探究數(shù)列典型問(wèn)題

李沫蘭

摘 要：數(shù)列是我們從中學(xué)時(shí)期就會(huì)接觸和涉及的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，雖看似簡(jiǎn)單卻蘊(yùn)含著很玄妙的數(shù)學(xué)規(guī)律，值得我們?nèi)ド钊胩接?。我們通過(guò)了解數(shù)列的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列中所代表和體現(xiàn)的數(shù)學(xué)規(guī)律之美。其中，菲波那切數(shù)列更能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的應(yīng)用之美。

關(guān)鍵詞：數(shù)列;歷史;應(yīng)用;菲波那切數(shù)列

中圖分類號(hào)：G63 ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ? ? ?文章編號(hào)：1673-9132（2016）10-0245-151

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.10.036

一、數(shù)列的概念

數(shù)列（sequence of number）是一列有序的數(shù)。它是以正整數(shù)集或它的有限子集為定義域的一種函數(shù)。數(shù)列中所包含的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。排在這個(gè)數(shù)列第一位的數(shù)稱之為首項(xiàng)（通常也叫做數(shù)列的第1項(xiàng)），而排在第二位的數(shù)稱為數(shù)列的第2項(xiàng)……依次類推排在第n位的數(shù)則稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，通常使用來(lái)an表示。

開(kāi)始接觸并學(xué)習(xí)函數(shù)的知識(shí)以后，可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列其實(shí)是一種比較特殊的函數(shù)。它的特殊性主要表現(xiàn)在數(shù)列的定義域和值域上。一般的，數(shù)列可以被看做是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*或者其有限子集{1，2，3，…，n}的函數(shù)，其中的{1，2，3，…，n}不能被省略。

可以看到用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)數(shù)列是一種重要的思想方法，一般情況下，函數(shù)通常有三種表示方法，同樣的數(shù)列也有三種表示的方法：1.列表法;2.圖像法;3.解析法。其中解析法包含以通項(xiàng)公式表示數(shù)列和以遞推公式表示數(shù)列。因?yàn)楹瘮?shù)不一定有解析式，所以同樣的數(shù)列也并非都有通項(xiàng)公式。

（一）數(shù)列的分類

常用的數(shù)列通常有以下幾種：“有窮數(shù)列”（finite sequence），項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列;“無(wú)窮數(shù)列”（infinite sequence），項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列。正項(xiàng)數(shù)列，數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù);遞增數(shù)列，即從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列;遞減數(shù)列，即從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列;擺動(dòng)數(shù)列，從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列;周期數(shù)列，數(shù)列各項(xiàng)呈周期性變化的數(shù)列;常數(shù)列，各項(xiàng)相等的數(shù)列。

（二）數(shù)列的表示

數(shù)列有時(shí)會(huì)有很多項(xiàng)數(shù)，而有的無(wú)限數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是無(wú)窮的，那么應(yīng)該如何更好地表示數(shù)列呢？通常我們使用通項(xiàng)公式和遞推公式來(lái)表達(dá)和表示一個(gè)數(shù)列。

1.數(shù)列的通項(xiàng)公式，即數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以通過(guò)同一個(gè)式子來(lái)表示，即數(shù)列的通項(xiàng)公式。如an=（-1）n+1+1，可以注意到首先有些數(shù)列的通項(xiàng)公式可以有不同形式，而有些數(shù)列沒(méi)有通項(xiàng)公式。比如，素?cái)?shù)由小到大排成一列2，3，5，7，11，……這個(gè)數(shù)列就沒(méi)有通項(xiàng)公式。

2.數(shù)列的遞推公式，即表現(xiàn)數(shù)列的某一項(xiàng)和它的前一項(xiàng)或前若干項(xiàng)之間關(guān)系的式子。數(shù)列的遞推公式同其通項(xiàng)公式的特點(diǎn)類似，即有些數(shù)列的遞推公式是不唯一的，可以有不同形式。同樣有些數(shù)列也可以沒(méi)有遞推公式，且有遞推公式的數(shù)列不一定有通項(xiàng)公式。

二、數(shù)列的產(chǎn)生與發(fā)展

數(shù)列是除去數(shù)字、三角、函數(shù)之外的另一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)概念。數(shù)列很早就體現(xiàn)出了人類的睿智，因?yàn)樗粌H推進(jìn)了級(jí)數(shù)的產(chǎn)生和組合的發(fā)展，還充滿著人文氣息和人類智慧，并被廣泛應(yīng)用在藝術(shù)、建筑等諸多領(lǐng)域，是數(shù)學(xué)中的重要模型。

數(shù)列的歷史十分悠久，在古代中國(guó)、古印度、古希臘、古代阿拉伯等歷史中都可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列的記載和介紹。在古代中國(guó)，《莊子》中就有：“一尺之錘，日取其半，萬(wàn)世不竭?！钡挠涊d。而在古巴比倫，約在公元前20世紀(jì)的石板上記錄了以下數(shù)字：1，4，9，16，25，36，49，……其實(shí)這是現(xiàn)在非常常見(jiàn)的自然數(shù)的平方和。同時(shí)，中國(guó)的《九章算術(shù)》或西方的歐幾里得的《幾何原本》都對(duì)數(shù)列有豐富的記錄。關(guān)于數(shù)列，還有許多經(jīng)典的命題廣為流傳，像熟悉的數(shù)學(xué)家高斯幼年巧算1到100自然數(shù)和的故事，以及國(guó)際棋盤上疊加小麥的問(wèn)題和比較著名的阿莫斯之謎等。不僅在數(shù)學(xué)研究上，在自然界和生活中，數(shù)列依然隨處可見(jiàn)。下文將就菲波那切數(shù)列的單獨(dú)分析來(lái)揭示上述討論。

