恒定磁場中安培環(huán)路定理的探討

胡錫奎，李 麗，馮春寶，牟 瓊

(重慶郵電大學(xué) 理學(xué)院，重慶 400065)

安培環(huán)路定理是穩(wěn)恒磁場最重要的定理之一，反映了磁場的渦旋性以及恒定磁場與電流的關(guān)系，是學(xué)生必須掌握但概念容易混淆的一個定理，其具體表達式如下

∮lB·dl=μ0∑Iin

(1)

其具體意義為：在真空的恒定磁場中，磁感應(yīng)強度沿任一閉合曲線(回路)的路徑積分(即B的環(huán)流)的值，等于真空的磁導(dǎo)率μ0乘以穿過以該曲線所包圍的各恒定電流的代數(shù)和[1-3].

1 安培環(huán)路定理應(yīng)用的探討

相對于畢奧-薩伐爾定理，安培環(huán)路定理具有更簡潔的形式，常用于計算恒定電流所產(chǎn)生的磁場的磁感應(yīng)強度分布[4,5].在一般的恒定電流情況下，安培環(huán)路定理公式等號右側(cè)電流的代數(shù)和很容易計算，但公式等號左側(cè)的路徑積分計算比較困難，甚至需要利用數(shù)值計算軟件[6,7].因此，在利用安培環(huán)路定理求解恒定電流的磁感應(yīng)強度分布時，要求恒定電流的分布具有特殊的對稱性，其磁感應(yīng)強度的分布也具有相應(yīng)的對稱性.可以選擇一個合適的積分回路，使得回路上各點的磁感應(yīng)強度的方向與回路的方向平行或者垂直，且在有效的回路區(qū)域上各點的磁感應(yīng)強度大小相等.此時，路徑積分很容易計算，安培環(huán)路定理可以簡化為

∮lB·dl=BL=μ0∑Iin

(2)

其中，B為磁感應(yīng)強度的大小，L為有效的回路長度(回路中B·dl≠0的區(qū)域的長度，即磁感應(yīng)強度大小不為零且磁感應(yīng)強度的方向與回路的方向不垂直).相應(yīng)的磁感應(yīng)強度的大小為

(3)

常用無限長載流直導(dǎo)線體系說明安培環(huán)路定理在磁感應(yīng)強度計算中的應(yīng)用.如圖1所示，無限長載流直導(dǎo)線是柱對稱的，其磁感應(yīng)強度的分布也應(yīng)該是柱對稱的.以無限長載流直導(dǎo)線為軸的圓柱面上，各點的磁感應(yīng)強度的大小相等，且磁感應(yīng)強度的方向與該點處圓柱面的水平切線平行.選擇以直導(dǎo)線為軸的圓作為回路，回路的正方向由電流方向的右手螺旋關(guān)系確定.

無限長載流直導(dǎo)線中的電流為I，回路上各點的磁感應(yīng)強度的大小都為B，且磁感應(yīng)強度的方向與該點的回路方向相同.回路的半徑為R，有效長度為L=2πR.利用式(3)可得無限長載流直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的大小為

(4)

式(4)與畢奧-薩伐爾定理求解和實驗測量得到的磁感應(yīng)強度分布一致，但計算過程較畢奧-薩伐爾定理簡單，證明了安培環(huán)路定理在求解具有特殊對稱性的電流體系的磁感應(yīng)強度分布時非常方便.除了無限長載流直導(dǎo)線外，安培環(huán)路定理還常用于處理無限長柱對稱載流體系、無限大平面載流體系、無限長直通電螺線管、通電螺線繞環(huán)等具有特殊對稱性的電流體系，計算過程非常簡單.

圖1 無限長載流直導(dǎo)線磁感應(yīng)強度分布示意圖

值得注意的是，安培環(huán)路定理的應(yīng)用，要求電流體系的對稱性非常高，這也是大家在應(yīng)用安培環(huán)路定理時容易忽視的一個問題.如果電流體系的對稱性不滿足要求，磁感應(yīng)強度分布的對稱性也會受到相的破壞，此時的路徑積分不能輕易簡化，即式(2)不再成立.

以柱對稱載流體系為例，當(dāng)該體系不滿足無限長要求時，盡管磁感應(yīng)強度分布還是柱對稱的，但沿軸方向的平移對稱性已經(jīng)被破壞，端面處的磁感應(yīng)強度與中截面處的磁感應(yīng)強度有著較大區(qū)別，直接利用式(2)計算端面處的磁感應(yīng)強度分布已經(jīng)不夠準(zhǔn)確.只有中截面處且回路半徑R遠小于柱長度時，才能夠利用式(2)較為準(zhǔn)確的得到磁感應(yīng)強度的大小，因為此時的柱對稱載流體系相對于回路的結(jié)構(gòu)可以近似地看作無限長.

但并不意味著安培環(huán)路定理在端面處不成立，安培環(huán)路定理對于任意電流體系都是成立的[8,9].應(yīng)用安培環(huán)路定理時，需要具有特殊對稱性的電流體系.這是因為一般的電流體系中，路徑積分比較困難，而特殊對稱性的電流體系中，路徑積分可簡化.

