預(yù)計(jì)算類(lèi)ECC標(biāo)量乘算法高速存儲(chǔ)控制電路設(shè)計(jì)

李　博　王　威　嚴(yán)迎建　李　偉

(解放軍信息工程大學(xué)　河南 鄭州 450001)

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預(yù)計(jì)算類(lèi)ECC標(biāo)量乘算法高速存儲(chǔ)控制電路設(shè)計(jì)

李博王威嚴(yán)迎建李偉

(解放軍信息工程大學(xué)河南 鄭州 450001)

摘要為提升橢圓曲線密碼體制中最耗時(shí)的標(biāo)量乘運(yùn)算的計(jì)算速度，解決采用預(yù)計(jì)算的快速實(shí)現(xiàn)算法中數(shù)據(jù)存儲(chǔ)問(wèn)題，提取分析了NAF窗口算法、固定基窗口算法、固定基comb算法的存儲(chǔ)需求和共性特征，設(shè)計(jì)了適合ECC處理器的統(tǒng)一尋址電路和向量結(jié)構(gòu)的高效訪存電路，有效支持目前具有預(yù)計(jì)算存儲(chǔ)需求的典型算法，并使得訪存效率和資源利用率大幅提升。在少量資源消耗下，與傳統(tǒng)存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)相比，訪問(wèn)存儲(chǔ)性能提升達(dá)75%到95%。

關(guān)鍵詞橢圓曲線密碼標(biāo)量乘預(yù)計(jì)算存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)

DESIGNING HIGH-SPEED STORAGE CONTROL CIRCUIT FOR ECC SCALAR MULTIPLICATION ALGORITHM WITH PRE-COMPUTATION

Li BoWang WeiYan YingjianLi Wei

(PLA Information Engineering University,Zhengzhou 450001,Henan,China)

AbstractIn order to improve computation speed of most time-consuming scalar multiplication operation in ECC and to solve data storage problem of fast implementation algorithm using pre-computation, we extract the common features and analyse the storage requirements in regard to NAF window algorithm, fixed base window algorithm, fixed base comb algorithm, design efficient access and storage circuit suitable for unified addressing and vector structure of ECC processor, which effectively supports for current typical algorithms with pre-computation storage needs, and significantly enhances the efficiency of access and storage and the resource utilisation. While the resource consumption is few, its performance of access and storage improves up to the range of 75% to 95% compared with traditional storage structure.

KeywordsElliptic curve cryptography (ECC)Scalar multiplicationPre-computationStorage structure

0引言

橢圓曲線公鑰密碼體制ECC以其運(yùn)算速度快，占用資源少、單比特安全強(qiáng)度高等特點(diǎn)已成為公鑰密碼的新標(biāo)準(zhǔn)[1]。標(biāo)量乘是橢圓曲線密碼算法的核心運(yùn)算，決定著橢圓曲線密碼體制的運(yùn)算速度，如何高效實(shí)現(xiàn)標(biāo)量乘是當(dāng)前研究的一個(gè)熱點(diǎn)。在眾多標(biāo)量乘算法中，NAF窗口算法、固定基窗口算法、固定基comb算法等通過(guò)采用預(yù)計(jì)算，成為最具速度優(yōu)勢(shì)的一類(lèi)快速實(shí)現(xiàn)算法[2]。橢圓曲線密碼體制通常采用專(zhuān)用的ECC處理器進(jìn)行實(shí)現(xiàn)。預(yù)計(jì)算數(shù)據(jù)帶來(lái)了額外的存儲(chǔ)資源以及數(shù)據(jù)頻繁訪問(wèn)存儲(chǔ)的新問(wèn)題，這也成為此類(lèi)算法在處理器中適配的難點(diǎn)和瓶頸。

