強(qiáng)阻尼隨機(jī)Kirchhoff方程的隨機(jī)吸引子

秦闖亮，杜金姬

（信陽學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，河南 信陽 464000）

強(qiáng)阻尼隨機(jī)Kirchhoff方程的隨機(jī)吸引子

秦闖亮，杜金姬

（信陽學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，河南 信陽 464000）

討論具有可加噪音的強(qiáng)阻尼隨機(jī)Kirchhoff方程的隨機(jī)動力系統(tǒng)，利用O-U過程對隨機(jī)項進(jìn)行處理，采用同構(gòu)映射的方法，得到強(qiáng)阻尼隨機(jī)Kirchhoff方程解的存在唯一性和隨機(jī)吸引子的存在性.

O-U過程；隨機(jī)Kirchhoff方程；隨機(jī)吸引子

1 引言及預(yù)備知識

本文主要研究具有可加噪音的強(qiáng)阻尼隨機(jī)Kirchhoff方程

其中：u=u(x,t)是D×[0,+∞)上的實值函數(shù)，D是Rn(n∈N)上具有光滑邊界的有界開集；α>0；β>0；f(?),q(?)∈H01(D)IH2(D)；g(?)∈C1(R,R)；ρ>?1，且ρ為整數(shù)；qdW描述了一個可加白噪聲；W(t)是概率空間(Ω,F,P)上的一維雙邊Wiener過程，Ω={ω∈C(R,R):ω(0)=0}，F(xiàn)為Ω上由緊開拓?fù)渖傻腂orelσ-代數(shù)，P為概率測度[1].

設(shè)(Ω,F,P)是概率空間，{θt:Ω→Ω,t∈R}是一族保測度變換，映射(t,Ω)θtω是可測的，θ0=id ，且θt+s=θtθs(s,t∈R)，則(Ω,F,P,(θt)t∈R)是一遍歷度量動力系統(tǒng)，且θtω(?)=ω(?+t)?ω(t).

對于任意u,v∈L2(D)，令內(nèi)積，范數(shù)；對于任意，令內(nèi)積，范數(shù)；對于任意u,，令內(nèi)積范數(shù).

2 解的存在唯一性及隨機(jī)動力系統(tǒng)

由文獻(xiàn)[2-4]可知，式（4）中的算子L是Hilbert空間E上的C0-半群eLt上的無限小生成算子，對每個ω∈Ω，函數(shù)E→E關(guān)于?是整體Lipschitz連續(xù)的.由Hilbert空間E上的隨機(jī)微分方程解的存在唯一性[5-6]可知，方程（4）對初值和每個ω∈Ω具有唯一解?，即且

對任意t≥0，a.e.ω∈Ω.設(shè)從E→E的解映射，則定義了方程（4）在E上的一個隨機(jī)動力系統(tǒng).

因此，對隨機(jī)動力系統(tǒng)S1(t,ω)，只需考慮與其等價的隨機(jī)動力系統(tǒng)S(t,ω).

3 隨機(jī)吸引子的存在性

記空間E中的所有緩增子集合為D(E).

引理1[7]設(shè)，對任意，若，其中，有

引理2 設(shè)φ是問題（3）的一個解，則存在一個有界的隨機(jī)緊集，使得對任意緩增隨機(jī)集B(ω)∈D(E)，都存在一個隨機(jī)變量TB(ω)>0，使得

引理3 對任意B(ω)∈D(E)，設(shè)φ(t)是方程（3）在初值φ0=(u0,u1+μu0)T∈B的解，它可分解為φ=φ1+φ2，其中：φ1,φ2分別滿足

則

根據(jù)引理1～4，得到定理.

[1]ARNOLD L.Random dynamical systems[M].New York：Springger-Verlag，1998

[2]PAZY A.Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations[M].New York：Springger-Verlag，1983

[3]Massatt P.Limiting behaviour for a strong damped nonlinear wave equation[J].J Diff Equ，1988（48）：334-349

[4]FAN X.Random attractor for a damped sine-Gordon equation with white noise[J].Pacific J Math，2004（216）：63-76

[5]CRAUEL H，NUALART D.Random nonlinear wave equations：Smoothness of the solutions[J].Probab Theory Related Fields，1988（79）：469-508

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[7]Zhou S F.Global attractor for strongly damped nonlinear wane equations[J].Functional differential equations，1999，6（3-4）：451-470

[8]Zhao Caidi，Zhou Shengfan.Sufficient conditions for the existence of global random attractors for stochatic lattice dunamical systems and applications[J].J Math Appl，2009（354）：78-95

Random attractor for strongly damped stochastic Kirchhoff equation

QIN Chuang-liang，DU Jin-ji
（School of Mathematics and Information，Xinyang College，Xinyang 464000，China）

It is discussed that the stochastic dynamical system of the strongly damped stochastic Kirchhoff equation with additive white noise.By using O-U process to deal with random itemsanda dopting the method of isomorphic mapping，proves the existence and uniqueness of solution and the existence of random attractor for such an equation.

O-U process；stochastic Kirchhoff equation；random attractor

O211.63

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.12.002

2016-09-20

信陽學(xué)院資助項目（2015yb42）

秦闖亮（1981-），男，河南許昌人，助教，碩士，從事隨機(jī)動力系統(tǒng)研究.E-mail：qincl168@163.com

1007-9831（2016）12-0006-06