具積分邊值條件p－Laplacian 型微分方程解的存在性

宋文晶 史允均

(吉林財(cái)經(jīng)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 長(zhǎng)春130117)

起源于熱傳導(dǎo)、地下水流、熱電彈性、等離子物理等的積分邊值問(wèn)題以及在生物學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方面廣泛應(yīng)用的時(shí)標(biāo)問(wèn)題是近些年的熱點(diǎn)。本文研究如下具積分邊值條件的p－Laplacian型微分方程解的存在性：

其中φp(·)是p－Laplace算子,連續(xù),Τ表示時(shí)標(biāo),g(s)∈L1([0,T]Τ),A是一個(gè)實(shí)的常數(shù)。

C[0,T]Τ表示[0,T]Τ所有連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的Banach空間,范數(shù)定義設(shè)算子則問(wèn)題(1)的解等價(jià)于積分方程

的解。

定義算子F：C[0,T]Τ→C[0,T]Τ為

則問(wèn)題(2)表示為(I－K)u(t)＝(Fu)(t)

類(lèi)似文獻(xiàn)[3],易證：

引理1.算子F：C[0,T]Τ→C[0,T]Τ是全連續(xù)算子。

定理1.假設(shè)(H0)(H1)成立,則問(wèn)題(1)至少存在一個(gè)解。

證明：只需證明等價(jià)積分方程

至少存在一個(gè)解。

定義 H：[0,1]×C([0,T]Τ)→C([0,T]Τ)為 H(σ,u)＝(K＋σF)u,易證H是全連續(xù)的。

設(shè)hσ(u)＝u－H(σ,u),則有h0(u)＝(I－K)u,h1(u)＝[I－(K＋F)]u。

為了對(duì)函數(shù)運(yùn)用Leray－Schauder拓?fù)涠壤碚?所以只需在C[0,T]Τ上存在球BR(θ),使得

半徑 R充分大時(shí),有θ?hσ(?BR(θ))

則對(duì)任意給定的

u∈?BR(θ),都存在一點(diǎn)t0∈[0,T]T,使得經(jīng)計(jì)算有

綜上可知,hσ(u)≠θ,從而有θ?hσ(?BR(θ))。根據(jù)拓?fù)涠韧瑐惒蛔冃钥傻?/p>

deg(h1,BR(θ),θ)＝deg(h0,BR(θ),θ)＝±1≠0.由Kronecker存在定理知,方程(1)在BR(θ)至少存在一個(gè)解。

[1]Ionkin N I.Solution of a Boundary Value Problem in Heat Conduction Theory with Nonlocal Boundary Conditions[J].Differential Equations 1977,(13)：294-304.

[2]Yu Chegis R.Numerical Solution of a Heat Conduction Problem With an Integral Boundary Condition[J].Litovsk Mat Sb,1984,(24)：209-215.

[3]宋文晶,高文杰.Existence of solutions for nonlocal p－Laplacian thermistor problems on time scales[J].Boundary Value Problems,2013,(1)：1-7.