié)果，認(rèn)為搖桿長(zhǎng)度取2.4左右較佳。從表2中可以看出，當(dāng)搖桿的取值偏差超過(guò)0.4，優(yōu)化的結(jié)果便不太理想，連桿長(zhǎng)在[3,5]，機(jī)架長(zhǎng)在[4.5,6.5]區(qū)間內(nèi)取值時(shí)，均能得到較理想的優(yōu)化結(jié)果。

5 結(jié)論

本文主要研究平面四桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化中，設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)及對(duì)象的選取對(duì)機(jī)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果的影響，在模型的建立和求解中分別針對(duì)3個(gè)設(shè)計(jì)變量和2個(gè)設(shè)計(jì)變量的情況詳細(xì)討論，在設(shè)計(jì)變量為2個(gè)的模型求解中，取三組不同的設(shè)計(jì)變量組合進(jìn)行優(yōu)化求解，比較分析所得結(jié)果，得出以下結(jié)論：

1）平面四桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化中，在可行域范圍內(nèi)選取初始值迭代計(jì)算，3設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化桿長(zhǎng)輸出值會(huì)隨初始值選取的變化而發(fā)生較大波動(dòng)，而兩設(shè)計(jì)變量的桿長(zhǎng)設(shè)計(jì)值不隨初始值的變化而變化。

2）從優(yōu)化的結(jié)果來(lái)看，2設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化結(jié)果明顯優(yōu)于3設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化結(jié)果，后者目標(biāo)函數(shù)的輸出值為前者的48倍左右。

3）綜合以上分析，本文認(rèn)為，在輸出角約束條件給定的曲柄搖桿機(jī)構(gòu)的最優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題中，當(dāng)確定搖桿和機(jī)架兩個(gè)變量的長(zhǎng)度時(shí)，能夠得到最優(yōu)的滿足機(jī)構(gòu)軌跡特性的解。

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2）隨著流量的增加，進(jìn)氣口與旋流管組件對(duì)空氣流動(dòng)的阻力會(huì)有增長(zhǎng)，合理選擇進(jìn)氣口、旋流管參數(shù)與數(shù)量能有效的減小空氣流動(dòng)壓力損失。

3）通過(guò)分析提出了新的改進(jìn)方案，數(shù)值模擬結(jié)果表明，改進(jìn)方案在發(fā)動(dòng)機(jī)負(fù)荷范圍內(nèi)粗濾器具有較好的流阻特性，在流量為1600m3/h時(shí)，壓力損失降低了24.96%。

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作者簡(jiǎn)介：李瑩瑩（1992 -），女，湖北宜昌人，碩士研究生，研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)強(qiáng)度設(shè)計(jì)。

基金項(xiàng)目：湖北省自然科學(xué)基金項(xiàng)目：金屬膠焊結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布與失效機(jī)制研究（1214230）

收稿日期：2015-08-31

中圖分類(lèi)號(hào)：TH164

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1009-0134(2016)01-0102-04