基于教學(xué)優(yōu)化算法的多元超越回歸模型及其在徑流預(yù)報(bào)中的應(yīng)用

崔東文

(云南省文山州水務(wù)局，云南 文山 663000)

基于教學(xué)優(yōu)化算法的多元超越回歸模型及其在徑流預(yù)報(bào)中的應(yīng)用

崔東文

(云南省文山州水務(wù)局，云南 文山 663000)

基于超越方程內(nèi)涵,提出多元超越回歸(MTR)預(yù)報(bào)模型。通過4個(gè)典型測試函數(shù)對新型智能算法——教學(xué)優(yōu)化(TLBO)算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證,并與粒子群優(yōu)化(PSO)算法、差分進(jìn)化(DE)算法、螢火蟲(FA)算法、布谷鳥搜尋(CS)算法、混合蛙跳算法(SFLA)進(jìn)行對比分析。利用TLBO算法尋優(yōu)MTR模型參數(shù),提出TLBO-MTR預(yù)報(bào)模型,并構(gòu)建TLBO-支持向量機(jī)(TLBO-SVM)、TLBO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(TLBO-BP)、TLBO-多元二項(xiàng)式回歸(TLBO-MBR)預(yù)報(bào)模型作對比;以云南省西洋站和董湖站12月份月徑流預(yù)報(bào)為例,進(jìn)行實(shí)例驗(yàn)證。結(jié)果表明:①TLBO算法收斂精度優(yōu)于PSO、DE、FA、CS和SFLA算法,表現(xiàn)出較好的收斂精度和全局尋優(yōu)能力；②TLBO-MTR模型對于西洋站和董湖站10年預(yù)報(bào)的平均相對誤差絕對值分別為5.59%、6.60%,均優(yōu)于TLBO-SVM、TLBO-BP和TLBO-MBR預(yù)報(bào)模型,表現(xiàn)出較好的預(yù)報(bào)精度。TLBO-MTR模型預(yù)報(bào)方法可為水文預(yù)測預(yù)報(bào)提供新的途徑,具有良好的應(yīng)用前景。

徑流預(yù)報(bào);教學(xué)優(yōu)化算法;多元超越回歸;參數(shù)優(yōu)化

探索研究具有較好預(yù)報(bào)效果的模型及方法一直是水文預(yù)測預(yù)報(bào)中的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。由于水文預(yù)測預(yù)報(bào)的復(fù)雜性、非線性、系統(tǒng)性和不確定性,使得傳統(tǒng)回歸分析法、成因預(yù)測法、數(shù)理統(tǒng)計(jì)法等方法往往難以達(dá)到理想的預(yù)報(bào)效果。傳統(tǒng)回歸分析法雖然簡單,但預(yù)報(bào)精度與新興的小波分析[1]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[2-5]、集對分析[6]、灰色預(yù)測[7-8]、支持向量機(jī)[9-12]、組合預(yù)測[13-14]等方法相比尚顯不足。超越方程是指含有未知變量的對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)等方程,可用于表征復(fù)雜的系統(tǒng)過程?；诔椒匠虄?nèi)涵,提出指數(shù)型多元超越回歸(Multiple Transcendence Regression,MTR)徑流預(yù)報(bào)模型:

(1)

式中:Y為預(yù)報(bào)對象;X為預(yù)報(bào)因子;α為待優(yōu)化指數(shù)參數(shù),為一定區(qū)間內(nèi)的實(shí)數(shù)。