目前，許多研究者關(guān)注于算法本身，通過(guò)改進(jìn)算法[3-6]，在保證速度的同時(shí)盡量降低存儲(chǔ)消耗。但是在算法適配中，依然不可回避資源消耗和數(shù)據(jù)頻繁訪問(wèn)存儲(chǔ)問(wèn)題。ECC處理器中通用的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)并不適于這類(lèi)算法的訪存需求，可能造成執(zhí)行單元工作不流暢，將使算法實(shí)現(xiàn)效率降低。為解決存儲(chǔ)問(wèn)題所導(dǎo)致的性能瓶頸，本文對(duì)上述三種采用預(yù)計(jì)算的標(biāo)量乘快速算法進(jìn)行了分析，提取預(yù)計(jì)算數(shù)據(jù)訪存的普遍特征，設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)了一種適于預(yù)計(jì)算標(biāo)量乘算法的統(tǒng)一的尋址電路和向量結(jié)構(gòu)的高效訪存電路，有效解決訪存效率問(wèn)題。

1預(yù)計(jì)算標(biāo)量乘算法分析

NAF窗口算法、固定基窗口算法、固定基comb算法是三種具代表性的標(biāo)量乘算法，本節(jié)分別對(duì)三種算法進(jìn)行分析，研究其預(yù)計(jì)算的特點(diǎn)。

1.1NAF窗口算法分析

非相鄰表示型NAF通過(guò)對(duì)密鑰k值重新進(jìn)行NAF編碼，減少了k值中非零元素的個(gè)數(shù)，從而減少了標(biāo)量乘算法的點(diǎn)加計(jì)算次數(shù)，提高了標(biāo)量乘運(yùn)算的速度[7]。窗口NAF標(biāo)量乘算法如算法1所示。

算法1窗口NAF標(biāo)量乘算法

輸出:kP。

2.對(duì)于i∈{1,3,5,…,2w-1-1}，計(jì)算Pi=iP。

3.Q=0。

4.對(duì)于i從l-1到0，重復(fù)執(zhí)行

4.1.Q=2Q。

4.2.若ki≠0，則

若ki>0，則Q=Q+Pki。

否則，Q=Q- Pki。

5.返回(Q)。

從算法中易知，窗口NAF標(biāo)量乘算法需要對(duì)窗口值內(nèi)所有可能的奇數(shù)倍點(diǎn)進(jìn)行預(yù)計(jì)算，如步驟2。預(yù)計(jì)算點(diǎn)的形式為iP，i∈{1,3,5,…,2w-1-1}。需要的存儲(chǔ)點(diǎn)個(gè)數(shù)為2w-2，這些點(diǎn)在步驟4.2中被調(diào)用參與運(yùn)算，算法的期望運(yùn)行時(shí)間為[1D+(2w-2-1)A]+[mD+(m/(w+1))A]，其中A表示點(diǎn)加運(yùn)算，D表示倍點(diǎn)運(yùn)算。

1.2固定基窗口算法

基點(diǎn)P固定的情況下，預(yù)計(jì)算不占用算法實(shí)現(xiàn)時(shí)間，采用預(yù)計(jì)算可獲得更高的運(yùn)算速度，固定基窗口算法如算法2所示。

算法2固定基窗口標(biāo)量乘算法

輸出:kP。

1.預(yù)計(jì)算Pi=2wiP，0≤i ≤d-1。

2.A=0，B=0。

3.對(duì)于j從2w-1到1，重復(fù)執(zhí)行

3.1. 對(duì)于每個(gè)使Ki=j的i，執(zhí)行：B=B+Pi。

3.2. A=A+B。

4.返回(A)。

固定基窗口標(biāo)量乘算法需要對(duì)偶數(shù)倍點(diǎn)進(jìn)行預(yù)計(jì)算，預(yù)計(jì)算點(diǎn)的形式為2wiP，0≤i ≤d-1，需要的存儲(chǔ)點(diǎn)個(gè)數(shù)約為d，這些點(diǎn)可能會(huì)在步驟3中參與運(yùn)算，算法的期望運(yùn)行時(shí)間為(2w+d-3)A。

