Stewart六自由度并聯(lián)平臺動力學模型振動分析

錢承　鄂加強　劉明　鄧元望　朱浩

摘要：為提高Stewart六自由度并聯(lián)減振平臺控制精度，采用力學分析、旋轉矩陣等方法構建了減振平臺的速度特性和加速度特性等動力學分析模型和Adams虛擬樣機模型，并對該平臺在瞬態(tài)激勵下上端載物平臺的位移輸出情況、速度情況和加速度情況以及固有特性進行了振動仿真分析.結果表明：1）上端平臺的響應較小，最大的位移出現(xiàn)在0.7 s左右且能夠很快地保持穩(wěn)定；2）Stewart六自由度并聯(lián)平臺的一階固有頻率較小，低頻特性較好，且在大范圍的頻率段范圍內響應穩(wěn)定.

關鍵詞：Stewart并聯(lián)平臺；動力學分析；振動仿真；固有特性

中圖分類號：TH113 文獻標識碼：A

文章編號：1674-2974（2016）02-0036-07

Stewart六自由度并聯(lián)平臺最初是由德國學者Stewart[1]提出的，相比串聯(lián)機構其有以下優(yōu)點：具有高剛度且結構比串聯(lián)式穩(wěn)定；并聯(lián)機構定位準確，承載能力強，動態(tài)特性好；在實時計算控制時，并列式結構反解容易實現(xiàn).Stewart六自由度并聯(lián)平臺從誕生以來其各種形式及結構被廣泛用于減振及精確定位領域[2-4].由于Stewart平臺結構的復雜性，國內外學者對其運動學和動力學特性進行了廣泛研究[5-9].Afzali-Far等人[10]研究了對稱式結構的Stewart并聯(lián)平臺的阻尼減振控制，并設計和研究了Stewart的動力學特性.Zhao等人[11]研究了并聯(lián)平臺的逆向運動學和剛體動力學特性，通過仿真平臺得到了平臺的速度、加速度、力矩等特性.

Stewart六自由度并聯(lián)平臺的運動學及動力學分析是后續(xù)結構優(yōu)化及控制器設計的基礎，因此研究其運動學及動力學理論具有重要的意義.目前針對Stewart平臺的動力學模型分析方法主要有拉格朗日法[12-14]（Lagrange）和牛頓歐拉法[15-16]（Newton-Euler）兩種.其中，拉格朗日法只需計算系統(tǒng)的動能和勢能就能確定系統(tǒng)的動力學特性，因此該方法相對比較簡單且有利于控制策略的制定.

本文針對所設計的Stewart六自由度并聯(lián)平臺進行了運動學和動力學分析，并在此基礎上通過Adams軟件建立了模型的動力學模型及振動模型，分析Stewart六自由度并聯(lián)平臺動力學模型振動特性，為提高Stewart六自由度并聯(lián)減振平臺控制精度提供理論與技術支持.

1Stewart六自由度并聯(lián)平臺力學分析

1.1Stewart六自由度并聯(lián)平臺結構

Stewart六自由度并聯(lián)平臺主要由負載平臺、基平臺和六根驅動桿組成，每根驅動桿通過鉸接方式分別連接負載平臺和基平臺.根據(jù)鉸接方式的不同可以分為球鉸連接（Spherical joint）SPS型和萬向鉸連接（Universal joint）UPS型；根據(jù)驅動桿與負載平臺和基平臺的連接點數(shù)又可分為3-3型Stewart平臺，3-6型Stewart平臺及6-6型Stewart平臺.

應用最為廣泛的Stewart平臺為驅動桿與負載平臺和基平臺都有6個連接點數(shù)的UPS型平臺，即6-UPS型Stewart六自由度并聯(lián)平臺，其結構簡圖如圖1所示.

1.2旋轉矩陣的確定

為詳細有效地對Stewart六自由度并聯(lián)平臺進行運動學分析，在圖1所示的結構圖上建立了兩個坐標系，即靜止坐標系{B，x，y，z}，其原點固定在基平臺的幾何中心，動坐標系{P，x1，y1，z1}，其原點固定在負載平臺的幾何中心.定義驅動桿和負載平臺的鉸接點為Pi （i=1，2，…，6），與Pi相對應的驅動桿和基平臺的鉸接點為Bi （i=1，2，…，6）.

2Stewart六自由度并聯(lián)仿真平臺動力學研究

2.1Stewart六自由度并聯(lián)機構虛擬樣機建立

本文所研究的三維實體模型如圖3所示，模型由上端負載平臺、底端基平臺以及6根壓電驅動桿組成.該平臺的特征參數(shù)為：上端載物平面直徑為250 mm，下端平面直徑為350 mm，上下平面之間的距離為330 mm.其中驅動桿和上下兩平臺通過萬向鉸連接.

