促進高層次理解 強化統(tǒng)計學意義

仲秋月

一、憑借直覺體驗，感受代表性

【教學片段1】

1. 課前活動。

教師組織男女生代表玩套圈游戲。

學生議一議：怎樣做到游戲公平？

2. 情境創(chuàng)設。

師：數(shù)學可以幫助我們解決很多實際問題。

出示情境圖：四個小組進行套圈比賽，每人套15個。哪一組套得準些？（圖略）

師：老師用條形統(tǒng)計圖表示出第一組和第二組的套圈情況，你能看懂嗎？（圖1）

3. 交流思辨。

師：第一組和第二組比，哪一組套得準些？你是怎么想的？

生：第二組，因為第二組中的1號隊員套中了10個！

師：真厲害，我宣布第二組獲勝！

生：我不同意，雖然1號隊員套了10個，但是其他隊員都套得比較少。

師：1號隊員能代表第二組的水平嗎？

師：看來，套中10個或者套中4個，這些成績都只能代表某個隊員的水平，不能代表這一組的整體水平。那該怎么辦？

生：把第一組、第二組套中的總和算出來比一比。

師：第一組總成績是28個，第二組總成績是30個，能比出結果了吧？

生：我不同意，第二小組多了一個隊員，假如再加上一個隊員，總數(shù)還會更多，比總數(shù)不公平！

4. 自主探究。

師：選其中一個隊員的成績比不行，比總數(shù)也不行，看來這個比較整體水平的代表數(shù)需要我們自己來創(chuàng)造。哪個數(shù)能代表第一組的整體水平呢？哪個數(shù)能代表第二組的整體水平呢？小組討論，把想法記錄在學習單“探究一”中。

師：請問你找到了哪個數(shù)代表第一組的成績呢？

生：我找的數(shù)是“7”。（圖略）

師：你們能看懂他圖上畫的兩個箭頭嗎？

生：他的意思是把2號同學套中的9個里面拿一個給1號，再拿一個給4號。

師：為什么要給1號和4號呢？

生：因為他們套中的比較少。

師（演示移動過程）：這時候4個隊員套中的個數(shù)變得怎樣？

師：用“7”這個數(shù)代表第一組的整體水平，可以嗎？你們有沒有其他意見？

揭示：“7”就是這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。

【賞析】平均數(shù)作為統(tǒng)計量，其意義在于刻畫、代表一組數(shù)據(jù)的整體水平。平均數(shù)不同于原始數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)（可能碰巧與某個數(shù)據(jù)相等），但又與每一個原始數(shù)據(jù)相關，代表這組數(shù)據(jù)的平均水平。要對兩組數(shù)據(jù)的總體水平進行比較，就可以比較這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，因為平均數(shù)具有良好的代表性，不僅便于比較，而且公平。劉老師創(chuàng)設了學生感興趣的游戲情境，選擇兩組精心設計的數(shù)據(jù)，通過動態(tài)呈現(xiàn)和思辨追問，激發(fā)學生的認知沖突，使學生直觀體驗到每一個數(shù)據(jù)都難以代表整體水平，必須創(chuàng)造一個“新數(shù)”。

二、通過問題引領，理解虛擬性

【教學片段2】

1. 對話交流。

師：巧了，3號隊員的成績就是7個，這兩個“7”一樣嗎？

生：不一樣，平均數(shù)“7”代表的是第一組的整體水平，3號隊員的“7”只代表他自己一個人的成績。

2. 獨立探究，深化認知。

學生獨立探究第二組的平均數(shù)。

師：我們找到了第二組的平均數(shù)“6”，可是第二組沒有哪個隊員投6個呀？

生：“6”是平均數(shù)，并不是哪個隊員投中的個數(shù)。

師：“6”是哪幾個數(shù)的平均數(shù)？

生：“6”是“10、4、7、5、4”這5個數(shù)的平均數(shù)。

生：平均數(shù)“6”原來是沒有的，是我們通過移多補少得到的。

師：平均數(shù)“6”能代表1號隊員的成績嗎？能代表2號隊員的成績嗎？它究竟代表的是哪個同學的成績呢？

生：代表的是第二組所有同學的成績。

生：代表了這一組的整體水平。

生：“6”不是原來5個數(shù)中的任何一個數(shù)，只是代表這些數(shù)的數(shù)。

師：明白了，平均數(shù)并不是原來數(shù)據(jù)中的哪一個，而是我們創(chuàng)造出來的、代表整體水平的數(shù)。有時可能碰巧會和原來數(shù)據(jù)中的某一個相等，也可能和原來數(shù)據(jù)中任何一個都不相等。