1.3固定基comb算法

固定基comb標(biāo)量乘算法也是針對(duì)基點(diǎn)P固定情況下的快速標(biāo)量乘運(yùn)算。comb標(biāo)量乘算法如算法3所示。

算法3固定基comb標(biāo)量乘算法

輸出:kP。

1.對(duì)于所有長(zhǎng)度為w的二進(jìn)制串(aw-1,…,a1,a0)，預(yù)計(jì)算[aw-1,…,a1,a0]P。

2.若需要，則用0填充k的左邊，記k=Kw-1//…//K1//K0，其中每個(gè)串Kj的長(zhǎng)度為d。用Kij表示Kj的第i位。

3.Q=0。

4.對(duì)于i從d-1到0，重復(fù)執(zhí)行

4.1. Q=2Q。

4.2. Q=Q+[Kiw-1,…,Ki1, Ki0]P。

5.返回(Q)。

comb算法對(duì)于所有可能的位串(aw-1,…,a1,a0)都要進(jìn)行預(yù)計(jì)算 [aw-1,…,a1,a0]P，需要的存儲(chǔ)點(diǎn)個(gè)數(shù)為2w-1。這些點(diǎn)將在步驟4.2中參與運(yùn)算，算法的期望運(yùn)行時(shí)間為(((2w-1)/2w)d-1)A+(d-1)D。

NAF窗口算法、固定基窗口算法、固定基comb算法是三種各具代表性的算法，雖然都采用預(yù)計(jì)算，但預(yù)計(jì)算的數(shù)據(jù)不同，分別為基點(diǎn)的奇數(shù)倍點(diǎn)、偶數(shù)倍點(diǎn)和連續(xù)倍點(diǎn)，且計(jì)算量和存儲(chǔ)量也各不相同。NAF窗口算法適用于基點(diǎn)未知的情況，后兩種算法適于基點(diǎn)固定的情況。其共同特征是預(yù)計(jì)算的各點(diǎn)將依條件頻繁在算法核心步驟中被調(diào)用，且選點(diǎn)具有隨機(jī)性。這涉及到兩個(gè)問(wèn)題：一是正確找到點(diǎn)的位置，即統(tǒng)一的尋址電路設(shè)計(jì)；二是快速存取，即高效讀寫(xiě)電路設(shè)計(jì)。

2預(yù)計(jì)算標(biāo)量乘算法存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

為解決上節(jié)提出的問(wèn)題，本節(jié)將對(duì)預(yù)計(jì)算數(shù)據(jù)的尋址和讀寫(xiě)進(jìn)行分析，并設(shè)計(jì)統(tǒng)一的尋址電路和向量結(jié)構(gòu)的高效訪存電路。

2.1統(tǒng)一的尋址電路設(shè)計(jì)

統(tǒng)一尋址的理論依據(jù)來(lái)源于不同算法中的共性特征。分析可知，三種算法都需要根據(jù)某個(gè)特定值確定取點(diǎn)的位置，對(duì)于算法1，該值為步驟4.2中的ki；對(duì)于算法2，該值為步驟3.1中的i；對(duì)于算法3，該值為步驟4.2中的[Kiw-1,…,Ki1,Ki0]。這里統(tǒng)一用Rk表示。

P的一個(gè)坐標(biāo)x或y占用的存儲(chǔ)單元數(shù)用VL=L/W表示，其中L為x或y的二進(jìn)制表示長(zhǎng)度，W為存儲(chǔ)單元的位寬。VL在尋址中的作用將在后面詳細(xì)描述。

