關(guān)注學(xué)生的“二次思維”

李邦國

【摘要】初始思維是一種“原生態(tài)”思維，它是以學(xué)生自我認(rèn)知為根本出發(fā)點(diǎn)，是對問題進(jìn)行初次思維嘗試。由于受思維片面性、感性、孤立性的影響，思考往往呈現(xiàn)出非線性的特點(diǎn)，常常不能觸及問題本質(zhì)。而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是以知識為載體，以發(fā)展學(xué)生思維能力為核心。對于這種“淺層次”的思維，我們必須以學(xué)生的“初始思維”為基礎(chǔ)，促進(jìn)“二次思維”的有效開展，實(shí)現(xiàn)思維認(rèn)知的突破，提升學(xué)生思維品質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】初始思維二次思維基礎(chǔ)深入化個(gè)性化

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是以知識為載體，以發(fā)展學(xué)生思維能力為核心。由于學(xué)生的思維是感性的、片面的、孤立的，往往呈現(xiàn)出非線性的特點(diǎn)，面對問題初始思考常常不能觸及問題的本質(zhì)。所謂的“二次思維”就是在此時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生開展再次思考，在這個(gè)過程中喚醒、激發(fā)、深化學(xué)生的思維認(rèn)知，提升學(xué)生的思維品質(zhì)。然而有效開啟學(xué)生的“二次思維”，其中思維的銜接、深入、發(fā)展問題就必須引起我們足夠的重視與思考。

一、 以學(xué)生的“初始思維”為基礎(chǔ)

初始思維是學(xué)生以自我認(rèn)知為出發(fā)點(diǎn)，對問題進(jìn)行初次的思維嘗試。在此過程中難免會出現(xiàn)認(rèn)識偏差、思考不足乃至于錯(cuò)誤，這都是學(xué)生最真實(shí)、最樸素的思維展現(xiàn)，是重要的教學(xué)資源。初始思維更多的是一種“原生態(tài)”思維，通過它教師能為學(xué)生思維現(xiàn)狀準(zhǔn)確號脈。

“二次思維”是學(xué)生“初次思維”的延續(xù)，是對不完善思維的再次思考。孔子曰：“道而弗牽，強(qiáng)而弗抑，開而弗達(dá)?！倍嗡季S的開展并不是一種思維強(qiáng)加于另一種思維，而是一種智慧啟迪另一種智慧的過程。它以學(xué)生的思考角度為根本出發(fā)點(diǎn)。以學(xué)生的初始思維為基礎(chǔ)，教師則以一個(gè)同行者的角色去引導(dǎo)，促使學(xué)生兩次思維的銜接處實(shí)現(xiàn)認(rèn)知的突破。

【案例1】0.37÷0.3

師：誰來說一說你的解題過程？

生：我利用商不變法則轉(zhuǎn)化成3.7÷3，答案等于1.2余0.1。

生：我們也是先運(yùn)用商不變法則將它轉(zhuǎn)化為除數(shù)是整數(shù)的除法，答案也是1.2余0.1。

[初始思維]

師：我們有什么辦法檢驗(yàn)答案是否正確呢？

生：我們可以看余數(shù)是否大于除數(shù)，本題余數(shù)是0.1小于除數(shù)0.3所以計(jì)算的結(jié)果是正確的。

生：也可也通過乘法進(jìn)行驗(yàn)算，用商乘除數(shù)再加上余數(shù)看結(jié)果等不等于被除數(shù)。

師：請同學(xué)們用自己的方法檢驗(yàn)答案是否正確。（學(xué)生獨(dú)立完成檢驗(yàn)）

生：我們通過驗(yàn)算發(fā)現(xiàn)計(jì)算的結(jié)果為0.46與被除數(shù)不相等，所以答案存在問題。

師：從余數(shù)的角度進(jìn)行驗(yàn)算是正確的，而從計(jì)算的角度為什么會得出相反的結(jié)論。

生：看余數(shù)只能初步的判斷，計(jì)算才是準(zhǔn)確的判斷。

師：那問題出現(xiàn)在哪里呢？（學(xué)生獨(dú)立思考嘗試找出問題的所在）

生：在驗(yàn)算時(shí)我發(fā)現(xiàn)1.2×0.3=0.36，如果余數(shù)是0.01就能得到0.37這個(gè)結(jié)果。

[二次思維]

師：一個(gè)大膽的想法，余數(shù)可能存在問題。

生：我剛才再次看了豎式中余數(shù)的位置，“1”對應(yīng)的位置是3.7的十分位，也是沒轉(zhuǎn)化前0.37百分位，如果按后一種看法余數(shù)就是0.01。

生：我覺得他的看法有道理，商是1.2余數(shù)是0.1是3.7÷3的計(jì)算結(jié)果，對于原來算式0.37÷0.3來說“1”應(yīng)該是百分位上的，所以余數(shù)是0.01。

