幾種隨機(jī)微分方程數(shù)值方法與數(shù)值模擬

周迎春

（江蘇省宿遷經(jīng)貿(mào)高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校，江蘇宿遷223600）

幾種隨機(jī)微分方程數(shù)值方法與數(shù)值模擬

周迎春

（江蘇省宿遷經(jīng)貿(mào)高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校，江蘇宿遷223600）

近幾年來，隨機(jī)微分方程在工程控制、系統(tǒng)科學(xué)以及生態(tài)學(xué)中的應(yīng)用越來越廣泛，因而，對(duì)該方程本身和方程解性態(tài)等課題的研究就顯得尤為重要。文章通過建立分裂步θ數(shù)值法以求解隨機(jī)微分方程，并分析了其均方穩(wěn)定性和收斂性，同時(shí)還實(shí)施了數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)，以期能夠得到隨機(jī)微分方程有效的數(shù)值方法。

隨機(jī)微分方程（SD E）；數(shù)值方法；數(shù)值模擬試驗(yàn)

微分方程的數(shù)值解一直是一個(gè)內(nèi)容豐富、多彩的研究領(lǐng)域。目前，對(duì)于常微分方程等確定性系統(tǒng)的數(shù)值解已經(jīng)步入了更加深入研究階段，還出現(xiàn)了工具箱、軟件包等數(shù)值求解工具。常微分方程的數(shù)值解能夠?yàn)樽兓瘯r(shí)的系統(tǒng)變化與發(fā)展情況、不同初始點(diǎn)與系統(tǒng)解的關(guān)聯(lián)等問題的分析提供參考。從實(shí)際情況來看，因?yàn)閿?shù)學(xué)模型是物理現(xiàn)象的主要表現(xiàn)，隨著物理世界的發(fā)展，數(shù)學(xué)模型逐漸變得復(fù)雜化、精密化，在數(shù)學(xué)模型中，隨機(jī)因素的作用也越來越重要，這些模型主要表現(xiàn)為帶有空間（時(shí)間）變量的偏微分方程或隨機(jī)微分方程。而對(duì)于隨機(jī)微分方程，若單純從數(shù)值計(jì)算的角度來看，可將其看作在常微分方程中引入隨機(jī)元素而得到。盡管目前人們普遍熱衷于利用隨機(jī)微分方程構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，但由于與隨機(jī)因素相伴的復(fù)雜性，若缺乏有效的數(shù)值計(jì)算工具和方法，僅僅靠模型并不能解決實(shí)際問題。

一、與隨機(jī)微分方程有關(guān)的基本概念

（一）基本形式

一般情況下，常微分方程的形式為：

若時(shí)間系統(tǒng)確定依賴初始狀態(tài)，通常都可以將其表示成為一定的常微分方程模型。但是在實(shí)際情況中，因?yàn)榇嬖陔S機(jī)擾動(dòng)，這一過程中常常會(huì)發(fā)生不確定性，上述方程不再是描述時(shí)間系統(tǒng)最準(zhǔn)確、最有效的工具，因而，只有對(duì)上述方程進(jìn)行適當(dāng)改變，才能保證其準(zhǔn)確反映實(shí)際生活之中的現(xiàn)象。在上述方程中引入隨機(jī)干擾項(xiàng)，可轉(zhuǎn)化隨機(jī)微分方程，如下：

在上式中，f和g均為普通函數(shù)，且f：J*Rd→Rd，g： J*Rd→Rd*M f和g為給定Borel可測(cè)函數(shù)。為給定m維的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，上述公式具有以下定義：①任何一組隨機(jī)變量都可以稱作以T為參數(shù)集的一種隨機(jī)過程。②在某一隨機(jī)過程中，被稱為布朗運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其滿足：條件1：B0=0.此時(shí)為獨(dú)立增量過程，亦即對(duì)于任意互不相交區(qū)間……（sn，tn］，其對(duì)應(yīng)的增量均是相互獨(dú)立的；條件2：對(duì)于任意的t>0，s≥0，增量；條件3：對(duì)于任一樣本點(diǎn)，其樣本軌道均為連續(xù)函數(shù)，且作為t的函數(shù)而存在。

