碩士研究生課程教學(xué)方法的探索與實(shí)踐
——數(shù)學(xué)專業(yè)《常微分方程定性理論》教學(xué)方法初探

朱　捷，徐秀艷，杜　紅，王新霞，馮玉鐵

（黑龍江科技大學(xué)，黑龍江哈爾濱150022）

碩士研究生課程教學(xué)方法的探索與實(shí)踐
——數(shù)學(xué)專業(yè)《常微分方程定性理論》教學(xué)方法初探

朱捷，徐秀艷，杜紅，王新霞，馮玉鐵

（黑龍江科技大學(xué)，黑龍江哈爾濱150022）

數(shù)學(xué)碩士研究生課程的教學(xué)中普遍存在著單向傳授，被動(dòng)接受的弊端。文章針對數(shù)學(xué)專業(yè)《常微分方程定性理論》課程的教學(xué)內(nèi)容，采取案例教學(xué)、研討教學(xué)、專題研究等方式，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、探究能力、寫作能力及團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力，提升研究生的應(yīng)用、研究與創(chuàng)新能力。

碩士研究生；常微分方程定性理論；教學(xué)方法

目前，我國碩士培養(yǎng)的教學(xué)方式中的主要問題是講授法統(tǒng)治著整個(gè)課堂。雖然，課堂講授是培養(yǎng)人才不可取代的重要手段，但是，課堂講授以重視知識(shí)的繼承，單向傳授知識(shí)為主而忽視了知識(shí)獲取的方法和創(chuàng)新，從而忽視了培養(yǎng)學(xué)生的反思能力、實(shí)踐能力、行動(dòng)研究能力。因此，為使研究生教育更好地適應(yīng)我國經(jīng)濟(jì)社會(huì)的發(fā)展，努力造就一流科學(xué)家和科技領(lǐng)軍人才，培養(yǎng)一線創(chuàng)新實(shí)踐人才，應(yīng)該創(chuàng)新課堂教學(xué)方法。課程的內(nèi)容雖由學(xué)科的需要設(shè)定，然而授課的形式則應(yīng)服務(wù)于內(nèi)容。針對不同的課程、學(xué)生的不同需求，應(yīng)采用教師主導(dǎo)學(xué)生主體的多樣化課堂教學(xué)方式，將課堂講授與課堂討論、案例教學(xué)、模擬教學(xué)、教育調(diào)查、課例研究、現(xiàn)場研究、團(tuán)隊(duì)學(xué)習(xí)等教學(xué)方法有機(jī)結(jié)合，形成多元化的課堂教學(xué)形式。例如，基礎(chǔ)內(nèi)容以教師講解為主；個(gè)別內(nèi)容采用講授和討論相結(jié)合的方式；部分內(nèi)容采用以學(xué)生為主的討論式教學(xué)模式；部分內(nèi)容則采用問答式教學(xué)模式。通過學(xué)生的積極參與，達(dá)到促使學(xué)生最大效率獲取知識(shí)的目的。

基于上述碩士研究生教學(xué)方式的有關(guān)問題，我們認(rèn)為教學(xué)方式的多樣化可以從以下幾方面考慮，并且針對數(shù)學(xué)碩士專業(yè)課程《常微分方程定性理論》的部分教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行舉例說明。

一、強(qiáng)化案例教學(xué)

案例式教學(xué)法是指結(jié)合來自于實(shí)際或具有高度仿真性的案例，使學(xué)生融于現(xiàn)實(shí)事件、問題、活動(dòng)的情境中，通過對現(xiàn)實(shí)事件、問題、活動(dòng)的諸多方面因素、模型的關(guān)系及發(fā)展過程的研究、討論，提高實(shí)際分析、解決問題的能力，重視雙向交流、鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考、變注重知識(shí)為注重能力。