接下來(lái)，將分別對(duì)三種算法提取尋址公式：

? NAF窗口算法

對(duì)于算法1：奇數(shù)倍點(diǎn)的存儲(chǔ)，在圖1中給出了該情況下的P值存儲(chǔ)形式。

圖1　不同VL下P的奇數(shù)倍值存儲(chǔ)形式

算法1中存儲(chǔ)的點(diǎn)為{P,3P,…,(2w-1-1)P}，以順序的方式依次存儲(chǔ)。圖中(a)、(b)、(c)分別表示VL為1、2、3時(shí)的情況，并標(biāo)出了各點(diǎn)的初始地址。對(duì)圖1的存儲(chǔ)方式，采用數(shù)學(xué)歸納法，提取出點(diǎn)的初始地址計(jì)算公式為VL*(Rk-1)，其中Rk∈{1,3,5,…,2w-1-1}。

? 固定基窗口算法

對(duì)于算法2：偶數(shù)倍點(diǎn)的存儲(chǔ)，在圖2中給出了該情況下的P值存儲(chǔ)形式。

圖2　不同VL下P的偶數(shù)倍值存儲(chǔ)形式

算法2中存儲(chǔ)的點(diǎn)為{P,2wP,…,2w(d-1)P}，以順序的方式依次存儲(chǔ)。圖中(a)、(b)、(c)分別表示VL為1、2、3時(shí)的情況，并標(biāo)出了各點(diǎn)的初始地址。對(duì)圖2的存儲(chǔ)方式，采用數(shù)學(xué)歸納法，提取出點(diǎn)的初始地址計(jì)算公式為2×VL×Rk，其中Rk∈{0,1,…,d-1}。

? 固定基comb算法

對(duì)于算法3：連續(xù)倍點(diǎn)的存儲(chǔ)，在圖3中給出了該情況下的P值存儲(chǔ)形式。

圖3　不同VL下P的連續(xù)倍值存儲(chǔ)形式

算法3中存儲(chǔ)的點(diǎn)為{P,2P,…,(2w-1)P}，以順序的方式依次存儲(chǔ)。圖中(a)、(b)、(c)分別表示VL為1、2、3時(shí)的情況，并標(biāo)出了各點(diǎn)的初始地址。對(duì)圖3的存儲(chǔ)方式，采用數(shù)學(xué)歸納法，提取出點(diǎn)的初始地址計(jì)算公式為2×VL×(Rk-1)，其中Rk∈{1,2,…,2w-1}。

綜上得到三種算法的初始地址尋址公式如下：

奇數(shù)倍點(diǎn)尋址：VL×(Rk-1)；

偶數(shù)倍點(diǎn)尋址：2×VL×Rk；

連續(xù)倍點(diǎn)尋址：2×VL×(Rk-1)。

三個(gè)公式形式十分相近，可以采用統(tǒng)一的硬件完成，細(xì)微差別可通過(guò)設(shè)置模式選擇信號(hào)來(lái)確定。

2.2向量讀寫(xiě)電路設(shè)計(jì)

解決尋址后另一個(gè)問(wèn)題就是讀寫(xiě)控制，對(duì)于普通讀寫(xiě)電路，以VL=n為例，取一個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)x需要n條取數(shù)指令，并且要配合地址加一操作，共需要2n條匯編指令，耗費(fèi)2n個(gè)時(shí)鐘周期。讀寫(xiě)操作是頻繁的，因此迫切需要提高讀寫(xiě)效率。

一個(gè)坐標(biāo)x被分成n個(gè)分量 (x1, x2,…,xn)進(jìn)行存儲(chǔ)。這種存儲(chǔ)具有向量操作的特點(diǎn)，適于采用向量結(jié)構(gòu)的存儲(chǔ)單元[8]。向量操作是單指令多數(shù)據(jù)流(SIMD)的一種實(shí)現(xiàn)，是開(kāi)發(fā)數(shù)據(jù)級(jí)并行性的有效模型[9]。一條向量指令對(duì)一組數(shù)據(jù)指定了相同的操作，相當(dāng)于完成一個(gè)循環(huán)操作。向量操作的特點(diǎn)就是單指令多操作，對(duì)數(shù)據(jù)的讀取就需要用一條指令讀出完整長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)。每組數(shù)據(jù)之間相互獨(dú)立，不存在相關(guān)性，可以實(shí)現(xiàn)多個(gè)相同操作的并行執(zhí)行。因此，本文引入向量操作，用一條指令完成存取，以提升取數(shù)效率，減少指令數(shù)，縮短存取時(shí)間。