（二）解存在的唯一性

與此同時(shí)，假如有正數(shù)K1、K2可使以下條件成立：Lipschitz條件下，對(duì)任意的在線性增長條件下，對(duì)于任意的，那么，方程就存在唯一的解x（t），同時(shí)其中，為a與b中較大的一個(gè)，為a與b中較小的一個(gè)。

（三）均方收斂性

給出隨機(jī)微分方程如下：

若上式的數(shù)值求解方法為均方收斂的，如果存在不依賴步長h、k的正常數(shù)M，使得那么就稱該數(shù)值方法強(qiáng)收斂階為p。

通過上述基本概念研究，可以總結(jié)得出：隨機(jī)微分方程的解是唯一存在的，其數(shù)值方法也有特定的收斂性。

二、分裂步θ方法

再考慮到一維隨機(jī)微分方程

在上述公式當(dāng)中，B（t）為Brownian運(yùn)動(dòng)，若上述方程能夠滿足以下條件，則方程有唯一解x（t），同時(shí)還存在即有正常數(shù)K1、K2，能夠使：①在Lipschitz條件下，對(duì)于任意②在線性增長條件下，對(duì)于任意的其中為a與b中較大的一個(gè)中較小的一個(gè)。

假設(shè)上述Lipschitz條件、線性增長條件均滿足，那么該一維隨機(jī)方程的解不僅存在，而且是唯一的。分裂步θ方法本身的迭代格式為：

三、分裂步平穩(wěn)θ法

在常見動(dòng)物隨機(jī)微分方程之中，一般對(duì)解的解析性質(zhì)有著較高的要求，即要求解為正值。在此情況下，就須要設(shè)計(jì)一種數(shù)值算法，使每一步得出的解均為正數(shù)，因此，平穩(wěn)方法隨之提出。平穩(wěn)方法是一種允許函數(shù)控制積分的特殊解析行為。

隨機(jī)微分方程的求解平穩(wěn)方法為：

在上述式中，函數(shù)c0、c1均稱為控制函數(shù)，它們只有符合以下條件才能保證穩(wěn)定方法的收斂性。假設(shè)c0、c1為有界m*m矩陣值函數(shù)，那么對(duì)于任意實(shí)數(shù)其和所有步長h，那么矩陣不僅存在而且能滿足條件在上式中，K為正常數(shù)，I為單位矩陣。

下面再證明穩(wěn)定方法下數(shù)值解的均方穩(wěn)定性，選擇Ito標(biāo)量線性實(shí)驗(yàn)方程，如下：來替代上述方程式的精確解。根據(jù)數(shù)值解穩(wěn)定性判定定義，裂步平穩(wěn)θ 法為均方穩(wěn)定的條件為：

下面就對(duì)取不同θ、λ值時(shí)，根據(jù)Matlab作圖法，來對(duì)穩(wěn)定區(qū)域進(jìn)行確定和討論。當(dāng)λ固定，但θ取不同值時(shí)，可以觀察到不管θ、λ值如何變化，圖像顯示分裂步平穩(wěn)θ法的均方穩(wěn)定區(qū)域均含有線性試驗(yàn)方程平凡解其對(duì)應(yīng)的所有均方漸進(jìn)穩(wěn)定區(qū)域，因而該方法始終都是A穩(wěn)定的。當(dāng)θ固定，但λ取不同值時(shí)，可以同樣觀察到不管θ、λ值如何變化，圖像顯示分裂步平穩(wěn)θ法的均方穩(wěn)定區(qū)域均含有線性試驗(yàn)方程平凡解其對(duì)應(yīng)的所有均方漸進(jìn)穩(wěn)定區(qū)域，故而該方法始終都是A穩(wěn)定的。

