具有庇護(hù)所效應(yīng)的Kolmogorov型捕食-食餌系統(tǒng)的進(jìn)一步研究

林琳，馮曉梅

（1.運(yùn)城農(nóng)業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，山西 運(yùn)城 044000；2.運(yùn)城學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，山西 運(yùn)城 044000）

具有庇護(hù)所效應(yīng)的Kolmogorov型捕食-食餌系統(tǒng)的進(jìn)一步研究

林琳1，馮曉梅2

（1.運(yùn)城農(nóng)業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，山西 運(yùn)城 044000；2.運(yùn)城學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，山西 運(yùn)城 044000）

研究了一類具有庇護(hù)所效應(yīng)的Kolmogorov型捕食-食餌系統(tǒng)，運(yùn)用Bendixson環(huán)域定理及丁蓀紅定理，得到了該系統(tǒng)存在唯一極限環(huán)的充分條件.運(yùn)用Dulac函數(shù)法，得到了系統(tǒng)不存在極限環(huán)的充分條件.同時(shí)利用Matlab進(jìn)行了仿真.

庇護(hù)所效應(yīng)；捕食者；食餌；平衡點(diǎn)；穩(wěn)定性；極限環(huán)

近年來(lái)，食餌具有庇護(hù)所效應(yīng)的捕食系統(tǒng)已被許多人所研究，取得了比較好的成果[1-7]，但對(duì)于Kolmogorov模型[8]的研究成果還不甚多見.文獻(xiàn)[9]以Kolmogorov模型為基礎(chǔ)，創(chuàng)建了一類具備庇護(hù)所效應(yīng)的2種群食餌-捕食系統(tǒng)，本文在此系統(tǒng)基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行更深入的研討.

1 數(shù)學(xué)模型的建立

文獻(xiàn)[9]基于一系列的假設(shè)得到了模型

其中：x(t)為食餌種群在t時(shí)刻的種群密度；y(t)為捕食者種群在t時(shí)刻的種群密度；r為食餌種群固有的增長(zhǎng)率；c為捕食者種群的死亡率；K為環(huán)境的容納量；q為捕食者最大消耗率；p(c

當(dāng)1?C?AC>0時(shí)，系統(tǒng)（2）共有3個(gè)非負(fù)平衡點(diǎn)：，其中：

文獻(xiàn)[9]用常微分方程定性理論給出了系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn)類型及解的有界性.本文對(duì)此系統(tǒng)進(jìn)行更深一步的研究.

2 主要結(jié)果及證明

定理1 設(shè)（A,C)∈，那么

3 實(shí)例仿真

為了更加明確地驗(yàn)證定理2的正確性，對(duì)系統(tǒng)（1）的一個(gè)具體例子進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬，用數(shù)形結(jié)合的方法驗(yàn)證其正確性.

令r=q=a=0.5，K=10，p=0.4，c=0.2，得到系統(tǒng)

圖1γ=0.84<γ1=0.85時(shí)的數(shù)值模擬

圖2γ1=0.85<γ=0.86<γ2=0.95時(shí)的數(shù)值模擬

圖3γ2=0.95<γ=0.99時(shí)的數(shù)值模擬

[1]林琳，侯林潔.具有庇護(hù)所的Lotka-Volterra型的捕食-食餌系統(tǒng)[J].北華大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，13（1）：19-21

[2]周稻祥，朱長(zhǎng)榮.一類具有常數(shù)避難所與收獲率的捕食-食餌模型的穩(wěn)定性[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2012，26（12）：122-126

[3]帥智圣，苗春梅，張偉鵬，等.具有庇護(hù)所的三種群捕食者-食餌模型[J].生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2004，16（1）：65-71

[4]徐昌進(jìn)，陳大學(xué).具有時(shí)滯的食餌-捕食模型的分支問題[J].重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011（3）：43-48

[5]徐國(guó)明，賈建文.一類具有避難所的捕食系統(tǒng)的分析[J].陜西師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，21（4）：4-7

[6]張艷波，王萬(wàn)雄，段永紅.一類具第三類功能反應(yīng)且食餌具有避難所的捕食系統(tǒng)的分析[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2010，40（24）：149-154

[7]馬智慧，李文龍，李自珍，等.具有已感染者庇護(hù)所效應(yīng)的傳染病模型[J].蘭州大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，44（2）：111-114

[8]陳蘭蓀.數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)模型與研究方法[M].北京：科學(xué)出版社，1988

[9]林琳，雒志學(xué).具有庇護(hù)所的Kolmogorov型的捕食-食餌系統(tǒng)[J].重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，28（2）：120-122

[10]馬知恩，周義倉(cāng).常微分方程定性與穩(wěn)定性方法[M].北京：科學(xué)出版社，2001

[11]丁蓀紅.捕食者-食餌系統(tǒng)極限環(huán)的唯一性[J].科學(xué)通報(bào)，1985（13）：976-979

The further study of the Kolmogorov predator-prey system with prey refuges

LIN Lin1，F(xiàn)ENG Xiao-mei2
（1.Department of Primary Education，Yuncheng Polytechnic College of Agriculture，Yuncheng 044000，China；2.Department of Applied Mathematics，Yuncheng University，Yuncheng 044000，China）

Studies the Kolmogorov prey-predator system with prey refuges.The sufficient condition for the existence and the unique of the limit cycle is given by using the Bendixson and Ding Sunhong theory.The sufficient condition that the system has no limit cycle is obtained by the Dulac function.The theory is illustrated by using the Matlab.

prey refuge；predator；prey；equilibrium point；stability；limit cycle

O175.1：Q141

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.12.001

2016-10-13

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11501498）

林琳（1983-），女，山西運(yùn)城人，講師，碩士，從事生物數(shù)學(xué)研究.E-mail：15835988676@163.com

1007-9831（2016）12-0001-05