三、菲波那切數(shù)列

菲波那切數(shù)列是一個(gè)比較常見(jiàn)的數(shù)列，學(xué)生應(yīng)該都比較熟悉，即0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，……這個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)是從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前兩項(xiàng)相加之和，是意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契發(fā)現(xiàn)的，自斐波那契數(shù)列發(fā)現(xiàn)之時(shí)起，就引起了人們的廣泛關(guān)注。

在數(shù)學(xué)表示上，斐波那契數(shù)列可以表示為：

F（n）=0，當(dāng)n=0時(shí);

F（n）=1，當(dāng)n=1時(shí);

F（n）=F（n-1）+F（n-2），當(dāng)n>1時(shí)。

（一）斐波那契數(shù)列的相關(guān)數(shù)學(xué)性質(zhì)

1.與黃金比例的關(guān)系。通過(guò)研究可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于菲波那切數(shù)列的各項(xiàng)來(lái)說(shuō)，相鄰兩項(xiàng)的商，越靠后就越接近0.618，而通過(guò)通項(xiàng)公式去求相鄰兩項(xiàng)商的極限其結(jié)果正是黃金比例，因此，菲波那切數(shù)列又稱為黃金比數(shù)列。

2.簡(jiǎn)單的規(guī)律。透過(guò)數(shù)列我們可以發(fā)現(xiàn)其中一些簡(jiǎn)單的規(guī)律：每3個(gè)連續(xù)的斐波那契數(shù)有且只有一個(gè)被2整除，每4個(gè)連續(xù)的斐波那契數(shù)有且只有一個(gè)被3整除，每5個(gè)連續(xù)的斐波那契數(shù)有且只有一個(gè)被5整除，每6個(gè)連續(xù)的斐波那契數(shù)有且只有一個(gè)被8整除，每7個(gè)連續(xù)的斐波那契數(shù)有且只有一個(gè)被13整除，……每n個(gè)連續(xù)的斐波那契數(shù)有且只有一個(gè)被整除。

（二）斐波那契數(shù)列的應(yīng)用

除了在數(shù)學(xué)方面的研究外，菲波那切數(shù)列在很多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。

1.物理學(xué)。在已學(xué)到的氫原子能級(jí)方面，在氫原子吸收能量發(fā)生能級(jí)躍遷時(shí)，電子所處的狀態(tài)可能的情形是：1、2、3、5、8、13、21…種。這就是斐波那契數(shù)列的一部分。

2.計(jì)算機(jī)科學(xué)。在計(jì)算機(jī)算法方面，同樣可以應(yīng)用到斐波那契數(shù)列。如斐波那契堆（Fibonacci heap），它是計(jì)算機(jī)科學(xué)中，最小堆有序樹的集合?？捎糜谟?jì)算機(jī)計(jì)算時(shí)實(shí)現(xiàn)合并優(yōu)先隊(duì)列。通過(guò)斐波那契數(shù)列算法的應(yīng)用，它可以不涉及刪除元素的操作的平攤時(shí)間，和另一種算法二項(xiàng)堆相比是巨大的改進(jìn)，大大提高了計(jì)算速度。

3.自然界。在自然界中，很多動(dòng)植物的生長(zhǎng)都遵從斐波那契數(shù)列的規(guī)律。一些植物的萼片、花瓣、果實(shí)數(shù)目以及排列方式上，都非常符合斐波那契數(shù)列，如菠蘿、松子等。而貝殼螺旋輪廓線則符合斐波那契螺旋。

四、結(jié)語(yǔ)

數(shù)列從古至今的發(fā)展可以看到，在每個(gè)細(xì)微的方面深入思考，都可以有很深入的發(fā)現(xiàn)。這也是每個(gè)人在學(xué)習(xí)上應(yīng)當(dāng)具備的優(yōu)良品德。通過(guò)數(shù)列這一小小的切入點(diǎn)，也可以看到數(shù)學(xué)是如此實(shí)用和美妙的學(xué)科。正是對(duì)數(shù)學(xué)的研究才逐步推動(dòng)著各個(gè)領(lǐng)域科技的進(jìn)步與發(fā)展，也需要一代代人們努力去研究，讓數(shù)學(xué)的發(fā)展更進(jìn)一步。

[1] 王君行.斐波那契數(shù)列的一些有趣性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2009（3）：

60.

[2] 閆萍，王見(jiàn)勇.斐波那契數(shù)列與黃金分割數(shù)[J].高等數(shù)學(xué)研究，

2005（1）：28-29.

Exploration on the Typical Problems of Sequence of Number

LI Mo-lan

（Handan No. 1 High School， Handan Hebei， 056000， China）

Abstract： Sequence of number is a knowledge point that we commonly contact in high schools. Although it seems simple， it contains a mysterious mathematical law which needs further exploration. We could find the mathematical laws of beauty in sequence through analysis on the emergence and development process of sequence. Among them， Fibonacci Sequence could particularly reflect the beauty of mathematics.

Key words： sequence of number; history; application; Fibonacci Sequence

[ 責(zé)任編輯 趙建榮 ]