基于投資組合優(yōu)化與條件極值的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)案例設(shè)計(jì)

高麗，韓樂，姚占林

（華南理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510641）

基于投資組合優(yōu)化與條件極值的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)案例設(shè)計(jì)

高麗，韓樂，姚占林

（華南理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510641）

將金融和社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)領(lǐng)域受到高度關(guān)注的投資組合優(yōu)化模型和條件極值問題引入到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程中，設(shè)計(jì)難宜適中的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)案例.借助MATLAB語言編程，將數(shù)學(xué)理論工具應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)實(shí)踐中以解決實(shí)際問題，激發(fā)了學(xué)生的研究興趣和探索欲望，既實(shí)現(xiàn)了教學(xué)與科研的資源共享，又豐富了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程的教學(xué)內(nèi)容.

投資組合；均值-方差模型；條件極值；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為一種新的教學(xué)模式，其主要目的是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入做數(shù)學(xué)的境界，激發(fā)學(xué)生動(dòng)手和探索的興趣[1]，數(shù)學(xué)軟件的學(xué)習(xí)與使用也將是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的主要內(nèi)容[2].學(xué)生可以借助計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，分析和解決一些經(jīng)過簡(jiǎn)化的實(shí)際問題，從而體驗(yàn)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的過程[3].數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)強(qiáng)調(diào)學(xué)生自己動(dòng)手，利用計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)軟件，從問題情境出發(fā)（實(shí)際問題或數(shù)學(xué)問題），在教師的指導(dǎo)下，進(jìn)行探索性實(shí)驗(yàn)，建立數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)求解方法，提出猜想并進(jìn)行證明或驗(yàn)證，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力得到有效的訓(xùn)練和提高[4-6].數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的案例設(shè)計(jì)可以結(jié)合學(xué)生的專業(yè)知識(shí)和教師的科研特長(zhǎng)，豐富數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)內(nèi)容，拓寬學(xué)生的視野，與時(shí)俱進(jìn)，為未來的科學(xué)研究打下良好的基礎(chǔ).目前，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)案例的選取和內(nèi)容的設(shè)計(jì)多偏重于理工類經(jīng)典問題，相對(duì)缺少大多數(shù)學(xué)生感興趣的金融類熱點(diǎn)案例.

本文利用現(xiàn)有教學(xué)資源與科研平臺(tái)，拋開數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的經(jīng)典問題，將在金融優(yōu)化領(lǐng)域中受到高度關(guān)注的投資組合優(yōu)化模型與條件極值問題[7-8]引入到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，設(shè)計(jì)難度適中的案例，并用MATLAB[9-10]編程實(shí)現(xiàn).該實(shí)驗(yàn)案例的實(shí)施，為學(xué)生提供了接觸并了解數(shù)學(xué)應(yīng)用和金融優(yōu)化的平臺(tái)，引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生利用計(jì)算機(jī)技術(shù)和數(shù)理知識(shí)與方法解決社會(huì)關(guān)注的金融問題.這樣既可以讓本科生及時(shí)了解數(shù)學(xué)的具體應(yīng)用，拓寬他們的知識(shí)面，提高其數(shù)學(xué)的應(yīng)用能力，又可以激發(fā)學(xué)生的探知欲，實(shí)現(xiàn)教學(xué)與科研的資源共享，使教學(xué)與科研相互促進(jìn).

1 投資組合優(yōu)化問題介紹

1952年，美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家Harry Markowitz發(fā)表了論文Portfolio Selection[11]，從而奠定了現(xiàn)代投資組合的理論基礎(chǔ)[12].Harry Markowitz對(duì)證券市場(chǎng)的最佳投資問題進(jìn)行了開創(chuàng)性的研究，詳細(xì)地論證了證券收益和風(fēng)險(xiǎn)的主要原因和分析方法，提出的均值-方差（Mean-Variance）理論為風(fēng)險(xiǎn)和收益的權(quán)衡提供了可行的量化方法，是現(xiàn)代投資組合理論的開端，在此基礎(chǔ)上開展了大量的研究，目前依然是金融領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)[13-14].基于均值-方差模型在現(xiàn)代金融理論中的重要性，本文以經(jīng)典的均值-方差模型為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)和探索條件極值在實(shí)際中如何應(yīng)用的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).