根據(jù)Adams對三維軟件的需要，將Pro/E中的三維實體另存為Parasolid格式，為了兩個對接軟件單位的統(tǒng)一，在Pro/E輸出Parasolid格式時將單位設置成MMKS.將保存的Parasolid格式文件導入Adams軟件進行虛擬樣機的構建.為了降低平臺的質量，模型采用鈦合金材料，其材料密度ρ=4 850 kg/m3，彈性模量E=1.02×105 MPa，泊松比PRXY=0.3.

為了仿真的方便并滿足軟件對模型的需要，對模型進行了一系列簡化，包括構件的合并、細小特性單元的刪除等.根據(jù)設計原理，在驅動桿和上下兩平臺之間的萬向鉸通過建立2個旋轉副實現(xiàn)其功能；驅動桿的上下兩部分之間通過平移副連接，并根據(jù)驅動桿的設計原理添加了彈簧和阻尼單元，以實現(xiàn)減振的目的.由于本Stewart六自由度平臺運用在無重力環(huán)境下，因此在Adams中取消了重力單元.為了約束的需要及和實際使用時具有相同的條件，在下平臺和地之間通過一個Bushing單元連接，考慮到實際運用中是固定的，所以將Bushing單元的剛度設置得比較大，該單元可以同時傳遞力與力矩.為了研究下端平臺的擾動對上端載荷平臺的影響，在下端平臺底端建立了擾動力，在仿真初始時刻施加垂直于底端向上的1 N的力STEP（ time，0，1，1，0），其形式如圖4所示.

2.2 Stewart六自由度并聯(lián)機構動力學仿真結果

將上節(jié)所建立的動力學仿真模型進行仿真分析，設置仿真時間為10 s，仿真500步.針對該擾動力，上端平臺的位移響應、速度響應及加速度響應如圖5所示.根據(jù)動力學仿真結果圖可以看出，上端平臺的響應較小，最大的位移出現(xiàn)在0.7 s左右且能夠很快地保持穩(wěn)定.

圖6所示為6根驅動桿在收到擾動后所受到的力.由圖6可看出，6根驅動桿在收到擾動的干擾后，分別輸出了相應的力以對抗擾動對上端平臺的影響，且在3 s后能快速保持穩(wěn)定.

圖中，最上面的兩條線中，曲線1為作動器1的輸出力，曲線2為作動器2的輸出力；中間兩條線中，曲線3和曲線4分別為作動器3和4的輸出力；最下面兩條線中，曲線5和曲線6分別為作動器5和6的輸出力.從仿真分析可以得出，Stewart六自由度并聯(lián)平臺的動力學特性比較穩(wěn)定，在有擾動的情況下能及時、快速地恢復穩(wěn)定狀態(tài).

3Stewart六自由度并聯(lián)平臺的振動仿真

3.1Stewart六自由度振動仿真平臺建立

為得到Stewart六自由度并聯(lián)平臺的振動特性，在Adams中調用Vibration模塊，建立了振動仿真平臺.Adams/Vibration是在頻率域上求解系統(tǒng)特性的模塊，且可以計算仿真平臺不同位置的振動特性，可以采用自由振動及強迫振動的方式.本文中采用了強迫振動的方式對平臺進行振動特征的求解，在底端平面建立振動的輸入激勵，分別為x，y，z方向的簡弦力，通過掃頻的方式進行計算，即激勵的幅值不變，而激勵的頻率不斷增大，其激勵的方程式可寫為式（34）.

同時在上端平面建立振動模型的輸出，同樣也為x，y，z方向.建立完輸入和輸出通道后設置仿真參數(shù)，本文設置激勵的幅值為1 N，初始相位角為0°，掃頻范圍為0.1～100 Hz，計算步驟為2 000步.其仿真步驟如圖7所示.

3.2Stewart六自由度振動仿真結果分析

經過振動仿真，得出了系統(tǒng)輸入和輸出之間的頻響特性，其結果如圖8-圖10所示分別為3個輸入通道的激勵對3個輸出通道x，y和z的頻響曲線.

圖8中，曲線1代表當輸入為x方向的激勵時輸出x方向的頻響特性；曲線2代表當輸入為y方向的激勵時輸出x方向的頻響特性；曲線3則代表當輸入為z方向的激勵時輸出x方向的頻響特性.

圖9中，曲線1、曲線2、曲線3分別代表了輸入為x，y，z方向激勵時輸出y方向的頻響曲線.

圖10中，曲線1、曲線2、曲線3分別代表輸入為x，y，z方向激勵時輸出z方向的頻響曲線.

由圖8-圖10的頻響曲線圖可以看出，Stewart六自由度并聯(lián)平臺的一階固有頻率在0.6 Hz左右，具有較低的固有頻率，且在100 Hz的頻率范圍內響應平穩(wěn)，表明了Stewart六自由度并聯(lián)平臺具有較寬的工作頻率范圍.表1給出了本文所研究的Stewart六自由度并聯(lián)平臺的前5階模態(tài)參數(shù)的仿真結果.