在《常微分方程定性理論》課程講授過程中要不斷結(jié)合具體模型，針對不同的模型表達(dá)形式、不同的參數(shù)、不同參數(shù)取值范圍來討論系統(tǒng)的性質(zhì)。在一維常微分方程單參數(shù)分支中討論了幾種典型的分支類型：鞍結(jié)點(diǎn)分支，跨臨界分子，干草叉分支，復(fù)合分支。在二維常微分方程單參數(shù)分支中討論了幾種典型的分支：極限環(huán)、同宿環(huán)、異宿環(huán)、HOPF分支等。我們再具體講授過程中可以結(jié)合果蠅模型、磁浮軸承JEFFCOTT轉(zhuǎn)子模型、Kaldor-Kalecki商業(yè)周期模型討論分析它們的分支類型。具體教學(xué)單元方法應(yīng)用為：（1）基礎(chǔ)理論知識(shí)——采用導(dǎo)入式教學(xué)模式，從實(shí)際問題出發(fā)，通過分析問題的原因和根源，導(dǎo)出該問題所涉及的理論機(jī)理，并演示其解決問題的途徑；（2）實(shí)際案例——采用案例教學(xué)法，選取“實(shí)際案例”中的典型案例，通過案例剖析、視頻在線的方法讓學(xué)生真實(shí)體驗(yàn)實(shí)際案例的研究過程和結(jié)果，讓學(xué)生“零距離”接觸真實(shí)的研究項(xiàng)目；（3）模擬案例—采用情景—任務(wù)教學(xué)法，首先為學(xué)生設(shè)定好模擬案例環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)情景，學(xué)生按學(xué)習(xí)情景完成學(xué)習(xí)任務(wù)后，再給學(xué)生下達(dá)研究任務(wù)，借助教師的在研項(xiàng)目讓學(xué)生以真實(shí)問題為背景，進(jìn)行具體項(xiàng)目相關(guān)內(nèi)容的研究，根據(jù)學(xué)生的研究成果判斷其學(xué)習(xí)效果。

二、倡導(dǎo)研討教學(xué)

研討式教學(xué)方法也被稱為研究探討式教學(xué)，也可以被稱為自由探討式教學(xué)，它主要是相對傳授知識(shí)為主的講授教學(xué)。研討教學(xué)一般是按照規(guī)定的教學(xué)目標(biāo)，把握教學(xué)重點(diǎn)，制定學(xué)習(xí)范圍，圍繞某一主題展幵。研討式教學(xué)主要用來激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，幫助他們提高分析和解決問題的能力，這種教學(xué)方式對解決碩士學(xué)習(xí)時(shí)間短而學(xué)習(xí)內(nèi)容相對較多的矛盾起到重要作用，使得學(xué)生在較短時(shí)間內(nèi)對某一問題有較深刻的認(rèn)識(shí)，起到了事半功倍的效果。

在《常微分方程定性理論》課程講授時(shí)，我們采用將整個(gè)課堂教學(xué)過程分為三階段。第一階段是預(yù)備知識(shí)、基本概念掌握階段，在此階段，教師主講，每堂課首先根據(jù)身邊的學(xué)習(xí)生活中的應(yīng)用實(shí)例，提出一些簡單的基本問題，教師進(jìn)行基本內(nèi)容講解，然后學(xué)生根據(jù)講解的內(nèi)容，將前面提出的問題給予一定的解答，做到學(xué)生帶著問題來掌握基本概念，達(dá)到激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的目的。第二階段是掌握分析問題的“鑰匙”階段，基本原理掌握階段。在此階段，教師仍然主講，但是學(xué)生參與加重，每次下課前，將實(shí)際科研工作中具體問題提出來，讓學(xué)生課下進(jìn)行思考和查閱文獻(xiàn)。下次課學(xué)生首先進(jìn)行討論，然后教師歸納，將基本的原理知識(shí)進(jìn)行系統(tǒng)的、要點(diǎn)的講解，將課堂灌輸?shù)姆忾]型教學(xué)模式，轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生參與模式，使學(xué)生真正掌握最基本的理論；教師在講解中特別注重解答思路的邏輯層次、注重對比分析問題方式的運(yùn)用、注重學(xué)生所熟悉的實(shí)際應(yīng)用例子來說明、注重常微分方程定性理論的思維主線。第三階段是鑰匙運(yùn)用階段，具體分為產(chǎn)生問題、綜合分析階段。（1）發(fā)現(xiàn)問題階段，設(shè)計(jì)在穩(wěn)定性基本理論的教學(xué)模塊進(jìn)行，在此階段以實(shí)際應(yīng)用例子的具體模型為導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題，研究解答問題；鼓勵(lì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和自主探究，勇于創(chuàng)新。（2）綜合運(yùn)用分析階段，設(shè)計(jì)在系統(tǒng)穩(wěn)定性與Hoft分支的應(yīng)用教學(xué)模塊進(jìn)行，該階段學(xué)生主講，將教學(xué)內(nèi)容分為多個(gè)主題，課下學(xué)生分組進(jìn)行內(nèi)容準(zhǔn)備，課上每組代表進(jìn)行講解，教師進(jìn)行歸納、點(diǎn)評，特別注重引導(dǎo)學(xué)生通過對比、聯(lián)想等方式掌握更多的知識(shí)、如何將知識(shí)靈活運(yùn)用，達(dá)到課程研究的目的。