在均值-方差模型中，用均值度量收益，用方差度量風(fēng)險(xiǎn).眾多的事例表明，絕大多數(shù)投資者都是風(fēng)險(xiǎn)趨避者.投資者追求較高的預(yù)期收益，但他們一定都希望避免帶來風(fēng)險(xiǎn).降低風(fēng)險(xiǎn)的方法就是不要把資金全部放在一種收益和風(fēng)險(xiǎn)都高的證券上，而是分散地投在若干收益和風(fēng)險(xiǎn)不同的證券上，這樣可以使總體風(fēng)險(xiǎn)降下來，降低到投資愿意或可以接受的水平，或者在可以接受的收益水平下達(dá)到風(fēng)險(xiǎn)最小.簡(jiǎn)而言之，投資組合決策方法是在預(yù)期收益給定的條件下，最小化風(fēng)險(xiǎn)；或者在風(fēng)險(xiǎn)給定的條件下，最大化期望收益.

假如從金融市場(chǎng)上已經(jīng)選出了N種證券，xi表示投資到第i種證券的價(jià)值比率，即權(quán)數(shù)；p表示由這N種證券構(gòu)成的一個(gè)證券組合；表示第i種證券的收益率；rp表示證券組合p的收益率.由于受金融市場(chǎng)波動(dòng)及投資者個(gè)人理財(cái)行為等多種因素的影響，和rp一般呈現(xiàn)隨機(jī)變化.進(jìn)一步假設(shè)為證券組合p的資金投資比例系數(shù)向量（即權(quán)重向量），也稱為一個(gè)投資組合；為證券組合投資的收益率向量；為r的期望向量，即N.定義期望收益率；證券組合投資的風(fēng)險(xiǎn)

基于以上假設(shè)，Markowitz 投資組合的均值-方差模型可描述為如下2種基本形式的規(guī)劃模型：

（1）給定期望收益水平的最小化風(fēng)險(xiǎn)模型

其中：r0為證券組合的預(yù)期收益率；

（2）給定風(fēng)險(xiǎn)水平的最大化收益模型

2 案例設(shè)計(jì)與實(shí)施

對(duì)于一個(gè)理性的投資者而言，他們都是厭惡風(fēng)險(xiǎn)而偏好收益的.對(duì)于相同的預(yù)期收益率，他們會(huì)選擇風(fēng)險(xiǎn)最小的組合；對(duì)于相同的風(fēng)險(xiǎn)水平，他們會(huì)選擇能提供最大收益率的組合.能同時(shí)滿足這2個(gè)條件的投資組合就是有效集（efficient set），又稱有效邊界、有效前沿（efficient frontier）.處于有效邊界上的組合稱為有效組合（efficient portfolio）.

例 從Wind數(shù)據(jù)庫中選取了中國(guó)股票市場(chǎng)2014-01-02至2016-02-25共523個(gè)交易日中5只股票（啟明星辰002439，太安堂002433，新湖中寶600208，盛和資源600392，林洋電子601222）的前復(fù)權(quán)開盤價(jià)與收盤價(jià)數(shù)據(jù)，要求使用MATLAB軟件編程找出有效組合曲線以及相對(duì)應(yīng)的投資組合策略，并判斷有效組合曲線軌跡的特點(diǎn).

