避免物理問(wèn)題數(shù)學(xué)化的方法

袁才

【摘 要】學(xué)生學(xué)習(xí)物理過(guò)程中，時(shí)刻離不開(kāi)數(shù)學(xué)。物理和數(shù)學(xué)有密切的聯(lián)系但又有區(qū)別，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中，常常會(huì)出現(xiàn)把物理公式理解為純函數(shù)關(guān)系，忽視物理意義，適用的范圍及條件，也沒(méi)有注意到有些概念在物理和數(shù)學(xué)中具有不同的含義，對(duì)物理結(jié)果的物理意義缺乏思考等問(wèn)題。文中針對(duì)此問(wèn)題，探討注意防止和糾正學(xué)生把物理問(wèn)題數(shù)學(xué)化的傾向，讓學(xué)生在涉及這些物理問(wèn)題時(shí)不能出錯(cuò)。

【關(guān)鍵詞】物理問(wèn)題 物理意義 數(shù)學(xué)化

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2016）01B-0096-02

數(shù)學(xué)作為一種工具，可以幫助學(xué)生深入分析物理現(xiàn)象和物理過(guò)程，但是具有一定的局限性。在運(yùn)用這個(gè)工具的過(guò)程中要防止和避免物理問(wèn)題“數(shù)學(xué)化”，注意如下幾點(diǎn)：

一、注意物理量比值定義式的理解

在數(shù)學(xué)公式 x=z/y 里，x，y，z 都是變量，公式變形為 y=z/x 后，函數(shù)關(guān)系依然存在。但物理量比值定義式變形后的物理意義卻往往不同，這與數(shù)學(xué)是有區(qū)別的。

如電場(chǎng)強(qiáng)度E=F/Q，電容器的電容C=Q/U，磁感應(yīng)強(qiáng)度 B=F/IL，密度p=M/V等。從數(shù)學(xué)角度看，都表示數(shù)量之間的函數(shù)關(guān)系，但它們作為物理量的定義式，并不表示著數(shù)量間的函數(shù)關(guān)系，而且有它們本身的物理含義。如E=F/Q，你就不能由數(shù)學(xué)知識(shí)得F≠0，E≠0，即該處有電場(chǎng)；F=0，E=0，該處的電場(chǎng)為零，也不能說(shuō)E跟F成正比，E跟Q成反比。電場(chǎng)中某處的場(chǎng)強(qiáng)是由場(chǎng)源電荷和位置決定的，它與放入場(chǎng)中的電荷無(wú)關(guān)。放在電場(chǎng)某確定點(diǎn)的檢驗(yàn)電荷所受電場(chǎng)力的大小與檢驗(yàn)電荷電量大小成正比，即檢驗(yàn)電荷的帶電量越大，它所受電場(chǎng)力也越大，檢驗(yàn)電荷的帶電量越小，它所受電場(chǎng)力也越小。即使不放檢驗(yàn)電荷，該處的場(chǎng)強(qiáng)還是那么大。檢驗(yàn)電荷所受電場(chǎng)力與所帶電量之比為一恒量，這個(gè)恒量就是電場(chǎng)強(qiáng)度。又如C=Q/U，我們不能認(rèn)為C與Q成正比，與U成反比。因?yàn)殡娙萜麟娙莸拇笮∮呻娙萜鞯谋旧硇再|(zhì)（如兩板間電介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)，兩板正對(duì)面積，兩板間的距離）決定，而不是由電容器的帶電量和極板間的電勢(shì)差決定的。對(duì)于這些物理量的定義式，要深刻理解它們的物理意義，而不能單純從數(shù)學(xué)角度去看待。