師：你們同意他們的看法嗎？

生：同意，但最好再舉一個(gè)例子說明。

師：想法很好，請你們完成0.25÷0.2。

生：通過計(jì)算我認(rèn)為他們的說法是正確的。

生：在利用商不變解決除數(shù)計(jì)算時(shí)，商是不變的余數(shù)是變的，余數(shù)是多少要看與對于原被除數(shù)所對應(yīng)的數(shù)位。

縱觀上面的教學(xué)過程，學(xué)生解決0.37÷0.3時(shí)以沒有余數(shù)的小數(shù)除法為思維起點(diǎn)，在成功地運(yùn)用“商不變法則”實(shí)現(xiàn)知識的轉(zhuǎn)化的同時(shí)，卻未考慮由此對余數(shù)所產(chǎn)生的影響。對于上述思考不充分、不全面，站在學(xué)生角度是完全可以被理解的。為此教師以讓學(xué)生對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)算的方式，扣起了學(xué)生的“初始思維”之門。學(xué)生在對問題的探索中步步緊逼問題的所在，在對所列豎式的自我反思中更是提出了大膽設(shè)想：“我在驗(yàn)算時(shí)我發(fā)現(xiàn)1.2×0.3=0.36，如果余數(shù)是0.01就能得到0.37這個(gè)結(jié)果?！睂τ谶@樣的思維認(rèn)知雖然其中不乏感性的成分，但卻一下子讓學(xué)生的思維關(guān)注點(diǎn)聚焦在余數(shù)上面。要成功有效引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“二次思維”我們要做到：及時(shí)捕捉學(xué)生初始思維中的“閃光點(diǎn)”，以學(xué)生原有的思維認(rèn)知為基礎(chǔ)，以激發(fā)學(xué)生積極主動的思維為動力，通過學(xué)生的內(nèi)在機(jī)能的激發(fā)不斷完善認(rèn)識。

二、 促進(jìn)“二次思維”的深入化

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是不斷發(fā)展思維，促使學(xué)生思維品質(zhì)提升的過程。因此只有將學(xué)生的思維引向深入，學(xué)習(xí)才能觸及問題的本質(zhì)。思維隨著深度的不斷拓展其廣度才會隨之延伸，才能在完整的知識體系中進(jìn)行知識的建構(gòu)。由于二次思維是建立在學(xué)生初次思維的基礎(chǔ)之上，經(jīng)過一定的思維反思與調(diào)整、修正與完善并逐步趨于合理，學(xué)生此時(shí)所具有的思維能力完全可以將思考引入深入化。

【案例2】比較下面分?jǐn)?shù)的大小，看看你有什么發(fā)現(xiàn)？

35○7947○25

57○4658○710

[初始思維]

師：誰來說一說每組分?jǐn)?shù)的大小。

生：（略）。

師：在此基礎(chǔ)上你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生：在第一組我發(fā)現(xiàn)分母都比分母大2，結(jié)合剛才通分的比較的大小，我進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：“分母比分子大2，這個(gè)分?jǐn)?shù)分母越大它就越大?！?/p>

師：你們同意他的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：同意，我對第二組的發(fā)現(xiàn)也差不多只是分母比分子大了3。

師：你能說具體點(diǎn)嗎？

生：我的發(fā)現(xiàn)是：“分母比分子大3，這個(gè)分?jǐn)?shù)分母越大它同樣越大?！?

師：為什么兩題的結(jié)論會如此的相同呢？

生：分母都比分子大相同的數(shù)。

[二次思維]

師：這樣發(fā)現(xiàn)能給你進(jìn)一步的啟發(fā)嗎？

生：我覺得只要分母比分子大的數(shù)是相同的，分母越大分?jǐn)?shù)就越大。

師：你們認(rèn)可他的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：認(rèn)可。

師：要證明結(jié)論的正確我們還需要進(jìn)一步？

生：舉例說明。

（學(xué)生舉例說明略）

…………

[思維的深入化]

師：本題是分母比分子大相同的數(shù)，你覺得還會出現(xiàn)哪種類似的特殊情況？

生：我想是分子比分母大同樣的數(shù)這類特殊的假分?jǐn)?shù)情況？

師：下面請同學(xué)們4人以小組，合作完看看有什么發(fā)現(xiàn)并加以證明。

生：分子比分母大1的兩個(gè)分?jǐn)?shù)如32與43、65與54，分母越大分?jǐn)?shù)越小。

生：分子比分母大2的兩個(gè)分?jǐn)?shù)如53與64、75與53，同樣分母越大分?jǐn)?shù)越小。

生：分子比分母大3的兩個(gè)分?jǐn)?shù)如52與74、107與85，分母越大分?jǐn)?shù)越小。

…………

生：我們通過舉例的方法證明了：分子比分母大同樣數(shù)的假分?jǐn)?shù)，分母越大分?jǐn)?shù)越小。

上述的教學(xué)片段，向我們展示了兩種不同層次上的思維。初始思維中學(xué)生思維基礎(chǔ)是具體的實(shí)際問題，立足于問題的解決。二次思維所依附的載體已不再是具體的知識，而更多是聚焦思維層面上的思考。案例中的二次思維是一個(gè)不斷深入、突破的過程：學(xué)生在對規(guī)律的反思中獲得思維的啟迪，在類比中不斷提出大膽的猜想，在猜想的驗(yàn)證過程中不斷豐盈自己的認(rèn)知。