本組40例患者發(fā)現(xiàn)病灶40處，均表現(xiàn)為單發(fā)，其中右肺18例、左肺22例。直接征象：空洞（呈厚壁或薄壁）、腫塊（邊界清晰或不清晰，呈類圓形或不規(guī)則）、磨玻璃征（密度影略高，邊界不清晰）；間接征象：分葉征（≥1個(gè)弧形突起存在于腫瘤邊緣）、血管集束征、胸膜凹陷（同腫塊相連的線性影像或小三角形影像）、毛刺征（呈短細(xì)線條狀影，腫塊邊緣分布呈放射狀）等，此外還存在胸腔積液、支氣管氣象征、空泡征、血管集束征、棘狀突起等。

問題分析 有效組合問題可以化為模型（1）和模型（2）的求解問題.事實(shí)上，Markowitz投資組合的均值-方差模型就是一個(gè)多元條件極值問題.表達(dá)式（1）中的最小化風(fēng)險(xiǎn)即為最小化目標(biāo)函數(shù)，收益和權(quán)重為約束條件；表達(dá)式（2）中最大化收益即為最大化目標(biāo)函數(shù)，風(fēng)險(xiǎn)和權(quán)重為約束條件.

撇開具體問題，抽象出數(shù)學(xué)的一般方法.一般地，尋求目標(biāo)函數(shù)

在條件約束

下取得極值的必要條件.

拉格朗日乘子法是解決條件極值的一般方法，引入拉格朗日函數(shù)，極值的必要條件化為求解方程組

方程組（5）即為拉格朗日函數(shù)關(guān)于變量x，y和λ求一階偏導(dǎo)為零.解方程組（5）即可得到函數(shù)在條件約束下的可能極值點(diǎn).

在拉格朗日乘子法基礎(chǔ)上擴(kuò)展得到了廣義化的方法，稱為KKT（Karush-Kuhn-Tucker）條件.在求取有約束條件的優(yōu)化問題時(shí)，拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier）和KKT條件是2種非常重要的方法.對(duì)于等式約束的優(yōu)化問題，可以應(yīng)用拉格朗日乘子法去求取最優(yōu)值；對(duì)于含有不等式約束的優(yōu)化問題，可以應(yīng)用KKT條件去求取.拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier）和KKT條件求得的結(jié)果只是必要條件，只有在目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)的情況下，才能保證是充分必要條件.

（3）計(jì)算向量X和Y的協(xié)方差，并返回ExpCovariance中.

通過MATLAB中的函數(shù)求得收益率均值與協(xié)方差矩陣（見表1和表2）.

表1 5只股票的收益率均值

表2 5只股票的收益協(xié)方差矩陣×10-3

（4）求解約束條件下有效前沿的函數(shù)可使用Frontcon函數(shù) [PortRisk，PortReturn，PortWts]=frontcon（ExpReturn，ExpCovariance，NumPort），F(xiàn)rontcon函數(shù)的各參數(shù)含義見表3.

表3 Frontcon函數(shù)的各參數(shù)含義

本實(shí)驗(yàn)取30個(gè)投資組合，即NumPort=30，由Frontcon函數(shù)，求得各個(gè)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)、收益率（見表4）與各股比例（見表5）.

表4 投資組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益率

表5 投資組合的權(quán)重

（5）利用畫圖命令plot（PortRisk，PortReturn，'r+ -'），可以得出有效前沿（見圖1）.

案例分析

由圖1可以看出，以標(biāo)準(zhǔn)差為風(fēng)險(xiǎn)度量的均值-方差模型有效前沿的基本形狀為一條單調(diào)增的凹形曲線.

