2個(gè)趣味數(shù)字問(wèn)題及其推理解決

吳朝陽(yáng)

在計(jì)算機(jī)語(yǔ)言里，每一個(gè)字符都對(duì)應(yīng)一個(gè)編碼，所有字符都有自己的碼值。以前一般使用的是所謂的ASCII碼，現(xiàn)在則發(fā)展成為UNICODE。在ASCII碼和UNICODE中，0-9的碼值、A-Z的碼值、a-z的碼值分別是連續(xù)遞增的碼值區(qū)。因此，知道了0、A及a的ASCII碼值，則這3類(lèi)字符的碼值也就都知道了。由于換行符和空格符也是編程中最常用的字符，因此記住它們與0、A、a的ASCII碼值，將給編程者提供不小的便利。有趣的是，這5個(gè)字符的ASCII和UNICODE碼值相同，它們依次為10、32、48、65和97。5個(gè)碼值中，從O～9這10個(gè)數(shù)字不多不少，恰好各出現(xiàn)1次。

我們今天要談的，是30多年前我還是中學(xué)生的時(shí)候遇到過(guò)的2個(gè)趣味數(shù)字問(wèn)題。同樣有趣的是，它們中的一個(gè)正是從O～9這10個(gè)數(shù)字恰好各出現(xiàn)1次的趣味數(shù)字題。

問(wèn)題一：一個(gè)數(shù)的立方及4次方總計(jì)有10個(gè)數(shù)字，它們正好從0～9各有1個(gè)，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)數(shù)是多少？

這個(gè)問(wèn)題的答案是18，簡(jiǎn)單計(jì)算很容易得到：l83=5832，l84=104976。在5832和104976這2個(gè)數(shù)中，從0～9的10個(gè)數(shù)字恰好各出現(xiàn)1次。

擱在現(xiàn)在，這個(gè)答案編個(gè)小程序就很容易得到。然而，在連計(jì)算器都沒(méi)有的年代，用紙筆漫無(wú)目標(biāo)地用試算法來(lái)尋找答案是一件很費(fèi)力的事情。因此，用數(shù)學(xué)推理的方法尋找這個(gè)問(wèn)題的答案，不僅是一個(gè)考驗(yàn)推理能力的辦法，也是一個(gè)聰明的辦法。我個(gè)人認(rèn)為，這種數(shù)學(xué)推理方法非常值得學(xué)習(xí)，因此我們下面來(lái)重現(xiàn)當(dāng)年的推理過(guò)程。

假設(shè)N是所求的數(shù)，即，N的立方及4次方總計(jì)有10個(gè)數(shù)字，恰好從O～9各有1個(gè)。

首先，由于9的4次方小于10的4次方（即10000），故它只有4位數(shù)字。因此，N必然大于9。這就是說(shuō)，答案至少是1個(gè)2位數(shù)。

其次，由于N至少是2位數(shù)，所以N的4次方至少比N的立方多l(xiāng)位數(shù)字。因此，N的立方最多只能是1個(gè)4位數(shù)，而N的4次方則至少是1個(gè)6位數(shù)。

第三，11的立方等于1331，乘以8即超過(guò)10000。也就是說(shuō)，22的立方是1個(gè)5位數(shù)。因而由上述第2條可知，N小于22。

第四，17的平方等于289，它小于300。因此289的平方，即17的4次方，將是1個(gè)小于300的平方（即90000）的數(shù)。也就是說(shuō)，17的4次方充其量是一個(gè)5位數(shù)。因此據(jù)第2條，我們知道N大于17。

第五，20的立方與4次方的個(gè)位數(shù)都是0，數(shù)字重復(fù)出現(xiàn)，因此它不可能是問(wèn)題的答案。同理，我們可以排除21。因此，N必然等于18或19，二者必居其一。

最后，19的平方等于361，它小于400。因此361的平方，即19的4次方，小于160000。由此可知，19的4次方是1個(gè)首位數(shù)字為l的6位數(shù)。由于361平方的個(gè)數(shù)位顯然是l，所以19的4次方出現(xiàn)重復(fù)數(shù)字，它同樣不可能是問(wèn)題的答案。

綜合第三、第四條，我們知道N只能是18、19、20和21這4個(gè)數(shù)中的一個(gè)。而最后2條告訴我們，19、20、21也都不可能是問(wèn)題的答案。因此答案只能是——18。

只需要記得20以?xún)?nèi)自然數(shù)的平方，通過(guò)推理及簡(jiǎn)單的心算就可以獲得上述問(wèn)題的答案，此可見(jiàn)分析推理的威力及重要性。好了，我們不多啰嗦——現(xiàn)在來(lái)看第2個(gè)問(wèn)題。

問(wèn)題二：一個(gè)4位數(shù)2ab2被不小心寫(xiě)成了2ab2，結(jié)果卻恰好與原來(lái)的數(shù)字相等，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)數(shù)字是多少？

我們同樣用推理的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。首先，b2小于10的平方，即小于100。但是它與2a的乘積等于2ab2，是一個(gè)大于2000的數(shù)值，因此，2a必須大干20。這樣我們得到第一個(gè)結(jié)論。

a≥5

（1）

其次，29=512。如果a=9，則2ab2大于2900。而2900除以512大于50，所以b2大干50，故有：

b≥8

（2）

現(xiàn)在，我們考慮b=8的可能性。如果b=8，則：

2ab2=2a82=2a+6

據(jù)已知條件，這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)等于2。容易證明，對(duì)自然數(shù)n，2n的個(gè)位數(shù)隨n的增加形成2、4、8、6的循環(huán)，只有當(dāng)n=4k+l時(shí)的個(gè)位才等于2。因此，據(jù)結(jié)果（1），目前的情況下必然有：

a=7。

然而我們知道，1K的準(zhǔn)確數(shù)值等于1024，它是2的10次方。也就是說(shuō)，a=7且b=8時(shí)，2ab2等于213。雖然這個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)等于2，但它等于8K，數(shù)值上遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)小于3000的2ab2。這就是說(shuō)，b=8是不可能的。

于是，據(jù)結(jié)果（2），我們得到如下的第3個(gè)結(jié)果。

b=9，并且2a×92=81x2a=2a92

（3）

根據(jù)上述結(jié)果，81×2a的個(gè)位數(shù)等于2，因而2a的個(gè)位數(shù)也等于2。如上所述，此時(shí)有a=4k+l。據(jù)結(jié)果（1），我們有a=5或a=9。

我們前面提到，29=512，所以它與81的乘積大于4000，大大超過(guò)2ab2的最大可能值。因此，我們得到：a=5，即本問(wèn)題的答案是：

a=5，b=9

2592=25×81=2592