從式(1)可以看出,預(yù)報(bào)對象Y預(yù)報(bào)精度的高低,除取決于預(yù)報(bào)因子X與預(yù)報(bào)對象Y的相關(guān)性外,待優(yōu)化指數(shù)參數(shù)α對預(yù)報(bào)結(jié)果的影響也至關(guān)重要。超越方程的實(shí)根求解是科學(xué)技術(shù)和工程實(shí)踐中較難解決的數(shù)學(xué)問題,傳統(tǒng)求解超越方程實(shí)根的方法有對分法、牛頓法、弦截法等,這些方法不但求解條件要求高,而且對于復(fù)雜的水文預(yù)報(bào)問題更顯得無所適從[15]。目前,遺傳算法[16](Genetic Algorithm,GA)、粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimization,PSO)算法[15]和森林競爭算法(Forest Competition Algorithm,FCA)[17]等智能算法被嘗試用于超越方程實(shí)根的求解,并取得了較好的求解效果。然而,對于復(fù)雜的參數(shù)優(yōu)化問題,傳統(tǒng)GA、PSO算法等智能方法普遍存在收斂精度不高和易陷入局部極值等不足。教學(xué)優(yōu)化(Teaching-Learning-Based Optimization,TLBO)算法[18]是Rao等人于2012年提出的一種新型智能優(yōu)化算法。該算法靈感源于教師對學(xué)生教學(xué)過程的抽象,即教師通過對學(xué)生的“教學(xué)”和學(xué)生之間“相互學(xué)習(xí)”兩個(gè)階段來提高整個(gè)班級的成績。TLBO算法具有調(diào)節(jié)參數(shù)少、收斂精度高和全局尋優(yōu)能力強(qiáng)等特點(diǎn),在參數(shù)識別[19]、BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)閾值優(yōu)化[20]等領(lǐng)域得到應(yīng)用。

本文利用TLBO算法優(yōu)化MTR模型參數(shù),提出TLBO-MTR徑流預(yù)報(bào)模型,以云南省西洋站和董湖站12個(gè)月月徑流預(yù)報(bào)為例進(jìn)行實(shí)例驗(yàn)證。主要作法為:①通過Sphere、Griewank、Rastrigin和Ackley 4個(gè)典型測試函數(shù)對TLBO算法進(jìn)行驗(yàn)證,并與PSO算法、差分進(jìn)化(Differential Evolution,DE)算法、螢火蟲算法(Firefly Algorithm,FA)、布谷鳥搜尋(Cuckoo Search,CS)算法、混合蛙跳算法(Shuffled Frog Leaping Algorithm,SFLA)尋優(yōu)結(jié)果進(jìn)行對比,以驗(yàn)證TLBO算法的尋優(yōu)能力；②構(gòu)建TLBO-支持向量機(jī)(Support Vector Machines,SVM)、TLBO-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Back-Propagation Network,BP)、TLBO-多元二項(xiàng)式回歸(Multivariate Binomial Regression,MBR)預(yù)報(bào)模型作為TLBO-MTR模型的對比模型,并將之用于同一實(shí)例,以驗(yàn)證TLBO-MTR模型的預(yù)報(bào)精度和泛化能力。

1 TLBO算法

TLBO算法主要模擬班級的“教”與“學(xué)”兩個(gè)過程,教師將自己所學(xué)教給學(xué)生,提高了整個(gè)班級的平均成績;學(xué)生通過向教師學(xué)習(xí)以及學(xué)生之間互相溝通、互相學(xué)習(xí)提高了整個(gè)班級的創(chuàng)造性,從而促進(jìn)學(xué)生個(gè)人成績的提升[21-22]。TLBO算法主要涉及“老師”、“學(xué)生”和“班級”幾個(gè)概念。

1)班級:所有學(xué)生(搜索粒子)的集合,集合的平均解記為Xmean;

2)學(xué)生:班級中的任意個(gè)體(搜索粒子),表示為Xi=[xi1,xi2,…,xid];

3)教師:當(dāng)前代適應(yīng)度最好的個(gè)體定義為教師,表示為Xteacher。

TLBO算法的“教”階段是教師將自己的“知識”傳遞給學(xué)生,“傳遞的知識”由Xteacher和班級的平均值Xmean的差值以及教師的教學(xué)因子共同構(gòu)成;班級每個(gè)學(xué)生從教師處隨機(jī)獲取“知識”。

設(shè)一個(gè)d維的待優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)f(x),第i個(gè)學(xué)生的位置記為Xi=[xi1,xi2,…,xid],當(dāng)前代最優(yōu)適應(yīng)度記為Xteacher;當(dāng)前代群體平均解記為Xmean;則“教”階段用式(2)—(4)進(jìn)行描述:

Xi,new=Xi,old+r1(Xteacher-TFXmean)，

(2)

(3)

TF=rand([1,10])。

(4)

式中:Xi,new、Xi,old分別表示第i個(gè)學(xué)生的新位置及上一代位置;TF為1～10范圍內(nèi)的隨機(jī)整數(shù);r1=rand(0,1),為學(xué)習(xí)步長。

TLBO算法中的“學(xué)”階段是指學(xué)生間的互相學(xué)習(xí),學(xué)生通過分析自已和其他學(xué)生的差異進(jìn)行學(xué)習(xí)?！皩W(xué)”階段可描述為:對于學(xué)生Xj,從群體中隨機(jī)選擇個(gè)體k進(jìn)行學(xué)習(xí),如果f(Xj)優(yōu)于f(Xi),則:

Xj,new=Xj,old+rj(Xj-Xk)。

(5)

否則,

Xj,new=Xj,old+rj(Xk-Xj)。

(6)

式中r為0～1的隨機(jī)數(shù)。

2 算法驗(yàn)證

為客觀評價(jià)TLBO算法性能,利用Sphere、Griewank、Rastrigin和Ackley 4個(gè)典型高維函數(shù)對TLBO算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證,并與PSO、DE、FA、CS、SFLA算法尋優(yōu)結(jié)果進(jìn)行對比,見表1。

表1 基準(zhǔn)函數(shù)

其中,Sphere函數(shù)用于測試算法的收斂速度;Griewank函數(shù)用于測試算法對全局與局部搜索能力的平衡性能;Rastrigin函數(shù)用于測試算法的全局搜索能力;Ackley函數(shù)用于測試算法跳出局部極值的能力。每個(gè)測試函數(shù)均獨(dú)立運(yùn)行20次,分別求出最優(yōu)值、最劣值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差4個(gè)方面,對此4種算法進(jìn)行評估,結(jié)果見表2。

參數(shù)設(shè)置:設(shè)置TLBO算法最大迭代次數(shù)T=2 000,群體規(guī)模N=50,TF為1～10的隨機(jī)整數(shù)。設(shè)置PSO算法最大迭代次數(shù)T=2 000,種群規(guī)模N=50,ω=1,ω衰減系數(shù)為0.99,局部學(xué)習(xí)因子、全局學(xué)習(xí)因子c1=c2=2.0,個(gè)體速度限制為[-0.2,0.2]。設(shè)置DE算法最大迭代次數(shù)T=2 000,種群規(guī)模N=50,上下限的尺度因子分別為0.8、0.2,交叉率CR=0.2。設(shè)置FA算法最大迭代次數(shù)T=2 000,種群規(guī)模N=50,最大吸引度β0=2、光強(qiáng)吸收系數(shù)γ=1、步長因子α=0.2。設(shè)置CS算法最大迭代次數(shù)T=2 000,鳥窩位置數(shù)N=25、發(fā)現(xiàn)概率pa=0.25。設(shè)置SLFA算法最大迭代次數(shù)T=2 000,青蛙群體規(guī)模N=50,子群數(shù)M=5,子群內(nèi)青蛙個(gè)數(shù)P=10; 子群數(shù)局部進(jìn)化次數(shù)T1=10。

表2 函數(shù)優(yōu)化對比結(jié)果

從表2可以看出:

1)對于Sphere函數(shù),TLBO算法與PSO、DE、FA、CS和SLFA算法均獲得了較好的尋優(yōu)效果。相對而言,TLBO算法的尋優(yōu)獲得了理論全局最優(yōu)解,精度遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于SLFA、FA、PSO、DE和CS算法(所對比的5種算法的尋優(yōu)精度由優(yōu)至劣,下同),表現(xiàn)出較好的收斂速度。對于Griewank函數(shù),TLBO算法與DE算法均獲得了理論全局最優(yōu)解,尋優(yōu)效果優(yōu)于FA、CS、PSO和SLFA算法,表現(xiàn)出較好的搜索平衡能力;對于復(fù)雜函數(shù)Rastrigin, TLBO算法尋優(yōu)精度優(yōu)于DE、CS、PSO、FA和SLFA算法13個(gè)數(shù)量級以上,表現(xiàn)出較好的全局尋優(yōu)能力;對于Ackley函數(shù),TLBO算法與DE、FA和PSO算法均獲得較好的尋優(yōu)效果,相對而言,TLBO算法的尋優(yōu)精度要優(yōu)于DE、FA和PSO算法,遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于CS和SLFA算法,具有較好跳出局部極值的能力。