三、 追求“二次思維”的個(gè)性化

人與人之間的思維存在明顯的個(gè)體差異，這種差異主要表現(xiàn)在思維的獨(dú)立性和批判性、思維的廣闊性和深刻性、思維邏輯性與獨(dú)創(chuàng)性等方面。二次思維是學(xué)生思維發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期，也是思維逐步趨于成熟的階段，此時(shí)學(xué)生對問題思考呈現(xiàn)出個(gè)性化的思考方式，個(gè)性化的思維亦在逐漸萌芽。對于學(xué)生出現(xiàn)的這種思維傾向我們應(yīng)精心呵護(hù)積極引導(dǎo)，努力實(shí)現(xiàn)學(xué)生個(gè)性化思維的發(fā)展。

【案例3】1+2+3+4+…+100=

[初始思維]

師：同學(xué)們你們能計(jì)算出從1一直加到100的和是多少嗎？

生：老師算是可以算出來的，但是計(jì)算量太大了。

生：最好是分小組每個(gè)組各算一部分，然后把各組的答案加起來，這樣既可以算出答案也比較節(jié)約時(shí)間。

生：老師我聽高年級同學(xué)說過好像是5050。

師：答案是正確的，你會快速計(jì)算嗎？

生：不會。

[二次思維]

師：你們知道嗎？有一個(gè)人在他8歲的時(shí)候就能快速的算出答案5050。

生：（發(fā)出驚訝的聲音）老師你快說他是怎樣做的。

師：好，老師就把他思考過程寫出來，你們試著弄懂它？

（板書：1+100=101、2+99=101、3+98=101、…50+51=101、101×50=5050）

生：（學(xué)生通過獨(dú)立思考、相互交流的方式理解解題過程。）

生：我知道了，他把第一個(gè)與倒數(shù)第一個(gè)第二個(gè)與倒數(shù)第二個(gè)相加，這樣不斷相加一共有50個(gè)101。

生：他太聰明了。

師：他抓住1-100相加的什么特點(diǎn)？

生：每次首尾相加都等于101。

師：你們知道這個(gè)比你們還小一歲的小朋友是誰嗎？

生：想。

師：他就是高斯，長大后他成為人類歷史上偉大的數(shù)學(xué)家。

[思維的個(gè)性化]

生：我也想到了一種快算計(jì)算的方法。

師：（驚訝）你說說看。

生：我把100個(gè)數(shù)分成了10組：1-9、10-19、20-29、…90-99，100先不考慮。每組個(gè)位數(shù)字相加都是1+2+3…+9=45，一共10個(gè)45就是450。在加十位的時(shí)候我發(fā)現(xiàn)了規(guī)律他們分別是100、200、300、…900，加起來就是4500。最后的算式就是4500+450+100=5050。

師：又一個(gè)“小高斯”誕生了，你們都懂嗎？

生：老師我在他的基礎(chǔ)上又想到了更快的方法。

師：（更加驚訝）把你的想法與我們分享下。

生：個(gè)位上的數(shù)字相加是450，那么十位上的數(shù)字加起來也是450，因?yàn)槭鞘簧系囊?0就變成了4500，最后再算上100結(jié)果也是5050。

…………

上述案例是一節(jié)三年級趣味數(shù)學(xué)課的教學(xué)片斷。筆者以經(jīng)典為例以回顧解題為引，通過學(xué)生思維的深入?yún)⑴c，準(zhǔn)確理解高斯個(gè)性化的解題思想。片斷最后學(xué)生為我們呈現(xiàn)出一次次精彩的、出乎意料的解答，無不向我們展示著他們個(gè)性化的思維。此種思維能力的獲得并不是唾手可得的靈感乍現(xiàn)，是基于二次思維上的個(gè)性化發(fā)展。反思學(xué)生個(gè)性化思維的形成，它根植于對經(jīng)典解題的理解，源于思維的深入化，頓悟于個(gè)性化啟迪、個(gè)性化思維。整個(gè)二次思維是學(xué)生理解、消化、深入、反思的過程；是學(xué)生自我個(gè)性化思維醞釀的過程；亦是學(xué)生思維品質(zhì)不斷提高的過程。個(gè)性化思維表面是一種思維個(gè)性的彰顯，實(shí)則是學(xué)生不斷深入思考的結(jié)果?？v觀本案例如果沒有學(xué)生在二次思維中的深入思考，個(gè)性化思維只能是無源之水，無本之木。

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