二、某些物理定律數(shù)學(xué)表達(dá)式的運(yùn)用要注意適用范圍及條件

物理的一些定律，常用簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)形式來(lái)表達(dá)，即物理定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。如萬(wàn)有引力定律F=（Gm1m2）/R2，庫(kù)侖定律F=（kQ1Q2）/r2，胡克定律F=kx，阿基米德定律F=pgv等。對(duì)于這些式子，從數(shù)學(xué)角度看，變量的取值可以任意變化，但是，作為物理定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，卻是不能任意變化的，它受到某些物理?xiàng)l件的限制。如F=（Gm1m2）/R2，從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)看，當(dāng) R→0時(shí)則有F→∞。但是作為一個(gè)物理定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，當(dāng) R→0時(shí)，物體就不能視為質(zhì)點(diǎn)，表達(dá)式就不再成立了。對(duì)庫(kù)侖定律F=（kQ1Q2）/r2及真空中點(diǎn)電荷的電場(chǎng) E=KQ/R2都要做類(lèi)似的理解。又如F=kx，從數(shù)學(xué)角度看，x 的值可以任意變化，但它作為一個(gè)物理定律的表達(dá)式，x 值的變化要受到一定的限制，即必須在彈簧的彈性限度之內(nèi)。再如F=pgv這一定律的運(yùn)用，當(dāng)一長(zhǎng)方體鐵塊浸沒(méi)在容器底部，和容器底咬合無(wú)縫隙，并且鐵塊底部不受液體壓強(qiáng)作用時(shí)，就不能再使用浮力公式了。因?yàn)楦×Ξa(chǎn)生的機(jī)理是由壓強(qiáng)差所形成的。

三、處理物理問(wèn)題時(shí)，不能單純按照數(shù)學(xué)推理，應(yīng)當(dāng)注意實(shí)際的物理過(guò)程和物理現(xiàn)象

例如有一道熱學(xué)題，量熱器的銅器小筒里盛有200克15℃的水，小筒的質(zhì)量為160克，向水里放入50克0℃的冰。求量熱器里的末溫度是多少攝氏度[C銅=3.9×102（焦/千克·℃）]。

有的同學(xué)這樣解，設(shè)末溫度為 t℃ ，根據(jù)熱平衡方程式有

（m水C水+m銅C銅）（t1-t）=m冰λ+m冰C水t

解得 t=-2.8℃，這結(jié)果顯然是不合理的。從數(shù)學(xué)的解答過(guò)程中是沒(méi)有錯(cuò)誤的，原因出在實(shí)際物理過(guò)程中，水和小筒溫度降至0℃放出的全部熱量不至于使冰完全溶解，所以末狀態(tài)是冰水共存，末溫度應(yīng)為0℃。

四、某些概念在物理中與數(shù)學(xué)中含義不同

有些概念在物理中與數(shù)學(xué)中含義是不同的，應(yīng)用時(shí)必須加以區(qū)別。如“無(wú)窮大”“無(wú)限可分”。在物理中，“無(wú)限可分”不一定要永遠(yuǎn)分下去，“無(wú)窮大”也不一定要求很大。如勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)是指“任意相等時(shí)間間隔內(nèi)，物體的位移都相等”的運(yùn)動(dòng)，但實(shí)際上，并不要求把時(shí)間無(wú)限地分下去。對(duì)“任意相等時(shí)間間隔”應(yīng)理解為“在實(shí)驗(yàn)誤差范圍內(nèi)，相等的時(shí)間間隔”便可以了。又如重物從高處落向地面時(shí)，地球是否也同時(shí)向重物靠近？對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，地球的質(zhì)量雖然不是無(wú)窮大，但與重物質(zhì)量相比較，二者相差很大很大，因此，可以把地球的質(zhì)量當(dāng)作無(wú)窮大來(lái)處理。從而認(rèn)為，地球并不向重物靠近。

五、物理的解不同于數(shù)學(xué)的解

在物理中，數(shù)學(xué)是處于從屬地位的，它的運(yùn)用受到物理實(shí)質(zhì)的制約。由物理問(wèn)題導(dǎo)出的方程的解，數(shù)學(xué)意義上合理，物理意義上未必合理。物理問(wèn)題的解受物理過(guò)程和條件的限制。

例如，有一個(gè)電池，電動(dòng)勢(shì)是ξ=6伏特，內(nèi)阻 r=0.5 歐姆，實(shí)驗(yàn)時(shí)要把它接在一電熱絲上，使其發(fā)出9瓦特的熱功率。試確定電熱絲的阻值應(yīng)是多少。

設(shè)電熱絲的電阻是R，由全電路歐姆定律可得電路中的電流強(qiáng)度I=ξ/（R+r），電熱絲發(fā)熱功率P=I2R，即P=ξ2R/（R+r）2，化簡(jiǎn)后代入已知量得9R2-27R+2.25=0，解得R1=3（歐），R2=0.1（歐）。