通過表1可以看出一階模態(tài)的固有頻率為0.572 06 Hz，和頻響曲線的結果相同，且從表1中可以看出前三階的固有頻率值比較靠近，從4階模態(tài)開始固有頻率變?yōu)? Hz.因此可以看出Stewart六自由度并聯(lián)平臺的固有頻率較低，具有較好的低頻特性.

4結論

1） 分析了Stewart六自由度并聯(lián)平臺的運動學及動力學特性，并以Adams軟件搭建了相應的仿真平臺.在下端面建立了幅值為1 N的擾動力，進行了模型的動力學仿真.結果顯示，本文建立的虛擬樣機很好地模擬了Stewart六自由度并聯(lián)平臺的工作狀況.

2） 為進一步分析Stewart六自由度并聯(lián)平臺的動力學固有特性，調用Adams/Vibration模塊，在下端平臺建立了系統(tǒng)的輸入通道，在上端平臺建立了系統(tǒng)的輸出通道，仿真分析了系統(tǒng)輸入通道和輸出通道之間3個方向的頻響特性.結果顯示了3個方向的頻響曲線且計算得出了前5階模態(tài)參數(shù)，從數(shù)據(jù)中可以看出Stewart六自由度并聯(lián)平臺的一階固有頻率較小，具有較好的低頻特性且在大范圍的頻率段內，響應穩(wěn)定.

參考文獻

[1]STEWART D. A platform with six degrees of freedom [J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers， 1965， 180： 371-386.

[2]PREUMONT A， HORODINCA M， ROMANESCU I， et al. A six-axis single-stage active vibration isolator based on Stewart platform [J]. Journal of Sound and Vibration， 2007， 300（3）： 644-661.

[3]KAMESH D， PANDIYAN R， GHOSAL A. Modeling， design and analysis of low frequency platform for attenuating micro-vibration in spacecraft[J]. Journal of Sound and Vibration， 2010， 329（17）： 3431-3450.

[4]AZADI M， FAZELZADEH S A， EGHTESAD M， et al. Vibration suppression and adaptive-robust control of a smart flexible satellite with three axes maneuvering [J]. Acta Astronautica， 2011， 69（5/6）： 307-322.

[5]E Jia-qiang， QIAN Cheng， LIU Teng， et al. Research on the vibration characteristics of the new type of passive super static vibratory platform based on the multi-objective parameter optimization[J]. Advances in Mechanical Engineering， 2014， 2014： 1-8.

[6]LOPES A M. Dynamic modeling of a Stewart platform using the generalized momentum approach [J]. Communications in Nonlinear Science & Numerical Simulation， 2009， 14（8）： 3389-3401.

[7]STAICU S. Dynamics of the 6-6 Stewart parallel manipulator [J]. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing， 2011， 27（1）： 212-220.

[8]MUKHERJEE P， DASGUPTA B， MALLIK A K. Dynamic stability index and vibration analysis of a flexible Stewart platform [J]. Journal of Sound and Vibration， 2007， 307（3/5）： 495-512.

[9]ZHOU Wan-yong， CHEN Wu-yi， LIU Hua-dong， et al. A new forward kinematic algorithm for a general Stewart platform[J]. Mechanism and Machine Theory， 2015， 87： 177-190.

[10]AFZALI-FAR B， LIDSTRM P， NILSSON K. Parametric damped vibrations of Gough-Stewart platforms for symmetric configurations[J]. Mechanism and Machine Theory， 2014， 80（4）： 52-69.

[11]ZHAO Yong-jie， QIU Ke， WANG Shuang-xi， et al. Inverse kinematics and rigid-body dynamics for a three rotational degrees of freedom parallel manipulator[J]. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing， 2015， 31： 40-50.

[12]HARIB K， SRINIVASAN K. Kinematic and dynamic analysis of Stewart platform-based machine tool structures[J]. Robotica， 2003， 21（9）： 541-554.

[13]DASGUPTA B， MRUTHYUNJAYA T S. A Newton-Euler formulation for the inverse dynamics of the Stewart platform manipulator[J]. Mechanism and Machine Theory， 1998， 33（8）： 1135-1152.

[14]JI Z M. Dynamics decomposition for Stewart platforms [J]. ASME Journal of Mechanical Design， 1994， 116（1）： 67-69.

[15]GENG Z， HAYNES L S， LEE J D， et al. On the dynamic model and kinematic analysis of a class of Stewart platforms [J]. Robotics and Autonomous Systems， 1992， 9： 237-254.

[16]XU Yu-fei， LIAO He， LIU Lei， et al. Modeling and robust H-infinite control of a novel non-contact ultra-quiet Stewart spacecraft[J]. Acta Astronautica， 2015， 107： 274-289.