在《常微分方程定性理論》的穩(wěn)定性理論章節(jié)中，從一階非線性微分方程平衡點(diǎn)的李雅普諾夫穩(wěn)定性開始，引入不同的具體模型：食餌—捕食系統(tǒng)，Kaldor-Kalecki商業(yè)周期系統(tǒng)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等分配給不同的學(xué)生，研究討論具體的系統(tǒng)模型的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定的判定方法，分析總結(jié)系統(tǒng)的線性近似決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，從而得出平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性理論基礎(chǔ)：由其線性部分的系數(shù)矩陣特征值的實(shí)部的正負(fù)決定，具有負(fù)實(shí)部時(shí)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)漸進(jìn)穩(wěn)定，正實(shí)部時(shí)平衡點(diǎn)不穩(wěn)定，具有零解時(shí)為臨界情形，投影到中心流行上，利用中心流行理論與規(guī)范型理論決定平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。

三、鼓勵(lì)專題研究

專題研究是指圍繞某一教學(xué)問題，教師與學(xué)生一同進(jìn)行研究。在這個(gè)過程中，主要是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力，并且通過共同討論來提出不同的研究結(jié)果，最后綜合考量各種因素，以此獲得對某一問題的深刻認(rèn)識(shí)。要提高研究生的探索和研究能力，必須有實(shí)踐環(huán)節(jié)的配合，否則只能停留在紙上談兵的層面上。為了讓學(xué)生能將課內(nèi)學(xué)習(xí)與課外課題研究結(jié)合起來，加強(qiáng)研究生獲取知識(shí)能力、創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力，在教學(xué)過程中應(yīng)通過對不同學(xué)科領(lǐng)域的研究課題所涉及的計(jì)算內(nèi)容進(jìn)行討論分析，達(dá)到使研究生的研究能力迅速提高的目的，提高學(xué)生分析問題及解決問題的能力，牢固樹立理論聯(lián)系實(shí)際的工程觀。

在《常微分方程定性理論》中，對系統(tǒng)的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的臨界情況可以讓學(xué)生展開專題性的研究——運(yùn)用中心流行理論與規(guī)范型理論，針對不同的系統(tǒng)討論分支問題，并進(jìn)行系統(tǒng)的不斷變形：引入單一時(shí)間滯后量，雙時(shí)間滯后量，以此進(jìn)行系統(tǒng)的全面探討，掌握系統(tǒng)穩(wěn)定性判定條件，分支類型，分支穩(wěn)定性，分支方向等問題。

除了以上給出的教學(xué)形式外，教學(xué)形式多樣化還應(yīng)有許多其他較好的途徑，我們僅列出了一些方案，又如專題匯報(bào)、學(xué)術(shù)沙龍、學(xué)術(shù)講座等教學(xué)方式都可以融入到數(shù)學(xué)碩士專業(yè)課程中來，唯一的標(biāo)準(zhǔn)就是這些學(xué)習(xí)方式一定要有利于實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)專業(yè)碩士培養(yǎng)的目標(biāo)，有利于將他們培養(yǎng)成為學(xué)術(shù)型人才，又要將他們培養(yǎng)成為研究型人才，圍繞這一目標(biāo)，開展多種多樣的教學(xué)活動(dòng)，必定對實(shí)現(xiàn)碩士培養(yǎng)目標(biāo)起到積極有效的推動(dòng)作用。

［1］金玲.教育碩士培養(yǎng)的問題與對策研究——以湖南師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院為例［D］.2012.

［2］Wei Junjie.Hopf bifurcation analysisin adelayedNicholson blowfliesequation［J］.Nonlinearanalysis，2005，60：1351-1367.

［3］Xu Xiuyan，Jiang Weihua.Singularity Analysis of Jeffcott R otor-magneticBearingwithtimeDelays［J］.AppliedMathematics，2012，4（27），419-427.

［4］徐秀艷.具雙時(shí)滯的Ka ldor-Ka lecki商業(yè)周期系統(tǒng)的HOPF分支分析［J］.哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，4（28），472-476.

編輯/趙卓然

朱捷（1964－），女，浙江寧波人，博士，教授，研究方向：數(shù)量遺傳學(xué)。

黑龍江省學(xué)位與研究生教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（JGXM－HLJ－2014114）