運用數(shù)學(xué)思想，巧解立體幾何題

◆鄧邦發(fā)

(浙江省余姚市第四職業(yè)技術(shù)學(xué)校)

運用數(shù)學(xué)思想，巧解立體幾何題

◆鄧邦發(fā)

(浙江省余姚市第四職業(yè)技術(shù)學(xué)校)

立體幾何題主要考查學(xué)生空間想象能力，直覺思維能力，邏輯推理和論證能力；同時考查學(xué)生的分析問題，解決問題能力。初學(xué)者往往感到很困難。通過具體實例說明解題過程中，恰當(dāng)運用數(shù)學(xué)思想方法，能達到事半功倍的效果。

化歸思想 整體思想 特殊化思想 分類討論思想

數(shù)學(xué)思想是解題的指南，只有用正確的數(shù)學(xué)思想作指導(dǎo)，才能恰當(dāng)?shù)剡x擇具體的數(shù)學(xué)方法解題。

一、化歸思想

在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時常用通過各種方法將問題進行轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜問題化歸為簡單問題，將難解問題化歸為容易求解的問題，將未解決的問題轉(zhuǎn)化為已解決的問題。

例1：在平行六面體中，MA、MB、MC是交于點M的三條棱，MD是六面體的一條對角線，求證：MD必過△ABC的重心。

分析：由于△ABC的重心在中線AO上，而AO、DM在同一平面內(nèi)，所以可將問題轉(zhuǎn)變成平面AMPD上的問題。

證明：如圖1，連結(jié)PM、AD，并設(shè)AO和DM交于G

∵對角面AMPD是平形四邊形

∴MO=OP，∵△OMG≌△ADG

∴OG：AG=OM：AD=1：2

∵AO是△ABC的邊BC上的中線，

且AG：GO=2：1

∴G是△ABC的重心

注：本題將有關(guān)元素化歸到輔助平面AMPD中，再利用平面幾何的分法解決，這是“空間問題平面化”的重要思想。

二、整體思想

所謂整體思想，就是對于一個數(shù)學(xué)問題，不是著眼于它的局部特征，而是把注意力和著眼點放在問題的整體上，通過對其全面深刻地考察，從宏觀上理解和認(rèn)識事物問題的實質(zhì)，挖掘和發(fā)現(xiàn)整體結(jié)構(gòu)中已知元素的地位和作用，從而找到解決問題的途徑。

三、特殊化思想

根據(jù)已知條件，從特殊的量或關(guān)系入手，通過分析、研究、推理、論證，尋求解決問題的思路和結(jié)論。

例3：如圖4所示，在四棱錐P-ABCD中底面ABCD是矩形，AB=2，BC=4，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，求證在BC邊上存在一點M，使PM⊥DM。

分析：要在BC邊上找一點滿足條件，比較困難，可從特殊點BC的中點考慮。

解：取BC中點M’，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，易證AM’⊥DM’

又∵PA⊥面ABCD

∴PM’在底面的射影為AM’

∴PM’⊥DM’，M’為滿足條件的點M

注：從直線的中點這個特殊點入手，通過推理論證說明這個點就是滿足條件的點。

四、分類討論思想

分類討論是解決教學(xué)問題的基本方法，通過分類討論可以把一個問題分解成若干個容易解決的問題。

注：由于幾何問題中各元素的位置關(guān)系不定，對于所有可能的情況，必須分開一一進行研究。

因此，強化數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)，有利于提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺性，真正把學(xué)生和教師從題海中解放出來，減輕教與學(xué)的過重負擔(dān)。