用一條指令完成一組數(shù)據(jù)的存取，只需將讀寫(xiě)使能信號(hào)根據(jù)向量長(zhǎng)度VL保持n個(gè)有效周期，取出一個(gè)完整坐標(biāo)x的n個(gè)分量，地址自增加1由硬件配合同步。由此，取點(diǎn)P的一個(gè)橫坐標(biāo)x，指令數(shù)從2n條降為1條，周期數(shù)從2n降為n。

存取時(shí)間還存在進(jìn)一步降低的空間：由于橢圓曲線密碼中的參數(shù)位寬較大，實(shí)現(xiàn)上通常采用小位寬的基本運(yùn)算單元多次調(diào)用或級(jí)聯(lián)拼接來(lái)完成，通過(guò)流水分割解決數(shù)據(jù)間的相關(guān)性，如圖4所示。很多算法理論上支持這樣的拼接迭代，實(shí)際的算法實(shí)現(xiàn)上也通常采用這種策略，即第一組數(shù)據(jù)分量進(jìn)入運(yùn)算模塊后即開(kāi)始運(yùn)算，相當(dāng)于存取數(shù)據(jù)的時(shí)間僅為第一個(gè)分量存取的時(shí)間，其他分量存取與執(zhí)行時(shí)間重疊。因此存取時(shí)間進(jìn)一步縮短至1個(gè)時(shí)鐘周期。

圖4　向量指令并行執(zhí)行模式

2.3設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)

統(tǒng)一尋址電路和向量讀寫(xiě)電路如圖5所示。

圖5　向量指令并行執(zhí)行模式

上半部分為向量使能EN_VL產(chǎn)生電路：初始使能信號(hào)EN高有效一個(gè)周期，表示開(kāi)始向量操作，經(jīng)過(guò)多級(jí)寄存器寄存后的延遲信號(hào)，在“*”單元中根據(jù)VL的值選擇性地進(jìn)行“或”操作，得到一個(gè)保持VL個(gè)周期高有效的使能信號(hào)EN_VL，即向量使能信號(hào)；

下半部分為向量地址產(chǎn)生電路：虛框內(nèi)為統(tǒng)一尋址電路，通過(guò)模式選擇信號(hào)Mode1和Mode0確定地址生成公式，即分別控制VL是否乘“2”和Rk是否減“1”，以滿足三種算法需求。生成的初始地址，在向量使能信號(hào)EN_VL高有效的前一個(gè)周期存入地址寄存器Addr_reg，向量使能EN_VL高有效的VL個(gè)周期中，Addr_reg在各周期內(nèi)完成自加1操作，產(chǎn)生向量地址信號(hào)Addr。

統(tǒng)一的尋址和向量讀寫(xiě)電路實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，資源占用極少，卻可以帶來(lái)較高的性能提升。

3性能分析

本文的設(shè)計(jì)在性能提升上體現(xiàn)在兩方面：一是該結(jié)構(gòu)支持預(yù)計(jì)算存儲(chǔ)，進(jìn)而可以適配預(yù)計(jì)算類(lèi)快速標(biāo)量乘算法帶來(lái)的性能提升；二是向量結(jié)構(gòu)使得指令數(shù)減少，訪問(wèn)存儲(chǔ)時(shí)間縮短帶來(lái)的性能提升。