2)從4個(gè)典型測試函數(shù)的尋優(yōu)結(jié)果及比較分析來看,TLBO算法尋優(yōu)效果優(yōu)于PSO、DE、FA、CS和SLFA算法,表現(xiàn)出較好的收斂速度、搜索平衡能力和全局尋優(yōu)能力。

3 TLBO算法優(yōu)化MTR、SVM、BP和MBR模型參數(shù)的實(shí)現(xiàn)步驟

本文提出的多元超越回歸(MTR)預(yù)報(bào)模型見式(1);SVM、BP模型基本原理可分別參閱文獻(xiàn)[10,23]及文獻(xiàn)[24-25];多元二項(xiàng)式回歸(MBR)采用純二次模型,見式(7)。

(7)

式中:Y為預(yù)報(bào)對象;X為預(yù)報(bào)因子;β為待優(yōu)化參數(shù),為一定區(qū)間內(nèi)的實(shí)數(shù)。

TLBO算法優(yōu)化MTR、SVM、BP和MBR模型參數(shù)的實(shí)現(xiàn)步驟可歸納如下:

步驟1 選取訓(xùn)練樣本和檢驗(yàn)樣本,對于SVM、BP模型采用式(8)進(jìn)行歸一化處理。設(shè)定MTR、SVM、BP和MBR模型參數(shù)的搜尋范圍。

(8)

步驟2 確定目標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)。MTR、MBR模型以式(9)作為目標(biāo)適應(yīng)度函數(shù);SVM、BP模型以式(10)作為目標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)。

(9)

(10)

步驟3 初始化班級每個(gè)學(xué)生位置;并設(shè)置算法最大迭代次數(shù)T,群體規(guī)模N,各種待優(yōu)化模型參數(shù)維數(shù)。

步驟4 基于訓(xùn)練樣本,計(jì)算各待優(yōu)化模型對應(yīng)的所有學(xué)生目標(biāo)適應(yīng)度函數(shù)值,并在群體中選擇適應(yīng)度最佳的個(gè)體作為當(dāng)代學(xué)生的教師。

步驟5 按照式(2)—(4)進(jìn)行教師階段的迭代過程,接受好的解。

步驟6 按照式(5)—(6)進(jìn)行學(xué)生階段的迭代過程,接受好的解。

步驟7 重復(fù)步驟4—6,直到滿足算法結(jié)束條件;輸出最好解,即各待優(yōu)化模型最佳參數(shù)。

步驟8 將優(yōu)化得到的各模型最優(yōu)參數(shù)代入MTR、SVM、BP和MBR模型對檢驗(yàn)樣本進(jìn)行預(yù)報(bào)。

4 實(shí)例應(yīng)用

4.1 數(shù)據(jù)來源

以云南省西洋站1962—2005年及董湖站1959—2005年12月份平均流量為預(yù)報(bào)對象,利用SPSS軟件分析西洋站及董湖站12月份平均流量與1—11月份平均流量相關(guān)關(guān)系,見表3。

表3 12月份平均流量與1—11月份平均流量相關(guān)系數(shù)

注:“*”表示在0.05水平(雙側(cè))上顯著相關(guān);“**”表示在0.01水平(雙側(cè))上顯著相關(guān)。

訓(xùn)練樣本及檢驗(yàn)樣本選取如下:對于西洋站,選取0.05水平(雙側(cè))上顯著相關(guān)的8—11月份平均流量，作為12月份平均流量的預(yù)報(bào)因子,利用1962—1995年4個(gè)預(yù)報(bào)因子月平均流量作為率定期樣本建立模型,預(yù)留1996—2005年作為檢驗(yàn)(預(yù)報(bào))樣本;對于董湖站,選取0.05水平(雙側(cè))上顯著相關(guān)的9—11月份平均流量，作為12月份平均流量的預(yù)報(bào)因子,利用1959—1995年3個(gè)預(yù)報(bào)因子月平均流量作為率定期樣本建立模型,預(yù)留1996—2005年作為檢驗(yàn)(預(yù)報(bào))樣本。對于SVM、BP模型利用式(8)進(jìn)行樣本處理;MTR和MBR模型無需樣本處理。

