一類Caputo分數(shù)階微分方程初值問題解的存在性

楊　帥， 蔡寧寧

(中國礦業(yè)大學(北京) 理學院， 北京 100083)

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一類Caputo分數(shù)階微分方程初值問題解的存在性

楊帥， 蔡寧寧

(中國礦業(yè)大學(北京) 理學院， 北京 100083)

摘要：將一類Caputo分數(shù)階微分方程初值問題轉(zhuǎn)化為等價的Volterra積分方程，通過構造一個特殊的Banach空間，在此Banach空間上定義算子，將求解Volterra積分方程轉(zhuǎn)化為求算子的不動點問題，應用Schauder 不動點定理證明了其解的存在性.

關鍵詞：Caputo分數(shù)階微分方程； 初值問題； Volterra積分方程

近年來，隨著相關理論的不斷拓展和完善，分數(shù)階微分方程已廣泛應用于分數(shù)物理學、粘彈性力學、自動控制、混沌與湍流、生物化學、非牛頓流體力學、隨機過程等諸多科學領域[1]. 關于分數(shù)階微分方程解的存在性及其求解也取得了豐碩的成果[2-5]. 分數(shù)階微分方程初值問題是非線性微分方程的一個重要研究課題，許多學者都獨立地探討了各類分數(shù)階微分方程初值問題[6-9].

本文主要討論如下一類Caputo分數(shù)階微分方程邊值問題

(1)

1預備知識

首先，介紹幾個基本概念和一些Caputo分數(shù)階導數(shù)的性質(zhì)以及相關引理.

性質(zhì)1常數(shù)的Caputo分數(shù)階導數(shù)為0，即

2主要結果

定理1設f(x,y(x))在[0,1]×R上連續(xù)，則Caputo分數(shù)階微分方程邊值問題(1)等價于下面的第二類非線性Volterra積分方程

(2)

即

等式兩邊積分可得

y(x)=y(0)+

另一方面，設y(x)是Volterra積分方程(2)的解，即

且在(2)中令x=0可得y(0)=y0，則y(x)是Caputo分數(shù)階微分方程邊值問題(1)的解.

綜上兩個方面，得到(1)與(2)等價.

證明由定理1知道，Caputo分數(shù)階微分方程邊值問題(1)與Volterra積分方程(2)等價，定義算子A:

Ay(x)=y0+

則方程的解轉(zhuǎn)化為算子A的不動點問題.

接下來， 分以下幾步來證明：

第1步，任取y∈U，可以得到

即Ay(x)∈U，于是算子A:U→U.

?x∈[0,1]

那么

則A:U→U連續(xù).

即A(U)中諸函數(shù)一致有界.

第4步，討論A(U)中諸函數(shù)的等度連續(xù)性.

由于 0<α<1，則

可知A(U)中諸函數(shù)等度連續(xù).

由Ascoli-Arzela定理知A(U)是B相對緊集. 因此A:U→U全連續(xù). 根據(jù)Schauder 不動點定理知A在U中必有不動點.

綜上，證明了Caputo分數(shù)階微分初值問題(1)解的存在性，即(1)必有連續(xù)解y∈C[0,1].

參考文獻：

[1] Kilbas A A, Srivastava H M, Trujillo J J. Theory and applications of fractional differential equations [M]. Amsterdam: Elsevier, 2006.

[2]Diethelm K. The analysis of fractional differential equations[M]. Heidelberg: Springer, 2010.

[3]Sabatier J, Agrawal O P, Tenreiro Machado J A. Advances in fractional calculus[M].Nether-Lands: Springer, 2007.

[4]Miller K S, Ross B. An introduction to the fractional calculus and fractional differential equations [M]. New York: Wiley, 1993.

[5] Podlubny I. Fractional differential equations [M]. London: Academic Press,1999.

[6] Zhang S Q. Positive solutions to singular boundary value problem for nonlinear fractional differential equation[J]. Computers and Mathematics with Applications,2009,59 (3):1 300-1 309.

[7] Zhang S Q. Positive solution of singular boundary value problem for nonlinear fractional differential equation with nonlinearity that changes sign[J]. Positivity,2012,16(1): 177-193.

[8] Su X W. Boundary value problem for a coupled system of nonlinear fractional differential equations.[J]. Appl. Math. Lett.,2009,22: 64-69.

[9] Su X W . Positive solutions to singular boundary value problems for fractional functional differential equations with changing sign nonlinearity[J]. Computers and Mathematics with Applications,2012, 64 (10):3 425-3 435.

(編輯：郝秀清)

Existence of solutions of initial value problem for a Caputo fractional differential equation

YANG Shuai， CAI Ning-ning

(College of Science， China University of Mining and Technology， Beijing 100083, China)

Abstract:The initial value problem of a class of Caputo fractional differential equations is transformed into an equivalent Volterra integral equation. By defining a operator on a special Banach space, the solvability of the Volterra integral equation is transformed to a fixed point problem. The existence of its solution is proved by employing Schauder′s fixed point theorem.

Key words:Caputo fractional differential equation; initial value problem; Volterra integral equation

中圖分類號：0175.14

文獻標志碼：A

文章編號：1672-6197(2016)03-0029-04

作者簡介：楊帥，男， haotianwuji2@sina.com

收稿日期：2015-07-07