【教學片段3】

出示第四組學生套圈成績統(tǒng)計圖。（隱去具體數(shù)據(jù)，僅保留平均線，圖略）

師：4個人的平均成績是5個，是不是每個隊員都套中5個呢？

生：不可能，因為這個“5”是平均數(shù)。

生：有可能其中有隊員套中5個，但不會全部都套中5個。

師：有沒有可能這4個隊員都套中5個呢？

生：也有可能，但這種情況比較特殊。

生：有可能有人套中5個，也有的比5個多，也有的比5個少。

【賞析】平均數(shù)是在描述一組原始數(shù)據(jù)的過程中產生的，它不是客觀存在的，具有虛擬性。如何讓學生理解“平均數(shù)只刻畫整體水平而不是真正的其中某一個數(shù)據(jù)”呢？劉老師通過層層遞進的問題引領，幫助學生在描述數(shù)據(jù)、進行整體水平對比的過程中深化對“平均數(shù)是一種統(tǒng)計量”的本質的認知，實現(xiàn)從統(tǒng)計學的角度學習平均數(shù)，強化平均數(shù)的統(tǒng)計學意義。

三、巧妙設置變式，體會敏感性

【教學片段4】

1. 探究活動。

出示第三組學生套圈成績。（各個隊員的成績?yōu)椋?、5、9、5、7。圖略）

引導學生自主探索“先合后分”的計算方法。

2. 設置變式。

師：第三組還有一位6號隊員沒有出場呢！瞧，他套中了幾個？（課件出示6號隊員成績?yōu)?）

師：這一組的平均數(shù)還是“6”嗎？你是怎么想的？

生：還是6，因為加起來的總數(shù)不變，還是30個。

師：總數(shù)不變，平均數(shù)也不變！

生：不對，平均數(shù)會變！

師：總數(shù)沒有變，平均數(shù)怎么就變了？

生：因為人數(shù)變了，多了6號隊員，所以我們計算的時候要總數(shù)除以6！

師：增加了一名隊員，怎么平均數(shù)變少了呢？

生：6號隊員投中了0個，他拉低了整體水平。

師問生：現(xiàn)在你覺得平均數(shù)還是“6”嗎？

師：每一個數(shù)據(jù)都會對整體的平均數(shù)產生影響。

【教學片段5】

1. 設疑激趣。

出示：第四組學生套圈成績的平均數(shù)是“5”，請問4號隊員套中了幾個？（圖2）

2. 設置變式。

師：假如4號隊員投了10個，平均數(shù)還是“5”嗎？

師：比畫一下，現(xiàn)在平均數(shù)會怎樣？

學生用手勢表示平均數(shù)升高。

生1：現(xiàn)在平均數(shù)是“6”。

師：為什么會變成“6”？

生2：因為4號隊員增加了4個，這4個正好平均分給一人一個，所以平均數(shù)就增加了“1”。

師：如果4號隊員的成績變少了，平均數(shù)會改變嗎？

師：看來平均數(shù)很“調皮”，會隨著數(shù)據(jù)的變化而發(fā)生變化。

【賞析】平均數(shù)與該組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)相關，稍有風吹草動就能帶來平均數(shù)的變化，這就是平均數(shù)的敏感性。這一抽象的性質如何讓小學生理解呢？劉老師巧設極端數(shù)據(jù)，通過適當?shù)?、把握本質的追問，讓學生進一步深化對平均數(shù)性質的認知。借助直觀的條形統(tǒng)計圖，引導學生“看著圖想”或“通過計算想”，學生思維上、情感上經(jīng)歷了從一籌莫展到茅塞頓開的過程，對平均數(shù)的意義以及性質有了更深的體會。

四、基于真實數(shù)據(jù)，解釋合理性

【教學片段6】

練習1：全國人均月收入為3683元，蘇州市人均月收入為6917元。

師：你知道這兩個平均數(shù)表示什么意思嗎？你有什么想法嗎？

練習2：評價一座城市的健康水平，不是看醫(yī)院治了多少病人，做了多少手術，而是看老百姓的平均壽命和生活質量?！耙越】禐橹行摹钡睦砟?，已融入蘇州市各項政策當中。2019年中國人均壽命為77.3歲，蘇州市人均壽命為83.82歲，蘇州市該指標處于持續(xù)向上攀升的良好態(tài)勢。

師：找到平均數(shù)了嗎？你有什么想法？

師：我們生活在蘇州，是不是每個人的壽命都能達到83歲？

練習3：根據(jù)有關規(guī)定，鐵路部門對學齡前兒童實行免票乘車，即一名成年人可以攜帶一名身高不足1.2米的兒童免費乘車。1.2米這個數(shù)據(jù)可能是如何得到的？據(jù)統(tǒng)計，目前蘇州市6歲男童身高的平均值是117厘米，女童身高的平均值是116厘米。請根據(jù)上面的信息解釋免票線確定的合理性。

【賞析】敘述出概念的定義，或者會計算，不等于真正理解某個概念，還要看能否在不同情境中運用概念。由于平均數(shù)這個概念對小學生而言是非常抽象的，平均數(shù)的背景也很復雜，如果學生能在稍復雜的背景下運用平均數(shù)的概念解決問題，說明學生初步理解了平均數(shù)。因此，劉老師給出了三組復雜程度不同的真實數(shù)據(jù)，引導學生借助前面所學的平均數(shù)的意義和性質來解釋這些數(shù)據(jù)，體會其合理性，知道什么情況下用平均數(shù)做判斷、做預測的結論更好，在真實問題情境中加深對平均數(shù)作為一個統(tǒng)計量的意義與價值的理解。

（作者單位：江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)東延路實驗學校責任編輯：王彬）