4.2 模型構(gòu)建與參數(shù)設(shè)置

4.2.1 模型構(gòu)建

基于Matlab R2011b軟件環(huán)境,編程構(gòu)建TLBO-MTR、TLBO-SVM、TLBO-BP和TLBO-MBR模型,分別利用訓(xùn)練樣本、檢驗(yàn)樣本對4種模型相關(guān)參數(shù)進(jìn)行率定和模型檢驗(yàn)(預(yù)報(bào)),選取平均相對誤差絕對值MRE(%)和合格率(預(yù)報(bào)相對誤差絕對值小于20%為合格)對各模型的預(yù)報(bào)效果進(jìn)行評價(jià)。

4.2.2 參數(shù)設(shè)置

TLBO算法最大迭代次數(shù)設(shè)置為500,其余參數(shù)設(shè)置同上。其中,MTR模型待優(yōu)化參數(shù)α的搜索空間設(shè)置為-2～2;SVM學(xué)習(xí)參數(shù)懲罰因子C、核函數(shù)參數(shù)g和不敏感系數(shù)ε的搜索空間分別設(shè)為0.1～1 000、0.1～1 000和0.000 1～0.1,交叉驗(yàn)證參數(shù)γ=2;BP模型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)設(shè)置為4-7-1,隱含層和輸出層傳遞函數(shù)分別采用logsig和purelin, 訓(xùn)練函數(shù)采用traingdx,學(xué)習(xí)速率lr為0.01,設(shè)定期望誤差為0.01, 最大訓(xùn)練輪回為200次,搜索空間為-1～1;MBR模型待優(yōu)化參數(shù)β的搜索空間設(shè)置為-50～50。

4.3 預(yù)報(bào)及評價(jià)

利用TLBO-MTR、TLBO-SVM、TLBO-BP和TLBO-MBR模型對西洋站及董湖站1996—2005年12月份平均流量進(jìn)行預(yù)報(bào),預(yù)報(bào)結(jié)果見表4。4種模型擬合-預(yù)報(bào)的相對誤差如圖1所示;TLBO算法連續(xù)4次運(yùn)行優(yōu)化MTR模型參數(shù)的進(jìn)化過程如圖2所示;TLBO算法優(yōu)化MTR模型參數(shù),其表達(dá)式見式(11)—(12)。

西洋站:

(11)

董湖站:

.769 3。 (12)

圖1 4種模型擬合預(yù)測效果

圖2 TLBO算法4次連續(xù)進(jìn)化過程

從表4及圖1—2可以看出:

1)從MRE看,無論是訓(xùn)練樣本還是檢驗(yàn)樣本, TLBO-MTR模型均優(yōu)于TLBO-SVM、TLBO-BP和TLBO-MBR模型;從合格率上看,對于檢驗(yàn)樣本, TLBO-MTR、TLBO-BP模型均達(dá)到100%,高于TLBO-SVM和TLBO-MBR模型;對于訓(xùn)練樣本, TLBO-MTR模型合格率均高于TLBO-SVM、TLBO-BP和TLBO-MBR模型。對比分析表明, TLBO-MTR模型具有較高的預(yù)報(bào)精度,可滿足中長期水文預(yù)測預(yù)報(bào)的精度要求。

2)從圖1看, TLBO-MTR模型擬合-預(yù)報(bào)效果明顯優(yōu)于TLBO-SVM、TLBO-BP和TLBO-MBR模型。TLBO-SVM、TLBO-BP和TLBO-MBR模型的擬合-預(yù)報(bào)精度相差不大,相對而言,TLBO-SVM和TLBO-BP模型的預(yù)報(bào)精度要略高于TLBO-MBR模型。

