積分變換在無(wú)窮限積分計(jì)算中的應(yīng)用

余麗琴 董玉娟

摘要：本文利用積分變換（Fourier變換和Laplace變換）來(lái)計(jì)算無(wú)窮限積分，通過(guò)具體的實(shí)例說(shuō)明采用積分變換計(jì)算特殊類型的無(wú)窮限積分是簡(jiǎn)便、有效的，是對(duì)用初等方法計(jì)算無(wú)窮限積分的一個(gè)很好補(bǔ)充。

關(guān)鍵詞：無(wú)窮限積分；Fourier變換；Laplace變換

中圖分類號(hào)：G642.3 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）09-0171-03

一、引言

廣義積分（或稱反常積分）的反常性既表現(xiàn)在積分區(qū)間為無(wú)窮區(qū)間，又表現(xiàn)為被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)部出現(xiàn)瑕點(diǎn)。當(dāng)廣義積分被積函數(shù)的原函數(shù)不好找或者不存在初等函數(shù)的原函數(shù)時(shí)，反常積分的求解就不太容易討論，也就難于求值，因此除了掌握用基本方法外，還應(yīng)了解一些特殊類型積分的求解方法。

求解無(wú)窮限積分的方法還有很多，如文獻(xiàn)中就介紹了利用留數(shù)來(lái)計(jì)算某些類型的無(wú)窮限積分.但要利用留數(shù)計(jì)算定積分，需具備兩個(gè)條件：一是被積函數(shù)與某個(gè)解析函數(shù)有關(guān)；二是選擇相應(yīng)的封閉路徑，由于封閉路徑的形狀可能是多種多樣，再者周線上有奇點(diǎn)的時(shí)候還要繞過(guò)去，因此由于選擇封閉路徑的困難使得利用留數(shù)計(jì)算無(wú)窮限積分的方法也受到了很大的限制。

積分變換（Fourier變換和Laplace變換）的理論和方法在數(shù)學(xué)的許多分支、其他自然科學(xué)、工程技術(shù)中均有廣泛應(yīng)用.本文通過(guò)具體的實(shí)例展現(xiàn)利用積分變換計(jì)算某些特殊類型的無(wú)窮限積分的思想和方法，以及相對(duì)于初等方法方法的優(yōu)勢(shì)，對(duì)積分變換計(jì)算某些特殊類型的無(wú)窮限積分的應(yīng)用做了淺顯的討論。

二、利用拉普拉斯變換的定義計(jì)算無(wú)窮限積分

對(duì)比兩種方法，可以看到利用積分變換計(jì)算比用留數(shù)的方法計(jì)算更方便和更簡(jiǎn)捷。

四、利用傅立葉變換及其逆變換的定義計(jì)算無(wú)窮限積分

定義：如果函數(shù)f（x）滿足Fourier積分定理中的條件，也就是函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）滿足下列條件：1）f（x）在任一有限區(qū)間上滿足Dirichlet條件；2）f（x）在無(wú)限區(qū)間

例5和例6利用傅立葉變換及其逆變換的定義計(jì)算含參變量的無(wú)窮限積分，高數(shù)中計(jì)算含參變量的無(wú)窮限積分，一般只能按定義進(jìn)行，難點(diǎn)在于要求出被積函數(shù)的原函數(shù)，而一些看似簡(jiǎn)單的函數(shù)想要找到其原函數(shù)，在實(shí)函數(shù)理論中幾乎辦不到，即使能夠找到，過(guò)程也很繁瑣，而利用積分變換法解決這種問(wèn)題，就可以避免求原函數(shù)，從而簡(jiǎn)化了計(jì)算，具有較強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值。

五、總結(jié)

本文通過(guò)具體的實(shí)例說(shuō)明利用積分變換計(jì)算特殊類型的無(wú)窮限積分是一種簡(jiǎn)便而有效的方法和途徑，它克服了初等方法的局限性，是對(duì)初等方法的一個(gè)很好的補(bǔ)充.

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