以上兩個(gè)解對(duì)上面一元二次方程而言是合理的，而且把它們代入P=I2R公式中，確實(shí)也都等于9瓦（近似的）。但要注意，當(dāng)R=0.1歐時(shí)，內(nèi)阻的功率損耗是很大的，幾乎是電熱絲發(fā)熱功率的6倍。在這種情況下，電能的利用率就太低了，肯定要燒壞電源，事實(shí)上是不能用的。所以本題的結(jié)論應(yīng)該取阻值是3歐姆的電熱絲。

又例如，質(zhì)量為m的小球A，以水平速度v與靜止在光滑水平面的大小相同，質(zhì)量為3m的小球B發(fā)生碰撞，碰撞后小球A的動(dòng)能損失了3/4，問(wèn)小球B的速度多大？

由于碰撞的過(guò)程中的動(dòng)量守恒和A的動(dòng)能變化可列方程：

①

②

由①②聯(lián)立方程，解得兩組解：A組；B組。

如果僅從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，兩組答案都有意義。若從物理意義上分析，可知若選擇A組的結(jié)果，即B球以的速度在前面運(yùn)動(dòng)，而A球卻以大于B球的速度也向前運(yùn)動(dòng)，這樣必然要越過(guò)B球而前進(jìn)，顯然不合理，應(yīng)舍去A組答案。若選擇B組答案，則碰撞后兩球向相反方向運(yùn)動(dòng)，這一組答案才是合理的。

六、不能用正負(fù)值比較大小

（一）矢量的正負(fù)表示方向，不表示大小

比較矢量的大小要看絕對(duì)值。比如電場(chǎng)中A點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度 E=100N/C，B點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度E=-200N/C，但不是說(shuō)A點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度比B點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大，應(yīng)該是A點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度小于B點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度（E的負(fù)號(hào)僅表示B點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度方向與規(guī)定的電場(chǎng)強(qiáng)度方向相反）。所有矢量的正負(fù)都表示方向而不表示大小。

（二）有點(diǎn)標(biāo)量的正負(fù)也不表示大小

有的標(biāo)量也有正負(fù)。標(biāo)量中有的正負(fù)表示大小，如溫度。但有的標(biāo)量的正負(fù)不表示大小，如功是標(biāo)量，功的正負(fù)既不表示功有方向也不表示功的數(shù)量的大小，既不能說(shuō)“正功和負(fù)功方向相反”，也不能說(shuō)“正功大于負(fù)功”，正功和負(fù)功只表示兩種不同的做功效果。力對(duì)物體做正功，說(shuō)明物體在發(fā)生該段位移的過(guò)程中，該力是動(dòng)力，使物體的動(dòng)能增加。力對(duì)物體做負(fù)功，說(shuō)明物體在發(fā)生該段位移的過(guò)程中該力是阻力，使物體的動(dòng)能減小。磁通量是標(biāo)量，也有正負(fù)，其正負(fù)既不表示大小也不表示方向，僅表示磁感線(xiàn)穿入或者穿出某個(gè)面，也就是說(shuō)計(jì)算磁通量時(shí)，“面”是有方向的。磁通量的正負(fù)雖然不表示大小，但是正負(fù)磁通量可以抵消，磁通量正負(fù)與電荷的正負(fù)和功的正負(fù)相似。

總之，物理學(xué)作為一門(mén)自然科學(xué)，既跟其他自然學(xué)科有密切的聯(lián)系，同時(shí)又是一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科，有其自身的特殊規(guī)律。所以在應(yīng)用其他學(xué)科的知識(shí)尤其是用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)分析物理問(wèn)題的時(shí)候，注意概念的物理意義以及規(guī)律成立的條件，這樣才不至于用純粹的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決物理問(wèn)題。因此，我們?cè)谖锢斫虒W(xué)中要注重強(qiáng)化物理含義、物理內(nèi)涵、物理形成過(guò)程以及物理規(guī)律成立的條件的指導(dǎo)，這樣才能使學(xué)生在扎實(shí)的物理知識(shí)上，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決物理問(wèn)題，從而避免物理問(wèn)題數(shù)學(xué)化的傾向。

【作者簡(jiǎn)介】袁 才（1979— ），男，漢族，籍貫博白，中學(xué)一級(jí)教師，理士學(xué)位，現(xiàn)就職于玉林市博白縣第三高級(jí)中學(xué)。研究方向：高中物理教學(xué)。

（責(zé)編 盧建龍）