3.1支持預(yù)計(jì)算類(lèi)算法所帶來(lái)的性能提升

首先，本文設(shè)計(jì)的向量存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)特別適合預(yù)計(jì)算類(lèi)標(biāo)量乘算法，能有效提高標(biāo)量乘實(shí)現(xiàn)效率。三種算法在不同窗口長(zhǎng)度w下性能提升程度不同，將其與未采用預(yù)計(jì)算的原始算法——“從左至右二進(jìn)制”方法進(jìn)行對(duì)照。在素域上，點(diǎn)加A計(jì)算量是倍點(diǎn)D計(jì)算量的1.4倍，據(jù)此得到各情況下算法期望運(yùn)算時(shí)間與原始算法的百分比如圖6所示。

圖6　預(yù)計(jì)算標(biāo)量乘算法性能提升

從圖6可以看出固定基類(lèi)的算法計(jì)算量降低明顯，不過(guò)其存儲(chǔ)點(diǎn)的資源也較大；NAF窗口法計(jì)算量降低相對(duì)較小，但適用于非固定基的情況，存儲(chǔ)需求小。具體選用何種算法需綜合考慮性能和資源及應(yīng)用需求。本文的設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)對(duì)上述類(lèi)型的算法均能夠較好地支持，性能提升范圍達(dá)20%至75%。

3.2存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)的性能提升

本文設(shè)計(jì)的向量結(jié)構(gòu)存儲(chǔ)單元，在滿足算法需求的必要存儲(chǔ)資源基礎(chǔ)上，僅增加統(tǒng)一尋址和讀寫(xiě)控制電路的少量資源，卻帶來(lái)了訪問(wèn)存儲(chǔ)上性能的顯著提升。指令條數(shù)由2n降為1，間接降低了譯碼、數(shù)據(jù)相關(guān)等環(huán)節(jié)的硬件代價(jià)，在資源消耗上看，甚至是不增反減的。

訪問(wèn)存儲(chǔ)時(shí)間的提升十分明顯，消耗時(shí)鐘周期數(shù)最大可從2n降為1。以NIST推薦的3種長(zhǎng)度橢圓曲線為例，選取長(zhǎng)度分別為256、384、521 bit的三類(lèi)曲線，存儲(chǔ)單元基本位寬選用32、64、128 bit，圖7中給出了各種情況下的采用向量結(jié)構(gòu)訪存時(shí)間占普通結(jié)構(gòu)訪存時(shí)間的百分比。

圖7　向量結(jié)構(gòu)訪存時(shí)間占原時(shí)間的比率

可以看出，在存儲(chǔ)單元位寬相同時(shí)，曲線長(zhǎng)度越大，訪存時(shí)間占原時(shí)間的比率越小，進(jìn)而性能提升比率越大；在曲線長(zhǎng)度一定時(shí)，存儲(chǔ)單元位寬越越小，訪存時(shí)間占原時(shí)間的比率越小，進(jìn)而性能提升比率越大。存儲(chǔ)單元位寬的選取應(yīng)綜合考慮各種因素，適合具體應(yīng)用需求，總體來(lái)說(shuō)，與傳統(tǒng)的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)相比，節(jié)省訪問(wèn)存儲(chǔ)時(shí)間達(dá)75%至95%。

4結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)多種預(yù)計(jì)算類(lèi)標(biāo)量乘算法進(jìn)行分析，提取預(yù)計(jì)算數(shù)據(jù)的訪存特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了向量結(jié)構(gòu)的存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)。統(tǒng)一尋址電路和高效的讀寫(xiě)電路有效提升了該類(lèi)算法訪存效率，有效減少指令條數(shù)，降低譯碼等硬件代價(jià)，減少了循環(huán)控制開(kāi)銷(xiāo)，并極大地縮短了存取時(shí)間。

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中圖分類(lèi)號(hào)TP309.7

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A

DOI:10.3969/j.issn.1000-386x.2016.02.075

收稿日期：2014-05-27。李博，碩士生，主研領(lǐng)域：專(zhuān)用集成電路設(shè)計(jì)。王威，碩士生。嚴(yán)迎建，副教授。李偉，講師。