投資決策的核心問題是收益和風(fēng)險(xiǎn)之間的權(quán)衡.如果2個(gè)決策會(huì)帶來相同的預(yù)期收益但要承受不同的風(fēng)險(xiǎn)，那么，風(fēng)險(xiǎn)大的那個(gè)決策是應(yīng)該摒棄的；反之，如果承受相同的風(fēng)險(xiǎn)而有不同的預(yù)期收益，那么，預(yù)期收益小的那個(gè)決策也不是好的決策.投資者在高收益和低風(fēng)險(xiǎn)低收益之間，按照自己對(duì)收益和風(fēng)險(xiǎn)的偏好進(jìn)行權(quán)衡和選擇.在實(shí)際操作中，可以參考圖1的有效前沿，根據(jù)投資者的偏好，選擇合適的投資組合配置.分析數(shù)據(jù)可見，當(dāng)保守的投資者選擇風(fēng)險(xiǎn)最小為 0.024 3時(shí)，得到的投資組合收益為0.001 6，相應(yīng)的策略為表5中的第1個(gè)策略：0.086 7，0.135 1，0.251 6，0.331 5，0.195 1，當(dāng)投資者選擇收益最大為0.003 4時(shí)，面臨著投資組合風(fēng)險(xiǎn)為0.038 7，相應(yīng)的投資組合策略為表5中的最后一個(gè)策略：1.000 0，0，0，0，0.

圖1 以標(biāo)準(zhǔn)差為風(fēng)險(xiǎn)度量的均值-方差模型的有效前沿

3 結(jié)語

在金融市場(chǎng)中投資者在高風(fēng)險(xiǎn)高收益和低風(fēng)險(xiǎn)低收益之間，按照自己對(duì)收益和風(fēng)險(xiǎn)的偏好進(jìn)行權(quán)衡和選擇.投資組合選擇就是如何配置各種有價(jià)證券的比例來最好地符合投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和收益的權(quán)衡.在該案例中，學(xué)生可利用拉格朗日乘子法的思想，根據(jù)收益和風(fēng)險(xiǎn)的不同取值進(jìn)行條件極值的運(yùn)算和模擬，以尋求滿足不同投資需求的最優(yōu)方案.從案例的實(shí)施過程中理解條件極值問題和拉格朗日乘子方法的理論與應(yīng)用，并將金融理論專業(yè)知識(shí)靈活運(yùn)用于金融實(shí)踐操作中.

本文以金融模型為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)工具的運(yùn)用為核心設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)案例.通過軟件編程，引導(dǎo)學(xué)生探索專業(yè)研究前沿，活學(xué)活用，激發(fā)學(xué)生研究興趣，培養(yǎng)創(chuàng)新能力，以期能夠做到教學(xué)、實(shí)驗(yàn)和應(yīng)用三者的有效結(jié)合，培養(yǎng)出社會(huì)發(fā)展需要的高素質(zhì)應(yīng)用型人才，真正實(shí)現(xiàn)科研與教學(xué)相長(zhǎng).

[1]陳孝國(guó)，朱捷.依托大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，全面提高數(shù)學(xué)素質(zhì)和數(shù)學(xué)能力[J].高師理科學(xué)刊，2011，31（2）：21

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The design of a mathematical experiment based on portfolio optimization and conditional extremum

GAO Li，HAN Le，YAO Zhan-lin
（School of Mathematics，South China University of Technology，Guangzhou 510641，China）

A mathematical experiment was presented on portfolio optimization and conditional extremum，which are widely used in the finance and socio-economic activity.Designs the mathematical experiment which was moderate in terms of difficulty，the mathematical theory as a tool was applied to economic practice by MATLAB language，which motivated the students' desire and interest of exploration among concrete practices.The design of this experiment implements the resource sharing of teaching and research and also enriches the teaching content of mathematical experiment course.

portfolio；mean-variance model；conditional extremum；mathematical experiment

O29∶F830

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.12.004

2016-09-27

廣東省高等教育教學(xué)研究和改革項(xiàng)目——經(jīng)管類和電信類交叉探索性數(shù)學(xué)案例教學(xué)改革研究；華南理工大學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)改革項(xiàng)目（Y1140730）——經(jīng)管類探索性數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)案例教學(xué)研究；廣東教育教學(xué)成果獎(jiǎng)（高等教育）培育項(xiàng)目——具有專業(yè)特色的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)研究型教學(xué)探索與實(shí)踐

高麗（1978-），女，河南周口人，講師，博士，從事金融優(yōu)化計(jì)算研究.E-mail：gaoli@scut.edu.cn

1007-9831（2016）12-0017-05