四、結(jié)論

隨機(jī)微分方程出現(xiàn)于20世紀(jì)，在一個(gè)世紀(jì)內(nèi)，其相關(guān)理論的發(fā)展速度明顯加快，在實(shí)際生活中均有應(yīng)用。在過去，確定性數(shù)值模型被廣泛應(yīng)用在生物、物理、經(jīng)濟(jì)和控制等多個(gè)領(lǐng)域，但是在科學(xué)技術(shù)不斷發(fā)展、推進(jìn)的背景下，可以發(fā)現(xiàn)局限于確定性因素的數(shù)值模型研究往往不能滿足現(xiàn)實(shí)生活需要，也不能完全反映現(xiàn)實(shí)生活情況。因而，在研究這些數(shù)學(xué)模型時(shí)，需要把那些不確定因素加入進(jìn)去，以此來適應(yīng)不斷變化和發(fā)展的物理世界需要。對(duì)隨機(jī)微分方程進(jìn)行研究，主要目的是得出其精確、有效的解，但從目前情況來看，要得到精確解并不容易。在實(shí)際研究過程當(dāng)中，更為重要的是建立起完整的、有效的隨機(jī)微分方程數(shù)值求解方法。本研究主要是通過構(gòu)造隨機(jī)微分方程的分裂步θ數(shù)值法來開展研究，還對(duì)該種數(shù)值方法的均方穩(wěn)定性、收斂性進(jìn)行了全面的分析。此外，還運(yùn)用了數(shù)值模擬試驗(yàn)、Matlab作圖法驗(yàn)證證實(shí)了無論θ、λ那一項(xiàng)為固定的，分裂步平穩(wěn)θ法均方都是穩(wěn)定的。

盡管隨機(jī)微分方程能夠在金融、人口動(dòng)力學(xué)、水文學(xué)以及生物廢物處理等重要工程領(lǐng)域、自然科學(xué)領(lǐng)域得到廣泛利用，但目前的隨機(jī)微分方程的數(shù)值解相關(guān)研究仍處在初始階段，主要表現(xiàn)為：可以實(shí)現(xiàn)數(shù)值計(jì)算、求解的主要隨機(jī)微分方程的類型比較單一，包括簡單非線性（線性）隨機(jī)微分方程和線性隨機(jī)微分方程組，在今后的研究過程當(dāng)中，應(yīng)該盡可能地?cái)U(kuò)充研究內(nèi)容、擴(kuò)展研究領(lǐng)域，構(gòu)造利于解決實(shí)際問題的相關(guān)特殊隨機(jī)微分方程的精確、有效數(shù)值方法，如隨機(jī)延遲方程、高階隨機(jī)方程、隨機(jī)代數(shù)方程以及隨機(jī)抽象方程等。另一方面，目前隨機(jī)微分方程在描述隨機(jī)因素時(shí)，還是停留在一維以及多維標(biāo)準(zhǔn)Wineer這一過程，對(duì)其他形式隨機(jī)因素（跳躍擴(kuò)散模型、有色噪聲式隨機(jī)系統(tǒng)等）涉及較少。同時(shí)，在現(xiàn)有數(shù)值算法的研究基礎(chǔ)上，還須要進(jìn)一步探索提高數(shù)值算法精度、穩(wěn)定性的方法，以為今后該類數(shù)值模型的運(yùn)用打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

［1］袁玲.隨機(jī)（延遲）微分方程數(shù)值方法的研究［D］.合肥工業(yè)大學(xué)，2013.

［2］吳賽楠.求解隨機(jī)微分方程的兩種數(shù)值方法［D］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2013.

［3］郭真真.隨機(jī)微分方程的幾類數(shù)值方法［D］.華中科技大學(xué)，2013.

［4］彭虎.隨機(jī)延遲微分方程數(shù)值方法的穩(wěn)定性研究［D］.合肥工業(yè)大學(xué)，2014.

編輯/趙卓然

周迎春（1980－），女，江蘇宿遷人，碩士研究生，講師，研究方向：數(shù)學(xué)教育。