3)從圖2看, 對西洋站和董湖站TLBO算法4次運(yùn)行均迭代至100代左右時(shí),就收斂到相對全局最優(yōu)解47.527 8、65.950 1,表現(xiàn)出較好的收斂速度、全局尋優(yōu)能力和穩(wěn)健性能。

5 結(jié)語

1)為驗(yàn)證TLBO算法的尋優(yōu)能力,通過4個(gè)典型測試函數(shù)對TLBO算法及PSO、DE、FA、CS和SFLA算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證及對比分析。結(jié)果表明:TLBO算法尋優(yōu)效果優(yōu)于PSO、DE、FA、CS和SLFA算法,表現(xiàn)出較好的收斂速度、搜索平衡能力和全局尋優(yōu)能力。

2)基于超越方程內(nèi)涵,提出多元超越回歸(MTR)徑流預(yù)報(bào)模型,利用TLBO算法優(yōu)化MTR模型參數(shù),構(gòu)建TLBO-MTR預(yù)報(bào)模型,并構(gòu)建TLBO-SVM、TLBO-BP和TLBO-MBR模型作為對比分析模型,以云南省西洋站和董湖站12月份月徑流預(yù)報(bào)為例進(jìn)行實(shí)例驗(yàn)證。驗(yàn)證結(jié)果表明,TLBO-MTR模型預(yù)報(bào)精度優(yōu)于TLBO-SVM、TLBO-BP和TLBO-MBR模型,具有較好的預(yù)報(bào)效果,可滿足中長期水文預(yù)測預(yù)報(bào)的精度要求。

3)嘗試?yán)枚嘣交貧w模型進(jìn)行水文預(yù)測預(yù)報(bào),取得了不錯(cuò)的預(yù)報(bào)效果,模型及方法拓展了水文預(yù)測預(yù)報(bào)途徑。鑒于水文過程的隨機(jī)性和復(fù)雜性,TLBO-MTR模型的預(yù)報(bào)機(jī)理等有待于進(jìn)一步研究。

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(責(zé)任編輯：宰松梅)

Teaching-learning-based Optimization Algorithm-Multiple Transcendence Regression Model and Its Application in Runoff Forecast

CUI Dongwen

(Yunnan Province Wenshan Water Bureau, Wenshan 663000, China)

Based on the transcendental equation, the model of Multiple Transcendence Regression (MTR) forecast was put forward. Through four typical test functions of intelligent algorithms, the teaching-learning-based Optimization (TLBO) algorithm was validated by simulation, and the Particle Swarm Optimization (PSO) algorithm, Differential Evolution (DE) algorithm, Firefly Algorithm (FA), Cuckoo Search (CS) algorithm, Shuffled Frog Leaping Algorithm (SFLA) were compared and analyzed. The TLBO algorithm was used to find the optimal MTR model parameters, then a TLBO-MTR forecast model was put forward and compared with TLBO-Support Vector Machine (SVM), TLBO-BP neural network (BP), TLBO-Multivariate Binomial Regression (MBR) prediction model in Yunnan Province Xiyang station and Donghu station 12 monthly runoff forecast as an example for case study. The results show that the convergence accuracy of TLBO algorithm is better than that of PSO, DE, FA, CS and SFLA, which can show better convergence accuracy and global optimization ability. The average relative error of the TLBO-MTR model for the 10-year forecast of the Xiyang station and Donghu station is 5.59% and 6.60% respectively, which is better than the TLBO-SVM, TLBO-BP and TLBO-MBR forecasting models. The model and method can provide a new way for hydrological forecasting, and it has a good application prospect.

runoff forecasting; Teaching-Learning-Based Optimization (TLBO) algorithm; Multiple Transcendence Regression (MTR); parameter optimization

2016-03-13

崔東文(1978—),男,云南玉溪人,教授級高級工程師,主要從事水資源與水環(huán)境方面的研究。E-mail:cdwgr@163.com。

10.3969/j.issn.1002-5634.2016.06.011

TV213

A

1002-5634(2016)06-0061-06