2 有限長載流直導(dǎo)線中的安培環(huán)路定理

對于有限長載流直導(dǎo)線體系，常有學(xué)生認(rèn)為其不滿足安培環(huán)路定理.如圖2所示，根據(jù)畢奧-薩伐爾定理，可得到有限長載流直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的大小的分布為

(5)

其中，R為場點到載流直導(dǎo)線的垂直距離，θ1和θ2分別為場點與載流直導(dǎo)線兩個端點的連線和電流方向的夾角，磁感應(yīng)強度的方向由電流方向的右手螺旋關(guān)系得到.選擇以導(dǎo)線為軸，半徑為R的圓形回路，回路的正方向與磁感應(yīng)線的方向相同，磁感應(yīng)強度沿該回路的路徑積分為

(6)

該回路積分的值和回路所包圍的電流與真空的磁導(dǎo)率的乘積μ0I不相等，導(dǎo)致了很多學(xué)生認(rèn)為安培環(huán)路定理此時不成立.

圖2 有限長載流直導(dǎo)線的磁感應(yīng)強度分布示意圖

產(chǎn)生該誤解的原因是，實際情況中電流不能憑空產(chǎn)生，也不能憑空消失，只能存在于一個閉合電路中[10-12].例如無限長載流直導(dǎo)線，是電路中存在一根較長的直導(dǎo)線且積分回路在直導(dǎo)線中點附近，回路半徑遠小于直導(dǎo)線長度時的一種近似的理想模型.此時電路中的其他載流導(dǎo)線與積分回路的距離足夠遠，在回路上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度B2相對于該直導(dǎo)線在回路上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度B1可忽略不計.

因此，對于有限長載流直導(dǎo)線體系，可以將其置入一個閉合電路中進行討論.但是，除該直導(dǎo)線在回路上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度B1外，電路中其他載流導(dǎo)線在回路上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度B2不能忽略.可以利用圖3所示的電路對有限長載流直導(dǎo)線體系的安培環(huán)路定理進行探討.回路包含兩根正交的直導(dǎo)線L1和L2，積分回路是以直導(dǎo)線L1為軸且半徑為R的圓，與直導(dǎo)線L2的垂直距離為a.除兩根直導(dǎo)線外，電路中其他載流導(dǎo)線與回路的距離足夠遠，在回路上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度可以忽略不計.載流導(dǎo)線L1和L2在回路上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度分別為B1和B2.根據(jù)磁場的疊加原理可知回路上的磁感應(yīng)強度為

B=B1+B2

(7)

總磁感應(yīng)強度在該回路上的路徑積分為

∮lB·dl=∮lB1·dl+∮lB2·dl

(8)

且磁感應(yīng)強度B1的路徑積分為

(9)

其中，θ為回路上任意一點與兩直導(dǎo)線交點的連線l和直導(dǎo)線L1的夾角.

圖3 有限長載流直導(dǎo)線的電路構(gòu)造示意圖

對于磁感應(yīng)強度B2，如圖 4(a)所示，以回路的圓心為坐標(biāo)原點O，直導(dǎo)線L2在回路平面上的投影的反方向為x軸，直導(dǎo)線L1的方向為z軸建立三維直角坐標(biāo)系.根據(jù)畢奧-薩伐爾定理，回路上任意一點N處的磁感應(yīng)強度B2的方向應(yīng)當(dāng)垂直于直導(dǎo)線L2和MN構(gòu)成的平面，其中MN為一條平行于x軸的直線.如圖4(b)所示，直導(dǎo)線L2在回路上N點處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的大小為

(10)

其中，r為N點到直導(dǎo)線L2的垂直距離(線段AM的長度)，l為N點到導(dǎo)線端點A的距離，ψ為N點與導(dǎo)線端點的連線和直導(dǎo)線的夾角，φ為N點與圓心O的連線和x軸的夾角，即

(11)

(12)

(13)

如圖4(c)所示，磁感應(yīng)強度B2不在回路構(gòu)成的平面內(nèi)，可以將其分解為回路平面上的分量B∥和垂直于回路平面的分量B⊥，其中

(14)

如圖4(d)所示，磁感應(yīng)強度B2在N點處的路徑積分的微元為

(15)

P點處的路徑積分微元為

(16)

磁感應(yīng)強度B2該回路上的路徑積分為

(17)

被積函數(shù)是偶函數(shù)，因此

(18)

可以利用x=tanφ替代積分變量的方法得到上述積分運算的結(jié)果.總磁感應(yīng)強度B在該回路上的路徑積分為

(19)

可見，安培環(huán)路定理在有限長載流直導(dǎo)線體系中仍然是成立的.

(a) 3維視圖

(b) AMN平面視圖

(c) yz平面視圖

(d) xy平面視圖

3 結(jié)論

安培環(huán)路定理是穩(wěn)恒磁場中的一個重要定理，具有很強的物理意義和應(yīng)用價值. 但是，根據(jù)本人多年的教學(xué)經(jīng)驗，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程對安培環(huán)路定理的理解不夠，特別是對其應(yīng)用的條件和普適性容易混淆. 本文首先介紹了安培環(huán)路定理的應(yīng)用條件：當(dāng)電流體系具有特殊高對稱性時，其環(huán)路積分可以大大簡化，因而計算非常方便；當(dāng)電流體系的對稱性受到破壞時，環(huán)路積分的簡化不再成立. 但是安培環(huán)路定理是普遍成立的. 通過有線長載流直導(dǎo)線的例子，澄清了安培環(huán)路定理此時不成立的誤解. 采用簡單的電路構(gòu)造法，避免了相對復(fù)雜矢量和矢勢運算，更容易讓學(xué)生、特別是非物理專業(yè)的學(xué)生接受，能夠幫助學(xué)生更好地掌握安培環(huán)路定理和進一步理解磁場的性質(zhì).